Đề thi HSG lớp 9 quận Tân Bình – (20142015) môn Toán49351

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN TÂN BÌNH – (2014-2015) Thời gian: 120 phút (NGÀY THI: 11/10/2014) Bài 1: (3 điểm) Rút gọn:  22 A    10    10      2 Bài 2: Gi i ph ng trình hệ phương trình sau: a)  x  3 x  5   x  5 x3 0 x 5 b) 3x  6x  41  10 2x  1 1 x  y  z   c)    4  xy z (2 điểm) (2 điểm) (2 điểm) Bài 3: a) Cho a > ; b > ; c > Chứng minh : a b c   6 a 1 b 1 c 1 (1 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: M  2x  5x   x   2x (2 điểm) c) Tìm nghiệm nguyên tố phương trình x  2y2  (1 điểm) b) Cho x  Bài 4: Cho ABC nội tiếp (O) đường kính AB Kẻ đường cao CH ABC Vẽ (I) tiếp xúc với HC, HB E, D tiếp xúc với (O) F a) Cho HA – HB = 5,6cm; tanCAD  Tính CA, CB (2 điểm) b) Chứng minh: A, E, F thẳng hàng ACD cân (2 điểm) Bài 5: Cho ABC COÙ CBA  600 ;BC  a;AB  c (a, c hai độ dài cho trước) Hình chữ nhật MNHK có đỉnh M cạnh AC; N cạnh AC; H, K cạnh BC Hình chữ nhật MNHK gọi hình chữ nhật nội tiếp ABC Tìm vị trí M cạnh AB để diện tích hình chữ nhật MNHK đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn theo a c (3 điểm)   HẾT   Học Sinh Giỏi Lớp – Quận TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN TÂN BÌNH (2014-2015) Bài 1: Rút gọn:   22 A    10    10      2 Đặt B   10    10  ; B >   B2  16  64  10   2     10    B2  16  24   16   B2  16    12   B  10  Khi đó: A     Bài 2: Gi i ph  B >  10   1  1  22 2     1   1          5     1 62  1  ng trình: a)  x  3 x  5   x  5 x3 0 x 5 Điều kieän : x  hay x  3 x3 0 x 5  x3   x    x    0 x     x  3 x  5   x  5 x    x3  x   x   Giaûi (1): x    x3 1 x3 0 x 5  điều kiện: x  3  x3   x3   x  3      x  3  x   0 x 5 x 5  x 5  Học Sinh Giỏi Lớp – Quận TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG  x  3  nhaän   x  3     x  4  loaïi     2x  24    x   nhaän 2014 -2015 Vaäy S  3; 6 b) 3x  6x  41  10 2x  3x  6x  41  10 2x   2x   10 2x   25  x  6x      2x      x 3   x     2x     x  3  Vaäy S  3 1 1 x  y  z   c)     20   xy z Điều kieän: x  0;y  0;z  1 1 1 10 10 1   25    x  y  xy z   x  y x y  z      25    25  z  z xy xy  10  2   10 1 10 10    25      25    xy  25  25    x  y  xy x y x y   x  y     1 1     5   z  x y x y z  1 x 5 2     1   x          x 1   y     5  y  Vậy nghiệm hệ pt laø y 1    1 z   x  y 1       z  z  1 1 x  y  z       20   xy z Baøi 3: a) Cho a > ; b > ; c > Chứng minh :  x    y   1  z   a b c   6 a 1 b 1 c 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:  a 1 a a  a 1   2 1 a  1  2 a 1 b  2; 2 Chứng minh tương tự, ta có: b 1 c 1 Do đó: a   a b c     Daáu ‘’=’’ xaûy b    a  b  c  a 1 b 1 c 1 c    Hoïc Sinh Giỏi Lớp – Quận TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG b) Cho x  2014 -2015 Tìm giá trị lớn M  2x  5x   x   2x M  2x  5x   x   2x   2x  1 x    x   2x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:  2x   x  3x  =   2x  1 x    2     x x 2 x     2 3x  x    2x  1 x    x    2    2x  1 x     2x  1 x    x   2x  x   2x  5 M5 Vậy giá trị lớn M 2x   x  Dấu ‘’=’’ xảy   x 1 4  x  c) Tìm nghiệm nguyên tố phương trình