Đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán 2012

TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 MÔN: TOÁN (Vòng 1) Câu I 1) Hệ phương trình tương đương với  ( x  1) y  ( x  1)   y   ( y  2) x  ( y  2)  x   ( x  1)( y  1)   y (1)   ( y  2)( x  1)  x  (2) +) Nếu x  suy ( x  1)( y  1)  nên từ (1)   y   y   ( y  2)( x2  1)  từ (2)  x    x  mâu thuẫn +) Nếu x  1, tuơng tự suy x  mâu thuẫn +) Nếu x   y  (thỏa mãn) Đáp số x  1, y  2) Điều kiện x  Phương trình tương đương 2( x  1) x  x  x Chia hai vế cho x  ta thu 2(1  ) x x 3 3  x   ( x  )  2(1  ) x     ( x   2) ( x   )  x x x x x x x x x +) Giải x x  3   x    x2  4x     x x x  +) Giải x 3   x    x3  3x    ( x  1)( x2  x  4)   x  x x x x Đáp số x  1, x  Câu II 1) Giả sử tồn số nguyên x, y, z thỏa mãn x4  y  z   x4  y  z  8z  (1) TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 Ta có a  0,1 (mod 8) với số nguyên a  x  y  z  0,1, 2,3 (mod 8)    8 z   5(mod 8) Mâu thuẫn với (1) Vậy không tồn ( x, y, z ) thỏa mãn đẳng thức 2) Phương trình tương đương với ( x  1)2  ( x  1)2  ( x  1)2  ( x  1)2   y  (2 x2  2)(4 x)  y3  8x3  8x  y3 +) Nếu x   8x3  8x3  8x  (2 x  1)3  (2 x)3  y3  (2 x  1)3 (mâu thuẫn y nguyên) +) Nếu x  1 ( x, y) nghiệm, ta suy ( x,  y) nghiệm, mà  x   mâu thuẫn +) Nếu x   y  (thỏa mãn) Vậy x  y  nghiệm Câu III 1) Tứ giác nội OBCD tiếp CO phân giác góc BCD  OBD  OCD  OCB  ODB  OBD cân O  OB  OD (1) Tứ giác OBCD nội tiếp ODC  OBE (2) (cùng bù với góc OBC ) Trong CEF có CO vừa đường cao vừa đường phân giác nên CEF cân C Do AB CF  AEB  AFC  EAB  ABE cân B  BE  BA  CD (3) Từ (1),(2),(3) suy OBE  ODC(c  g  c) (đpcm) B C E I O A D F TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 2) Từ câu 1) OBE  ODC suy OE  OC Mà CO đường cao tam giác cân CEF  OE  OF Từ OE  OC  OF O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF (đpcm) 3) Theo (3)  BE  CD mà CE  CF  BC  DF Ta có CI đường phân giác góc BCD  IB CB DF    IB.BE  ID.DF ID CD BE Mà CO trung trực EF I  CO  IE  IF Từ hai đẳng thức suy IB.BE.EI  ID.DF.FI (đpcm) Câu IV Ta chứng minh x3 x2  (1) x3  y x2  y  x3 x4   ( x2  y )2  x( x3  y3 )  x2 y  y  8xy 3 2 x  8y (x  y )  x  y  xy (đúng) Ta chứng minh  y3 y2 (2)  y  ( x  y )3 x2  y y3 y4  y  ( x  y )3 ( x  y )  ( x2  y )  y( y3  ( x  y)3 )  ( x2  y )2  y  y( x  y)3  ( x2  y )( x2  y )  y( x  y)3 Ta có x  y  ( x  y )2 TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 x2  y  x2  y  y  xy  y  y( x  y)  ( x  y )( x  y )  ( x  y)2 y( x  y)  y( x  y)3  (2) Từ (1) (2)  P  Dấu xảy  x  y Vậy Pmin 