Đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán 2011

TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 MÔN: TOÁN (Vòng 2) Câu I 1) Điều kiện  x  , phương trình tương đương với  x3  x (  x  1)   3(  x  1)  x  x  Nếu  x      x   đồng thời x x3  1 3 Suy VT  VP (loại) Thử lại ta thấy x  nghiệm 2) x  y  nghiệm Xét x  0, y  hệ phương trình tương đương với 1 1 1     (1) 2 x x y y2        1         (2) 1     x y   x y  xy   xy   1 x  y  1 1  Thay (1) vào (2) ta thu        x  y 1 x y  1  xy Câu II  1 1   K 1 K  3 n    , n   K  Ta có K  n  27 27   1 K 1  ( K  )3  n   ( K  )3  K  K    n  K  2K  K  27 3 27 27 27 1) Ký  K3  hiệu K  n  K  K  3K  K   K  n  K  ( K  1)3 3  1 Suy n  K  n   n    không biểu diễn dạng lập phương số 27   nguyên dương TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 2) Ta có  x  5   y  5  z    x  y  x  z    y  z  y  x     z  x  z  y  3 x  y    x  z  3 x  y    y  z   z  x    z  y  9x  y  6z    3x  y  z    2 2 3x  y  z  Đẳng thức xảy  x  y  1, z  6( x  5)  6( y  5)  z  Suy P  Vậy Pmin  Câu III 1) Tứ giác BPIM nội tiếp AD BC  MAD  BPM  BIM  tứ giác AMID nội tiếp Tương tự tứ giác DNIA nội tiếp Vậy năm điểm A, M , I , N , D thuộc đường tròn  K  2) Do tứ giác BPIM CPIN P B nội tiếp nên ta có QMI  BPI  CNI M C I N  tứ giác MINQ nội tiếp Mà M , I , N   K   Tứ giác MINQ nội tiếp đường tròn  K  D A K Vậy Q thuộc đường tròn  K  (đpcm) 3) Khi P, I , Q thẳng hàng, kết hợp với Q thuộc đường tròn  K  ta có Q AIQ  PIC (đối đỉnh) P B PIC  PNC (do tứ giác NIPC nội tiếp) PNC  QND (đối đỉnh) C M I N QND  QID (do tứ giác INDQ nội tiếp )  AIQ  QID  IQ phân giác DIA nên IP phân giác góc BIC Do A D K PB IB ID IB  ID BD PB BD       (đpcm) PC IC IA IC  IA AC PC CA Q TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 Câu IV Giả sử A có n số, xếp chúng theo thứ tự  x1  x2  x2  Suy với k 1,2,3, , n 1 ta có xk 1  xi  x j  xk  xk  2xk  2 với  i, j  k Áp dụng kết   ta thu x2    2, x3    4, x4  8, x5  16, x6  32, x7  64 Suy tập A phải có phần tử +) Giả sứ n   x8  100 Vì x6  x7  32  64  96  x8  2x7  x7  50 Vì x5  x6  16  32  48  x7  2x6  x6  25 Vì x4  x5   16  24  25  x6  x5  x5  25 (mâu thuẫn) +) n  ta có tập 1,2,3,5,10,20,25,50,100 thỏa mãn yêu cầu toán Đáp số: n   xn  100 1