x  2y2  Caùch 1: x  2y2   x 1  2y2   x 1 x  1  2y   x  1 x  1  soá  x  1  x  1 phải có số chẵn (1) Ta có:  x  1   x  1  2x số chẵn   x  1  x  1 có tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2)   x  1 vaø  x  1 chẵn   x  1    x  1 x  1  2y  y 2  y   y nguyên tố    x  1 Thế x = vào x  2y2  , ta được: x2  2.22   x   x nguyên tố  Vậy cặp nghiệm nguyên tố phương trình x = 3; y = Caùch 2: x  2y2   x   2y2   x  1 x  1  2y2   x 1 x  x  1  2xy maø  x  1 x  x  1 số tự nhiên liên tiếp nên  x  1 x  x  1 Do : 2xy2  xy2 TH1: x  x   x nguyên tố  Thế x = vào x  2y2  , ta được: 32  2.y   y   y nguyên tố  TH2: y  y   y nguyên tố  Thế y = vaøo x  2y2  , ta được: x2  2.32   x2  29 loại  x nguyên tố  Vậy cặp nghiệm nguyên tố phương trình x = 3; y = Baøi 4: Cho ABC nội tiếp (O) đường kính AB Kẻ đường cao CH ABC Vẽ (I) tiếp xúc với HC, HB E, D tiếp xúc với (O) F Học Sinh Giỏi Lớp – Quận TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 C F E I A D O H a) Cho HA – HB = 5,6cm; tanCAD  B Tính CA, CB Dễ thaáy CAB  HCB  tanCAB  tanHCB  HC HB   HA HC HC HB 3 HB      HA HC 4 HA 16 Maø HA – HB = 5,6 neân HA = 12,8 (cm); HB = 7,2 (cm) Ta coù: AB = HA + HB = 12,8 + 7,2 = 20 (cm) Xét CAB vuông C, ta có CH đường cao  CA  HA.AB  12,8  20   256  CA  16  cm      CB  HB.AB   7,2   20   144 CB  12  cm  b) Chứng minh: A, E, F thẳng hàng ACD cân  Xét FIE FOA, ta có: FIE  FOA  góc đồng vị IE // OA    FIE   IF IE tỉ số bán kính  I  O     OF OA  tia FE trùng với tia FA  A, E, F thẳng hàng EIO  2EFI  góc IEF cân I  Dễ thấy:   OID  2IFD  góc IDF cân I      EIO  OID  EFI  IFD  EID  2EFD  EFD  FOA  c  g  c  IFE  OFA EID 180  DIE DIE  2 AD AE AFD  g  g     AD2  AE.AF AF AD Mặt khác: ADE  90  IDE  90  Do đó: ADE  EFD …  ADE Học Sinh Giỏi Lớp – Quận TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015  AE.AF  AH.AB AHE AFB Maø   AH.AB  AC  Hệ thức lượng  nên AD2  AC2  AD  AC  ACD caân A Bài 5: Cho ABC CÓ CBA  600 ;BC  a;AB  c (a, c laø hai độ dài cho trước) Hình chữ nhật MNHK có đỉnh M cạnh AC; N cạnh AC; H, K cạnh BC Hình chữ nhật MNHK gọi hình chữ nhật nội tiếp ABC Tìm vị trí M cạnh AB để diện tích hình chữ nhật MNHK đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn theo a c A AB = c; BC = a M N 600 B K I ABI vuông I có B  60  sinB  H C AI  AI  AB.sinB  c.sin60  c AB  MN AM  BC  AB MN MK AM BM AM.BM  AM  BM AB2 Dễ thấy           BC AI AB AB 4 AB2 AB2 AB2  MK  BM  AI AB  SMNHK  1 3 BC.AI  a.c  ac 4 Dấu “=” xảy  AM  MB  M trung điểm AB Khi SMNHK  ac   HEÁT   Học Sinh Giỏi Lớp – Quận TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com ...  g  g     AD2  AE.AF AF AD Mặt khác: ADE  90  IDE  90  Do đó: ADE  EFD …  ADE Học Sinh Giỏi Lớp – Quận TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG... tiếp xúc với (O) F Học Sinh Giỏi Lớp – Quận TÂN BÌNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THAÊNG LONG 2014 -2015 C F E I A D O H a) Cho HA – HB = 5,6cm; tanCAD  B Tính...CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN TÂN BÌNH (2014-2015) Bài 1: Rút gọn:   22 A    10    10      2 Đặt B  