PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN TÂN PHÚ ĐÊ CHỌN ĐỘI TUYỂN TỐN NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN Thời gian làm 120 phút Câu (3 điểm) Cho a b số thực dương thỏa mãn: a 2019 b 2019 a 2020 b 2020 a 2021 b 2021 Tính giá trị biểu thức P 2022 a b ab 2022 Câu (2 điểm) Giải phương trình sau : a) x x 12 b) x x 3 x2 x 6 x 2 x x Câu (3 điểm) a) Cho x số thực dương, chứng minh x b) Cho a, b, c a b c 3 Chứng minh : 674 674 674 1011 3a 3b 3c 3 x 8 Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn nội tiếp tâm I tam giác ABC tiếp xúc với BC , CA D, E Gọi K điểm đối xứng D qua trung điểm M BC Dựng đường kính DF đường tròn I a) Chứng minh 2BD BA BC AC A; F ; K thẳng hàng b) Đường thẳng vng góc với BC K cắt tia DE Q Gọi N trung điểm QK Chứng minh BN vng góc với AK Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC , AB AC Trên cạnh AB lấy hai điểm D, E cho AD BE D nằm A E Đường thẳng qua E , song song với AC cắt đường ME CD MN BC , CD M , N CN thẳng thứ tự Chứng minh 2 Câu (3 điểm) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x x y y 10 0 ĐÁP ÁN Câu 1.Tính giá trị biểu thức P 2022 a b ab 2022 a 2019 b 2019 a 2020 b 2020 a 2021 b 2021 a 2019 b 2019 a 2020 b 2020 2020 2020 2021 2021 a b a b a 2019 a b 2019 b 1 2020 * 2020 a a b b a 2019 a 2020 b 2020 b 2019 2020 2021 2021 2020 a a b b Th1: Nếu a 1 b 1 a 2019 a b 2019 b 1 a b a 1 * 1 a b 1 a b a b Th2: Nếu Vậy a b 1 P 2022 a b ab 2022 2021 Câu 2.Giải phương trình a) x x 12 x 3 x x 3 x x 3 x x 6 x 3 x DK : x x x 0 1 +Nếu x 3 x 3 x 0 x x x 0 x 4 x 7 2 2 x x x 16 x x 14 1 x 3 x +Nếu x 3 x 3 x x x x 4 x 3 4 x 0 x 4 x 2 3 2 x x x 16 x x 14 Vậy S 2;3;7 x 2 x x b) x x 0 x 4 x 0 Điều kiện : Ta có : x x 2 x x x x 2 x x x x x 3 x 1 x 1 x x 0 x 3(tm) 1 x 0(VN ) x 1 x Vậy S 3 Câu a) Xét hiệu : x3 15 x x 3 x 1 3x 1 3 x 0 3x 8 3x 1 x 1 3 x 3x 8 Dấu " " xảy x 1 b) Áp dụng kết câu a ta : 3 674 1011 1685 a a 3a 8 3a 4 (với x 0) 674 1011 1685 674 1011 1685 b ; c b 4 c 4 Tương tự : Cộng tương ứng : 674 674 674 1011 5055 1011 5055 1011 a b c 3a 3b 3c 4 4 Dấu " " xảy a b c 1 Câu A O F T I B E P D M K a) Chứng minh 2BD BA BC AC A, F , K thẳng hàng Gọi T tiếp điểm AB với I Ta có : BT BD, AT AE , CD CE Mà BA BC AC BT TA BD DC AE EC BD AE BD CE AE EC 2 BD (dfcm) Gọi P, O giao điểm CI với FK , AB Gọi độ dài cạnh BC , AC , AB tương ứng a, b, c C CK BD a c b CK a c b BC CK BK a b c BC BC 2a CM a CK CK a c b Áp dụng tính chất đường phân giác ta có : AO b AO b bc AO BO a AB b a ba CI AC b a CI a b IO AO c CO a b c Áp dụng định lý Talet CP CK a c b CP CP CI a b a c b CI CM a CO CI CO a b c a PC a b a c b a b a c b PO a a b c a b a c b b a b c Xét tam giác CBO có : BK PC AO a b c a b a c b b 1 CK PO AB a c b b a b c ba Theo định lý Mê-lê-na-uyt A, P, K hay A, F , K thẳng hàng b) Đường thẳng vng góc với BC K cắt tia DE Q Gọi N trung điểm QK Chứng minh BN góc với AK CI trung trực DE CID QDK 90 ICD CID ∽ QDK ( g g ) CD ID CD ID CD ID FD QK GK NK DK NK DK DK BK FD CD BK NK DK Mà BKN ∽ FDK (c.g.c) NBK KFD Suy BN vng góc với AK Câu N A D E M C Ta có : ME / / AC DEN có B ME BE AC BA AC / / EN AC AD EN DE ME ME AC BE AD AD EN AC EN BA DE AB.DE ME AD AD ME EN AD AB.DE AD DE. DE AD ME AD AD AD CD MN AD DE AE AE CN Câu Với x, y số nguyên 2 1 1 x x y y 10 0 x y 10 x y x y 1 10 2 2 2 x y 5 x y x y x y 5 x y 10 x y x y x y 10 x y x y 1 2 x 1 Vì nên Vậy tập hợp cặp số nguyên x; y : 1;4 ; 1;4 ; 1; 3 ; 1; 3 ; 2;6 ; 2;6 ; 2; ; 2; x 1 x 1 y 4 x 1 x 1 y x 4 x 2 y 6 x 4 x 2 y