076 đề thi hsg toán 9 tỉnh lai châu 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LAI CHÂU ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI TỐN Thời gian làm bài: 150 phút  x2 x   x  1 P     :   x x  x  x  1  x    Câu Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P P b) Tìm x để Câu 2 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  x 19  y 200 91 b) Tìm dư phép chia : x  x  cho x  Câu a) Cho phương trình: x   2m  3 x  m 0 (m tham số) Tìm giá trị 2 m để phương trình có nghiệm x1 , x2 cho x1  x2 đật GTNN 2  x  y  xy  y  x 0  2 b) Giải hệ phương trình:  x  y  x  12 0 Câu Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB 2 R C điểm cố định nằm A B Lấy điểm D thuộc  O  (D khác A, B) Qua D vẽ đường thẳng vng góc với CD cắt tiếp tuyến Ax, By M , N Gọi P giao điểm AD CM , Q giao điểm BD CN Chứng minh rằng: a) Tứ giác CQDP nội tiếp b) AM BN  AC.BC c) Qua D kẻ tiếp tuyến  O  cắt Ax, By E , F Tìm giá trị nhỏ S AED  S BFD Câu Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz 1 Chứng minh rằng:  x2  y2  y2  z2  z  x2   3 xy yz zx ĐÁP ÁN Câu ĐKXĐ: x 0, x 1  x2 x  x1 a) P    : x x  x  x  1  x    x2 x         x  x  x 1 x2x  x  x x1   x  x  x 1 x  x 1    x  x  x 1 b) Để  x   x  x 1 x1 x1  x1    x  1  x  x1 2 2 P    x  x  0  x  x 1 Vậy x 4 P  x 1  x  x 1  x 2  x 4   x  3(ktm) Câu 2 2 2 x  x  19  y  x  x   21  y   x  1 3   y  a) Ta có: 2 2 x     y  hay  y 2  1     Vì Mà  x  1 0    y  0  y 7  y  1;4 (2) Từ (1) (2) suy y 1  y 1  x 2 2   x  1 3.  1   x  1 18    y  Vậy phương trình có nghiệm  x; y   2;1 ;   4;1 ;  2;  1 ;   4;  1 200 91 b) Giả sử f  x  x  x  1; g  x  x   f  x  x 200  x 91   x  1  x199  x198   x  x  x  1  g x x   x  1  x  1 Ta thấy:    f  x  x199  x198  x197   x  x  x  h  x     g  x x 1 x 1 Nên số dư f  x  cho g  x  số dư h  x  cho x  Mà 199 198 h   1   1    1     1    1    1    1    1   Vậy số dư phép chia  Câu a) Phương trình x   2m  3 x  m 0 2   m   m  m  12 m   m  m  8m    Có  2m      m  Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m  x1  x2 2m   x x m Theo Viet ta có:  2 2 x  x  x  x  x1 x2   2 Mà  2m  3  2m 4m  12m   2m  11 11  4m  10m   2m      m  2 4  11 Min  x12  x22    m  4 Vậy  x  y  xy  y  x 0 ( I )  2 ( II ) b)  x  y  x  12 0 2 Từ phương trình (I) ta có: x  xy  y  xy  y  x 0  x  x  y   y  x  y    x  y  0   x  y   x  y  1 0 (1)  x 2 y  (2)  x 1  y  x 2 y   y   y   y   12 0   y   0  y   x  4(tm)  19 11  x   y   y  y   y  12    y  19   y   x  (tm)      8 11 19  x; y    4;   ;   ;   8 Vậy Câu O A C P Q M D E B F N y x   a) Xét tứ giác MACD có: MDC MAC 90  Tứ giác MACD nội tiếp 1   MAD  MCD  MD    1   CBD CND  CD  Tương tự tứ giác CDNB nội tiếp ABD MAD       AD  MAD MCD CBD CND Mà       DNC  DCN 900  MN  CD   DCN  DCM 900 DNC DCM Mặt khác:           DCN  DCM 900 DNC DCM  PCQ 900    Tứ giác PCQD nội tiếp (vì PDQ  PCQ 180 ) 0    b) Ta có: MCN 90  cmt   NCB  MCA 90      Mà AMC  MCA 90  AMC BCN (cùng phụ với MCA) A B  900 , M  C  (cmt )  AMC  BCN Xét có:  AMC BCN ( g g )  AM AC   AM BM  AC.BC BC BN c) Ta có: 1  AE  BF  AB  AD.BD 2 1 1  EF AB  AD.BD  AB AB  AD.BD   AB  AD.BD  2 2 2 2 1 AD  BD   AB  AB 2   AB     AB   2 2    Dấu " " xảy  AD BD Hay D nằm cung AB 1 Min  S AED  S BFD   AB   2R  R 4 Khi S AED  S BFD S ABFE  S AED  Câu Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:  x2  y2  xy     2  z  z  z  x    z   xy xy x y xy xy   Tương tự: VT  z  z    x  x    y  y   3 xyz  x    y    z   3  xy  x  y    z   3 xyz   xy  yz  xz    x  y  z   3  2.3 xy yz.zx  4.3 xyz 3   12 3 27 3 27 3 Dấu " " xảy  x  y z 1