Đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán 2011

Thử lại ta thấy x 1 là nghiệm... 1 Tứ giác BPIMnội tiếp và AD BC MADBPM BIM tứ giác AMID nội tiếp.. Tương tự tứ giác DNIA nội tiếp.. Vậy Qthuộc đường tròn K đpcm 3 Khi P I Q, , th

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011

MÔN: TOÁN (Vòng 2)

Câu I 1) Điều kiện 0  x 1, phương trình tương đương với 3 ( 1 1) 1

3

x

 

3( 1 x 1) x x 3

     

Nếu 0  x 1 3  1  x 1 3 đồng thời x x 3 1 43

Suy ra VTVP (loại)

Thử lại ta thấy x 1 là nghiệm

2) x y 0 là nghiệm Xét x 0,y 0 hệ phương trình tương đương với

         

Thay (1) vào (2) ta thu được

3

1 1

2

1 1

8

1 1

x y

x y

xy

  



  



1

x y

  

Câu II

1) Ký hiệu 3 1 1

,

27 3

   

  do n1K 1 Ta có 3 1 1

1

27 3

K n   K

2

K

3

K

( 1)

Suy ra

2

27 3

     

  không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số

nguyên dương

2) Ta có

6 x  5 6 y  5 z  5 6 xy xz  6 yz yx  zx zy

xy  xz xy  yz z  x z y

3 3 2

 

Suy ra

3

P

 

     Đẳng thức xảy ra   x y 1,z2.

Vậy min 2

3

Câu III

1) Tứ giác BPIMnội tiếp và AD BC MADBPM BIM tứ giác AMID nội tiếp Tương tự tứ giác DNIA nội tiếp Vậy năm điểm A M I N D, , , , thuộc một đường tròn  K

2) Do các tứ giác BPIM và CPIN

nội tiếp nên ta có QMI BPI CNI

 tứ giác MINQ nội tiếp

Mà M I N, ,  K Tứ giác MINQ nội tiếp đường tròn  K

Vậy Qthuộc đường tròn K (đpcm)

3) Khi P I Q, , thẳng hàng, kết hợp với

Q thuộc đường tròn K ta có

AIQPIC (đối đỉnh)

PICPNC(do tứ giác NIPC nội tiếp)

PNCQND(đối đỉnh)

QNDQID(do tứ giác INDQ nội tiếp )

AIQQID

IQ

 là phân giác DIA nên IP là phân giác gócBIC

Do đó PB IB ID IB ID BD PB BD



K

Q

N

P

K

Q

N M

P

I

Câu IV Giả sử A có n số, chúng ta xếp chúng theo thứ tự 1 x1 x2 x2  x n 100 1 

Suy ra với mỗi k1, 2,3, ,n1ta có x k1  x i x j x kx k 2x k  2 với 1i j, k.

Áp dụng kết quả  2 ta thu đượcx2   1 1 2,x3   2 2 4,x4 8,x5 16,

x  x  Suy ra tập A phải có ít nhất 8 phần tử

+) Giả sứ n8 x8 100

Vì x6 x7 32 64 96   x8 2x7 x7 50

Vì x5  x6 16 3248x7 2x6x6 25

2

8 16 24 25 2

x x     x  x x  (mâu thuẫn)

+) n9 ta có tập 1, 2,3,5,10, 20, 25,50,100 thỏa mãn yêu cầu bài toán 

Đáp số: n  9