ĐỀ THI HSG LỚP – LỘC HÀ – NĂM HỌC 2015 – 2016 Thời gian làm 90 phút ( Từ câu đến câu 10 ghi đáp số Từ câu 11 đến câu 12 trình bày lời giải đầy đủ) Câu 1: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x2y2 – x2 – 3y2 – 2x – = Câu 2: Cho số a, b, c thỏa mãn a2 + 2b + = b2 + 2c + = c2 + 2a + = Tính giá trị biểu thức P = a2015 + b2015 + c2015 a2 b2 (a 1, b 1) Câu 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = b 1 a 1 Câu 3: Cho hình vng ABCD cạnh a điểm E cạnh BC Tia Ax vuông góc với AE cắt cạnh CD F, đường thẳng AE cắt CD M Kẽ trung tuyến AI tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G 1 a) Tứ giác EGFK hình gì? b) Tính AE AM Câu 5: Cho tam giác ABC, Gọi Mlaf điểm nằm tam giác, đường thẳng AM, BM, CM cắt cạnh BC, CA, AB D, E, F Tính giá trị AM BM CM P AD BE CF y2 Câu 6: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x tích xy đạt giá trị lớn x Câu 7:Cho tam giác ABC, gọi O trung điểm cạnh BC Vẽ góc xOy 600 cho Ox cắt cạnh AB M, Oy cắt cạnh AC N Tính tỉ số BC2:(BM.CN) Câu 8: Tìm số có chữ số cho ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt bên trái số gồm hai chữ số cịn lại số có chữ số lớn chữ số ban đầu 765 đơn vị Câu 9: Cho đa thức f(x) = x4 + mx3 + 29x2 + nx + (x nguyên) Tìm số nguyên dương m, n để giá trị f(x) số phương Câu 10 Trong hình vẽ bên cạnh hình vng chia thành đoạn Tính tỉ số diện tích phần tơ đậm với diện tích hình vuông lớn x x 1 b) Cho x, y, z hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng: 1 số hữu tỉ A 2 ( x y) ( y z) ( z x) Câu 12: a) Cho tam giác ABC đều, E điểm thuộc cạnh AC (E khác A), K trung điểm AE, đường thẳng EF qua E vng góc với đường thẳng AB (F thuộc AB) cắt đường thẳng qua C vng góc với đường thẳng BC D Chứng minh rằng: Tứ giác BCKF hình thang cân KE.EC = ED.EF b) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Giả sử HD AD Chứng minh rằng: tanB.tanC = Câu 11: a) Giải phương trình: x3 2x x ThuVienDeThi.com