Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán tỉnh Kiên Giang niên khóa 2018-2019 - Học Toàn Tập

Ngoài các kiến thức trong chương trình Chuẩn và Nâng cao, nếu học sinh có sử dụng các kiến thức phổ biến trong tài liệu chuyên Toán của Nhà xuất bản Giáo dục, các chuyên đề bồi dưỡng họ[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIÊN GIANG

-

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH THCS NĂM HỌC 2018-2019

- HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN

Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 14/3/2019

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

A HƯỚNG DẪN CHẤM

Ngoài kiến thức chương trình Chuẩn Nâng cao, học sinh có sử dụng kiến thức phổ biến tài liệu chuyên Toán Nhà xuất Giáo dục, chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi… giám khảo xem xét cho điểm tương ứng cách giải logic

B ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

Câu Ý Nội dung điểm Biểu

Câu (4 điểm)

1)

Cho phương trình x22mx m 0 (m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, thỏa mãn x1x2 2

Phương trình có nghiệm phân biệt x x1, 2  / 0 hay m2 m 0

m m1

Theo Viete: S  x1 x2 2 ;m P x x 2m

 2

1 2

x x   x x 

2

1 2

x x x x

   

S24P4 m2  m 1 0

2

m 

  (thỏa điều kiện)

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

2)

Tìm nghiệm  x y; thỏa mãn phương trình:

2 2

4x  4 x x y 2y 3 x 16 y Điều kiện xác định:

2

2 2

2 2

4

2 2

16

1

1

4

2 x

x

x x

x

x x y y y

x y y

x y y

 

   

      

  

         

  

 

     

     



Phương trình ban đầu trở thành

    

   

2

3

1 ( )

y y y

y y a

Nếu y1 (a)

2

     y y y (nhận) Nếu y < (a)    1 y y (vô nghiệm)

0,25 0,25 0,25

Vậy phương trình cho có nghiệm  x y; 2;3

 

 

  0,25

Câu (4 điểm)

1)

Cho số thực không âm , ,a b c thỏa a b c  3 Chứng minh: abc ab bc ca   3

Áp dụng BĐT AM-GM cho ba số không âm , ,a b c:

1

a b c abc    

  (1)

Mặt khác, ta lại có : 3ab bc ca    a b c  2 (2)

Thật vậy, BĐT (2) tương đương với ab bc ca a   2b2c2

  2  2 2

0

a b  b c  c a  (đúng)

Do đó,  

2 3

a b c

ab bc ca      (3)

Nhân (1) (3) ta abc ab bc ca   3 (đpcm)

0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

2)

Một ô tô khởi hành từ TP Rạch Giá đến TP Hồ Chí Minh dài 280km với vận tốc 80km/giờ Cứ sau lại giảm vận tốc km Hỏi đến TP Hồ Chí Minh

Trong tơ 80 75 70 225   km Còn 55 km ô tô với vận tốc 65 km/giờ Ta có 55 11

65 13 Suy 11 50

13 13

 

Vậy ô tô từ TP Rạch Giá đến TP Hồ Chí Minh hết 50

13 (tức khoảng 51 phút)

0,75 0,25 0,25 0,25 0,5

Câu

(4 điểm) 1a)

Cho đa thức hệ số nguyên  

1 n n

n n

P x a x a x  a x a



     hai số nguyên ,a b khác Chứng minh: P a P b   a b 

Sử dụng đẳng thức

akbk a b a  k1a bk2   abk2bk1 với k1 số nguyên

       1  

1

n n n n

n n

P a P b a a b a  a  b   a a b

   

 

1 2

2 3

1

n n n n

n

n n n n

n

a b a a a b ab b

a a a b ab b a

   

   





       



       

Do ,a b nguyên nên suy P a P b   a b 

0,25 0,25 0,25 0,25

1b)

Cho đa thức P x  hệ số nguyên thỏa P 9 10 P 10 9 Tồn hay không số nguyên x0 cho P x 0 x0

Giả sử tồn số nguyên x0 cho P x 0 x0 Từ câu a) ta có

 0   9 9  10  9

P x P  x   x   x 

 0   10 10  9  10

P x P  x   x   x 

Suy 0

19

10

2 x   x  x  

Không tồn số nguyên x0 thỏa yêu cầu toán

0,25

0,25 0,25

2)

Tìm nghiệm nguyên  x y; phương trình: x2  y 1 y22x

 2

2 1 2 1

x   y y  x x y  y

x y x y y

     

Có trường hợp xảy



1

x y y x y

x y x y

    

 

      

  vô nghiệm nguyên

 1

1 1

x y x y x

x y y x y

     

  

        

  

 1

1 1

x y y x

x y y

    

 

       

 

 1

1

x y

x y y

    

    

 khơng có nghiệm ngun

Vậy phương trình có nghiệm ngun  x y; 1; 1 

0,5 0,25

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu (4 điểm)

1)

Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 50 sau thực trị chơi sau: lần xóa hai số a, b viết số a b 2 lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 49 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao?

Tổng tất số ban đầu bảng: S    1 50 1275

Qua bước ta thấy tổng giảm

Lúc đầu tổng S1275 sau 49 bước số lại 1275 2.49 1177 

0,5 0,5 1,0

2)

Cho hình vẽ bên, với ABCD hình vng có cạnh a, BD song song với CE BD BE Tính số đo góc BEC

J I

E

D C

B A

Gọi J giao điểm hai đường chéo hình vng ABCD; I chân đường vng góc hạ từ B lên CE

Ta có tứ giác BICJ có cặp cạnh đối song song

Nên

2

a BI JC AC

2 BE BD a 

Trong tam giác vuông BIE có sin BI BEI

BE

 

Suy BEI300

0,5

Câu (4 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) với AD đường kính Biết

AB BC  cm CD6cm Tính bán kính đường trịn (O)

I

O

C

A D

B

Gọi I giao điểm BO AC

Do AB BC nên  AB BC OA OC Suy OBAC IA IC

Suy OB song song với CD

Từ

2

OI  CD

Áp dụng định lý Pytago hai tam giác vuông IBC IOC :

2 2

IC BC IB IC2OC2OI2 Suy BC2IB2 OC2OI2

 2  2 2

2 R R

    

2 3 10 0 5

R R R cm

      (R 2 loại)

0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5