PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2020-2021 Thời gian làm : 150 phút Bài Có giỏ táo, giỏ thứ có 11 trái, giỏ thứ hai có trái giỏ thứ ba có trái Nêu cách chuyển trái táo cho số táo giỏ nhau.Việc chuyển táo từ giỏ sang giỏ phải thỏa mãn điều kiện số táo chuyển vào giỏ phải số táo có giỏ Bài 1 1 B 2 So sánh A B a) Cho 20 a , b a b a b b) Tìm số nguyên thỏa mãn A Bài a) Giải phương trình : 20202 2020 x x x x 2020 20212 2021 2 b) Tìm x, y thỏa mãn x x 2 xy 2020 y c) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức M 2 x x Bài 4.Cho tam giác ABC vng A, có AB AC , vẽ đường cao AH , phân giác AD Gọi M , N hình chiếu vng góc D AB AC a) Biết AB 6cm, AC 8cm Tính AH , MN , BD b) Gọi AE phân giác tam giác ABC Chứng minh : 1 1 AB AC AD AB AC AE Bài Cho số thực x, y , z thỏa mãn x, y, z 1 x y z Chứng minh y xz z xy x yz x y z ĐÁP ÁN Bài Ký hiệu a, b, c trạng thái: Giỏ thứ chứa a táo, giỏ thứ hai chứa b táo, giỏ thứ ba chứa c táo 11 8 Ta thấy tổng số táo giỏ sau hoàn thành công việc (quả) Mặt khác, theo điều kiện tốn rõ ràng phải chuyển táo từ giỏ nhiều sang giỏ giỏ lẻ sang giỏ lẻ Kết sau : 11;7;6 4;14;6 4;8;12 8;8;8 Bài a) Ta có : A 1 2 42 2 Suy A B 1 1 2 1 1 2 b) ĐK: a b * 20 a b a b 20 a b a b a b a b 9a 45b a 20a 100b 5b * A B (vô lý) Ta thấy * có dạng A B B 0 Vậy B 0 A 0 Do : 9a 45b a 0 2 9a 45b a 0 * 2 2 20a 100b 5b 0 9a 45b b 0 9a 45b a 0 a b 0(ktm) a b a 9; b 4 a b b 4b 0 Vậy a 9, b 4 Bài a) Biến đổi vế phải ta có : 20212 2020 1 2020 2.2020 2020 20212 2.2020 20202 2020 2020 2020 2020 2021 2.20209 20212 2021 20212 2021 2 2020 2020 2020 2020 2021 2021 2021 2021 2021 2021 2021 Phương trình trở thành : x x 2021 * Xét trường hợp th1: x * x 2021 x 1009(tm) th2 :1 x * x 2021(VN ) th3: x 2 * x 2021 x 1012(tm) Vậy x 1009;1012 x 0 1 xy b) ĐK: Với x 0(tm(1)) lúc phương trình trở thành : 2020 y 0 y 1010 Với x y 0 x x 2 xy 2020 y Vì x xy y x y 2020 0 x x y y 2 x y 2020 0 0; x 0; y 0 nên phương trình (2) vơ nghiệm Vậy x; y 0; 1010 c) Điều kiện : x * - Tìm giá trị lớn Ta có BDT Bunhiacopxki : Với số a1; a2 , b1; b2 ta có : a1b1 a2b2 a a 2 b 2 b ** Đẳng thức xảy M x x Áp dụng (**) ta có Đẳng thức xảy x 0 x x2 x x a1 a2 b1 b2 22 12 x x 25 x 0 x 2 x 2(tmdk (*)) x Vậy Max M 5 x 2 - Tìm giá trị nhỏ Từ điều kiện (*) ta có : x 1 , mặt khác x 0 Từ (1) (2) M 2 x x 2 x x 5 x 0 Đẳng thức xảy Vậy Min M x Bài K A M N C E B H Q D a) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ABC ta có : 1 1 25 2 AH 4,8cm 2 AH AB AC 36 64 576 Áp dụng định lý Pytago tam giác vng ABH ta có : BH AB AH 36 23,04 BH 3,6cm Áp dụng định lý Pytago tam giác vng ABC ta có : BC AB AC 36 64 BC 10cm DB AB 0,75 1 DC AC Áp dụng tính chất đường phân giác ta có Mặt khác BC BD DC 10cm 30 40 24 DB cm, DC cm HD BD BH cm 7 35 Từ (1) (2) Áp dụng định lý Pytago tam giác vng AHD ta có : AD AH DH 576 576 AD 24 cm 25 1225 Tứ giác AMDN hình vng nên MN AD 24 b) Tứ giác AMDN hình vng nên Ta có : S ABC S ABD S ACD cm DM DN AD 1 1 AD AB AC AB.DM AC DN DM AB AC AB AC 2 2 2 1 ( dfcm) AB AC AD Gọi Q, K hình chiếu vng góc E AB AC AE EK EQ Tứ giác AQEK hình vng nên Ta có S ABC S AEC S AEB 1 1 AE AB AC AC.EK AB.EQ EQ AC AB AC AB 2 2 2 1 ( dfcm) AB AC AE Bài x, y 0,1 Vì nên x y 0 xy x y y y z xy x y z 1 z xy x y z x x z z ; 2 3 y xz x y z x xy x y z Tương tự ta có: Cộng vế theo vế 1 , , ta : x y z xyz y xz z xy x yz x y z x y z Dấu " " xảy x y z 1