Đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán 2012

Trong CEFcó CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên CEFcân tại C... Mà CO là đường cao tam giác cân CEF OEOF.. Từ đó OEOCOF vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF 

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011

MÔN: TOÁN (Vòng 1) Câu I 1) Hệ phương trình tương đương với

2

2

( 1) ( 1) 2







2

2

( 1)( 1) 2 (1)

( 2)( 1) 1 (2)



 



+) Nếu x 1suy ra 2

(x 1)(y   1) 0 nên từ (1)    2 y 0 2

2 ( 2)( 1) 0

      do đó từ (2)  x 1 0  x 1 mâu thuẫn

+) Nếu x 1, tuơng tự suy ra x 1 mâu thuẫn

+) Nếu x  1 y 2 (thỏa mãn)

Đáp số x 1,y 2.

2) Điều kiện x 0 Phương trình tương đương

2 3 2(x 1) x x 7

x

Chia hai vế cho x 0ta thu được

    (x 3) 2(1 1) x 3 4 0

3

x x





  



+) Giải x 3 2 x 3 42 x3 3x 4 0

(x 1)(x x 4) 0 x 1

Đáp số x 1,x 3

Câu II 1) Giả sử tồn tại các số nguyên x y z, , thỏa mãn

Ta có 4

0,1 (mod 8)

a  với mọi số nguyên a

4

0,1, 2,3 (mod 8)

8 5 5(mod 8)

z



 

 



Mâu thuẫn với (1) Vậy không tồn tại ( , , )x y z thỏa mãn đẳng thức

2) Phương trình tương đương với

(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) y

     (2x2 2)(4 )x y3  8x3 8x y3.

(2 )x y (2x 1)

    (mâu thuẫn vì ynguyên)

+) Nếu x  1 và ( , )x y là nghiệm, ta suy ra (  x, y)cũng là nghiệm, mà   x 1 mâu thuẫn +) Nếu x   0 y 0(thỏa mãn)

Vậy x y 0là nghiệm duy nhất

Câu III

1) Tứ giác OBCD nội tiếp và CO là phân giác góc BCD

      cân tại OOBOD(1).Tứ giác OBCD nội tiếp

ODCOBE (2)(cùng bù với góc OBC) Trong CEFcó CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên CEFcân tại C Do AB CF  AEB AFCEAB ABEcân tại

B BEBACD (3). Từ (1), (2), (3)suy ra OBE ODC c(  g c) (đpcm)

E

F

O I

A

D

2) Từ câu 1) OBE ODC suy ra OEOC Mà CO là đường cao tam giác cân

CEF OEOF Từ đó OEOCOF vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

CEF

 (đpcm)

3) Theo (3)BECD mà CECF BCDF Ta có CI là đường phân giác

Mà COlà trung trực EF và ICOIEIF

Từ hai đẳng thức trên suy ra IB BE EI ID DF FI (đpcm)

Câu IV Ta chứng minh

x y  x y

x y x y

(x 2y ) x x( 8y )

4x y 4y 8xy

2

   (đúng)

Ta chứng minh

y x y  x y

(x 2y ) y y( (x y) )

(x 2y ) y y x( y)

(x y )(x 3y ) y x( y)

Ta có

2

2 2 2 2 2 2

2

x y x y x y y x y y x y

(2)

 đúng

Từ (1)và (2)  P 1 Dấu bằng xảy ra  x y Vậy Pmin 1