016 đề thi hsg toán 9 huyện lai vung 2018 2019

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LAI VUNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm)    A  2  10 0,2 Tính 2 Tìm số tự nhiên n cho B n  2n  18 số phương Với a, b số nguyên Chứng minh a chia cho 13 dư b 2 chia cho 13 dư a  b chia hết cho 13 Câu (4,0 điểm) C Cho biểu thức định rút gọn C x4   a) Chứng minh ?   x x x x 3   x x  x 1  x Tìm diều kiện xác x2  4  17 với số thực x Dấu đẳng thức xảy a  b2  Tìm giá trị nhỏ b) Cho a, b số thực thỏa mãn 4 biểu thức D  a   b  Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x  x 4 x  1  x    2x 1 x b) x Giải toán sau cách lập phương trình: An dự định từ A đến B xe đạp điện khoảng thời gian định Nếu An với vận tốc 20km / h đến B sớm 12 phút Nếu An với vận tốc 12km / h đến B trễ 20 phút Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc đầu An Câu (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD điểm M thuộc cạnh BC ( M khác B, C) Một đường thẳng qua A vng góc với AM cắt CD N a) Chứng minh BM DN AM b) Tính tỉ số MN Cho tam giác ABC , đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D cho AD BC Tại B kẻ BE  AB cho BE  AB (E C thuộc hai nửa mặt phẳng đối từ bờ AB) Tại C kẻ CF  AC cho CF  AC (F B thuộc hai nửa mặt phẳng đối từ bờ AC ) Chứng minh ba đường thẳng DH , BF CE đồng quy Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn  O; R  điểm A đường tròn Từ điểm M di động đường thẳng d vng góc với OA A, vẽ tiếp tuyến ME , MF với đường tròn  O  ,( E , F tiếp điểm) Đường thẳng chứa đường kính đường trịn song song với EF cắt ME , MF C D Dây EF cắt OM H, cắt OA B Chứng minh rằng: OA.OB không đổi Chứng minh EF qua điểm cố định M di chuyển đường thẳng d Tìm vị trí M đường thẳng d để diện tích HBO lớn ĐÁP ÁN Câu 1) A         2  2 5    10 0,2  20     2 5     2 20  18 2 2) Đặt n  2n  18 a  a   n  1 17   a  n  1  a  n  1 17 Vì a  , n     a  n  1   a  n  1 ;17 số nguyên tố Suy a  n  17(*) a  n  1  a n  Thay a n  vào (*) tính n 7 3) Do a chia cho 13 dư nên a 13 x   x   b chia cho 13 dư nên b 13 y   y    a  b  13 x     13 y  3 169 x  52 x   169 y  78 y  13. 13 x  x  13 y  y  1 13K 13 2 Vậy a  b chia hết cho 13  dfcm  Câu Điều kiện xác định: x 0, x 9 C   x x  3     x  3 x  1 x  3 x   x 1 x x   x  12 x  18  x  x    x 1 x    x  1 x  3  x x  x  x  24 x4 1  2a) Ta có  x  1 x   x  8 x   x 8 x 1 x     17  x  1  x     17 Mà  17  x  1   x    x  1 0 với x Vậy 17  x  1  x   x4   hay x2  4  17 x  Dấu " " xảy D a  b  8  17 2b) Áp dụng kết câu 2a ) ta có: 1 1 17  a2  b2   D      2 17   Mà Vậy GTNN D Câu x  x 4 x  1a)  1  17 a b  (1) x  x  x x  x   x  x  1  x    x  x  1 x     x  x  1  x  Vậy S  2  x 2  x    x  x  0(VN ) 1  x    2x 1 x 1b) x (3)  x 0   x  0   Điều kiện xác định 2 x  0  x 0    x   3   x x  x  x 2 x     x   x  x   x   0    x   x2 1 x 0 x   2x 1   x2  1  x 1   0  x   x    Vậy S  1  x 1  x2 1  0(VN DK )  x   2x 1 2) Gọi x (giờ) thời gian dự định lúc đầu ( x  0) Theo đề ta có phương trình: 1 1   20  x   12  x    20 x  12 x   x 1(tm) 5 3    1 20.   16km  5 Vậy thời gian dự định giờ, quãng đường AB dài Câu A B M N D C 1) a) ABM ADN có:    AB  AD, ABM ADN 900 ; BAM DAN 90  MAD nên ABM ADN ( g.c.g )  BM DN b) Vì ABM ADN  AM  AN  AMN vuông cân tai A AM AM AM AM 2     MN AN  AM 2 AM Do MN D A F I E B H C 2) DAC BCF có:    DA BC ( gt ); AC CF ( gt ); DAC BCF 900  ACH   Nên DAC BCF  ACD F 0     Mà ACD  DCF 90  F  DCF 90   Gọi I giao điểm BF DC Trong CIF có F  DCF 90   CIF 900 hay DC  BF Chứng minh tương tự ta được: DB  CE Trong DBC có DH , CE , BF đường cao nên chúng đồng quy Câu M E C H A B NK O F D OE OF  R   OM  ME  MF Ta có  đường trung trực EF  OM  EF OB OH HOB AOM    OA.OB OH OM (1) OM OA (2) EOM vuông E, đường cao EH nên OE OH OM 2 Từ (1), (2) suy OA.OB OE R (không đổi) R2 OA.OB R  OB  OA mà R khơng đổi OB khơng đổi mà O cố Vì định nên B cố định Vậy điểm M di chuyển đường thẳng d EF ln qua điểm cố định B BO HK  Gọi K trung điểm OB , mà BHO vuông H nên Do OB không đổi nên HK không đổi HN BO S BHO  Kẻ HN  BO , ta có: Vì BO khơng đổi, nên S HBO lớn  HN lớn Mà HN HK , dấu " " xảy  N K Vậy S HBO lớn  HBO vuông cân H  MO tạo với OA góc 45