PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LAI VUNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm) A 2 10 0,2 Tính 2 Tìm số tự nhiên n cho B n 2n 18 số phương Với a, b số nguyên Chứng minh a chia cho 13 dư b 2 chia cho 13 dư a b chia hết cho 13 Câu (4,0 điểm) C Cho biểu thức định rút gọn C x4 a) Chứng minh ? x x x x 3 x x x 1 x Tìm diều kiện xác x2 4 17 với số thực x Dấu đẳng thức xảy a b2 Tìm giá trị nhỏ b) Cho a, b số thực thỏa mãn 4 biểu thức D a b Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x x 4 x 1 x 2x 1 x b) x Giải toán sau cách lập phương trình: An dự định từ A đến B xe đạp điện khoảng thời gian định Nếu An với vận tốc 20km / h đến B sớm 12 phút Nếu An với vận tốc 12km / h đến B trễ 20 phút Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc đầu An Câu (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD điểm M thuộc cạnh BC ( M khác B, C) Một đường thẳng qua A vng góc với AM cắt CD N a) Chứng minh BM DN AM b) Tính tỉ số MN Cho tam giác ABC , đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D cho AD BC Tại B kẻ BE AB cho BE AB (E C thuộc hai nửa mặt phẳng đối từ bờ AB) Tại C kẻ CF AC cho CF AC (F B thuộc hai nửa mặt phẳng đối từ bờ AC ) Chứng minh ba đường thẳng DH , BF CE đồng quy Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn O; R điểm A đường tròn Từ điểm M di động đường thẳng d vng góc với OA A, vẽ tiếp tuyến ME , MF với đường tròn O ,( E , F tiếp điểm) Đường thẳng chứa đường kính đường trịn song song với EF cắt ME , MF C D Dây EF cắt OM H, cắt OA B Chứng minh rằng: OA.OB không đổi Chứng minh EF qua điểm cố định M di chuyển đường thẳng d Tìm vị trí M đường thẳng d để diện tích HBO lớn ĐÁP ÁN Câu 1) A 2 2 5 10 0,2 20 2 5 2 20 18 2 2) Đặt n 2n 18 a a n 1 17 a n 1 a n 1 17 Vì a , n a n 1 a n 1 ;17 số nguyên tố Suy a n 17(*) a n 1 a n Thay a n vào (*) tính n 7 3) Do a chia cho 13 dư nên a 13 x x b chia cho 13 dư nên b 13 y y a b 13 x 13 y 3 169 x 52 x 169 y 78 y 13. 13 x x 13 y y 1 13K 13 2 Vậy a b chia hết cho 13 dfcm Câu Điều kiện xác định: x 0, x 9 C x x 3 x 3 x 1 x 3 x x 1 x x x 12 x 18 x x x 1 x x 1 x 3 x x x x 24 x4 1 2a) Ta có x 1 x x 8 x x 8 x 1 x 17 x 1 x 17 Mà 17 x 1 x x 1 0 với x Vậy 17 x 1 x x4 hay x2 4 17 x Dấu " " xảy D a b 8 17 2b) Áp dụng kết câu 2a ) ta có: 1 1 17 a2 b2 D 2 17 Mà Vậy GTNN D Câu x x 4 x 1a) 1 17 a b (1) x x x x x x x 1 x x x 1 x x x 1 x Vậy S 2 x 2 x x x 0(VN ) 1 x 2x 1 x 1b) x (3) x 0 x 0 Điều kiện xác định 2 x 0 x 0 x 3 x x x x 2 x x x x x 0 x x2 1 x 0 x 2x 1 x2 1 x 1 0 x x Vậy S 1 x 1 x2 1 0(VN DK ) x 2x 1 2) Gọi x (giờ) thời gian dự định lúc đầu ( x 0) Theo đề ta có phương trình: 1 1 20 x 12 x 20 x 12 x x 1(tm) 5 3 1 20. 16km 5 Vậy thời gian dự định giờ, quãng đường AB dài Câu A B M N D C 1) a) ABM ADN có: AB AD, ABM ADN 900 ; BAM DAN 90 MAD nên ABM ADN ( g.c.g ) BM DN b) Vì ABM ADN AM AN AMN vuông cân tai A AM AM AM AM 2 MN AN AM 2 AM Do MN D A F I E B H C 2) DAC BCF có: DA BC ( gt ); AC CF ( gt ); DAC BCF 900 ACH Nên DAC BCF ACD F 0 Mà ACD DCF 90 F DCF 90 Gọi I giao điểm BF DC Trong CIF có F DCF 90 CIF 900 hay DC BF Chứng minh tương tự ta được: DB CE Trong DBC có DH , CE , BF đường cao nên chúng đồng quy Câu M E C H A B NK O F D OE OF R OM ME MF Ta có đường trung trực EF OM EF OB OH HOB AOM OA.OB OH OM (1) OM OA (2) EOM vuông E, đường cao EH nên OE OH OM 2 Từ (1), (2) suy OA.OB OE R (không đổi) R2 OA.OB R OB OA mà R khơng đổi OB khơng đổi mà O cố Vì định nên B cố định Vậy điểm M di chuyển đường thẳng d EF ln qua điểm cố định B BO HK Gọi K trung điểm OB , mà BHO vuông H nên Do OB không đổi nên HK không đổi HN BO S BHO Kẻ HN BO , ta có: Vì BO khơng đổi, nên S HBO lớn HN lớn Mà HN HK , dấu " " xảy N K Vậy S HBO lớn HBO vuông cân H MO tạo với OA góc 45