Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi G là trọng tâm và I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC.. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS KHÓA NGÀY : 18 – – 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 18 /3/2015 Bài 1: (6,0 điểm) x − y ¿ 3+3 ( x − y)( xy+ 1) , biết A=¿ 3 3 x=√ 2+ √ − √ − √3 , y=√ √ 5+2 − √ √5 − a) Tính giá trị biểu thức: b) Giải hệ phương trình: ¿ x + y 2=11 x+ xy + y=3+ √ ¿{ ¿ Bài 2: (5,0 điểm) a) Cho phương trình: x2 + mx− 28=0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn điều kiện: x1 +2 x 2=1 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2 x + y +4 xy +4 x+2 y −3=0 Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có cạnh BC trung bình cộng cạnh AB và AC Gọi G là trọng tâm và I là giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Chứng minh: IG // BC Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn tâm I Đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB D, E, F Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC M Đường thẳng AD cắt đường tròn (I) N (khác D) Chứng minh MN là tiếp tuyến đường tròn (I) Bài 5: (2,5 điểm) Cho số x , y , z > thỏa điều kiện Tìm giá trị lớn biểu thức: x+ y+ z=1 x y z P= + + x+ y+ z+ (2) LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH Môn TOÁN - LỚP – Năm học : 2014 – 2015 Bài 1: ( 6,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức : A = ( x – y)3 + 3(x – y )(xy + 1), biết x= 2 - 2 , y= 2 - 5 Giải : Ta có : x3 = + - + - 3x x3 + 3x - = (1) y3 = + - + – 3y y3 + 3y – = (2) Trừ (1) và (2) có : x3 – y3 + 3(x – y) + - = (x – y)3 + 3xy(x – y) + 3(x – y) + - = (x – y)3 + 3(x – y )(xy + 1) = - Vậy: A = - x y 11 b) Giải hệ phương trình : x xy y 3 2 ( x y ) xy 11 Giải : Hệ phương trình tương đương với : ( x y ) xy 3 u 2v 11 Đặt u = x + y ; v = xy Ta có hệ : u v 3 u2 + 2u – ( 17 + ) = Giải : u1 = + u 2v 11 2u 2v 6 2 ; u2 = - – v = ; v2 = + x y 3 x = ; y = x = Ta có : xy 3 x y xy 8 không tồn x ; y Hệ có hai nghiệm ( ; Từ đó suy : ;y=3 ) và ( ; 3) Bài 2: ( 5,0 điểm) a) Phương trình 5x2 + mx – 28 = có: = m2 + 560 > , với m m Áp dụng hệ thức Vi-et : x1 + x2 = Theo giả thiết: 5x1 + 2x2 = 28 ; x1x2 = (3) m x1 x2 2m (m 1) 5 x1 x2 1 Giải hệ : ta : x1 = 15 ; x2 = 2m (m 1) 28 x1x2 = 15 = (2m + 5)(m +1) = 252 2m2 + 7m – 247 = 19 Giải : m1 = ; m2 = - 13 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 5x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y – = (1) (1) x2 + (2x + y + 1)2 = Vì x ; y Z và có thể viết thành tổng số chính phương là và nên ta có các x 0 trường hợp : (2 x y 1) 4 x 0 x y 2 x 0 x y x 2 x y 0 x x y 0 x 4 (2 x y 1) 0 Phương trình có nghiệm ( ; -1) ; (0 ; -3) ; (2 ; -5) ; (-2 ; 3) Bài 3: ( , điểm) Chứng minh : IG // BC Đặt BC = a ; CA = b ; AB = c A G I B H K N M C Ta có : a = (b + c) ( gt) Hạ AH BC ; IK BC ; GN BC GN GM GN // AH AH AM SGBC GN 1 SGBC S ABC S AH ABC (1) 1 1 rb rc SBIC = IK.BC = r.a = r (b + c) = 2 1 S S AIC AIB = = (SABC – SBIC) SBIC = SABC (2) Từ (1) và (2) suy : SGBC = SBIC IK = GN IG // BC (4) Chứng minh : MN là tiếp tuyến (I) Gọi K là giao điểm IA và EF ; H là giao điểm IM và AD Ta có IA là đường trung trực EF nên IA EF Ta có ID2 = IE2 = IK IA ( hệ thức lượng) A N F K E I j H B D C M ID IK IA ID Do đó: IDK IAD (c –g – c) gIDK = gIAD Tứ giác IDMK nội tiếp nên gIDK = gIMK gIAD = gIMK Tứ giác AKHM nội tiếp gAHM = gAKM = 900 ND IM H Ta có : IN2 = ID2 = IH IM IN IM IH IN Do đó : INM IHN (c- g- c) INM = IHN = 900 IN NM đpcm Bài 5: (2,5 điểm) Cho x , y, z > thõa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn : x y z P = x 1 y 1 z 1 x y z Giải : Từ giả thiết = x + y + z , ta có : P = x y z x y z x y z Đặt a = 2x + y + z ; b = x + 2y + z ; c = x + y +2z a , b, c > Ta có : a + b + c = 4( x + y + z) = (a – x) = 4(b – y) = 4(c – z) 3a (b c ) Từ a + b + c = 4(a – x) x = 3b (c a ) 3c (a b) 4 Tương tự : y = ; z= 3a (b c ) 3b (c a ) 3c (a b) 4a 4b 4c Ta có : P = + + b a b c c a b c ca a b 4P = ( - a ) + ( - b ) + (3 - c ) = - a b - c b - a c – = (5) P 4 Dấu « = » xảy a = b = c = x = y = z = 3 Vậy Pmax = x = y = z = GV Nguyễn Đình Tự - THCS Phước Thành (6)