Đề thi HSG lớp 8 môn Toán Trường Ngô Quyền (20142015)39197

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP Trường NGÔ QUYỀN (2014-2015) Thời gian: 90 phút (NGÀY THI: 12-01-2015)   x 4x 2  x   4x  12x    Baøi 1: A    :    x x   x   2x  x  a) Tìm điều kiện A rút gọn A b) Tìm x để A  Z Bài 2: Tìm x biết: a) 2013x2  x  2012 b)  x   x  3 x   x  5  24  Bài 3: a) Tìm giá trị nhỏ A  2x2  y2  2xy  4x  2y  a b c a2 b2 c2    Chứng minh:   0 b c c a a b b c c a a b Bài 4: Cho hình vuông ABCD Lấy E BC, tia đối tia CD lấy điểm F cho CF = CE K giao điểm FE BD O giao điểm AC BD DE cắt BF H M trung điểm EF a) Chứng minh: DH  BF b) Chứng minh: tứ giác OKMC hình chữ nhật c) Chứng minh: A, H, K thẳng hàng Bài 5: Cho ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M, N, S điểm AM BN CS đối xứng H qua BC, AC, AB Tính   AD BE CF b) Cho a + b + c =1 vaø  HẾT  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngơ Quy n 14-15 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP Trường NGÔ QUYỀN (2014-2015) HƯỚNG DAÃN   x 4x 2  x   4x  12x    Baøi 1: A    :    x x   x   2x  x  a) Tìm điều kiện A rút gọn A 2  x  x    x    x  2 Điều kiện: 2  x   2x  x  x   x  4x  12x   x2   x 4x 2  x   4x  12x  4x x    4x  x      :         A :   x   x   x   x    x  x      x x   x   2x  x        x    4x   x    x  3  x  4x   4x  x  4x  x  x       A :  4  x    x  x     x   x    x   x   x x  2 4x  x   x  x   4x  8x x2  A     x   x   4  x    x   x   4  x   x  2 b) Tìm x để A  Z A x2 x2    x  3 x    9    x3 x 3 x 3 x 3  x  3 Để A  Z  x  3   x  3  Ö     x  3 1; 1;3; 3;9; 9  x 4;2;6;0;12; 6 Loại x = loại x = Vậy x 4;6;12; 6 A có giá trị nguyên Bài 2: Tìm x biết: a) 2013x2  x  2012 2013x  x  2012  2013x  2013x  2012x  2012   2013x  x    2012  x      x  1 2013x  2012    x   hay 2013x  2012   x  1 hay x= Vaäy x  1 hay x= 2012 2013 2012 2013 b)  x   x  3 x   x  5  24  Trang Hoïc Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngơ Quy n 14-15 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015  x   x  3 x   x  5  24    x   x   x   x    24      x  7x  10 x  7x  12  24  Đặt y  x2  7x  11 , phương trình trở thành:  y  1 y  1  24   y  25  y  hay y =  TH1: y   x2  7x  11   x2  7x     x  1 x     x  1 hay x  6   15 TH2: y  5  x  7x  11  5  x  7x  16    x      vô lí  2  Vaäy x  1 hay x  6 2 Bài 3: a) Tìm giá trị nhỏ A  2x2  y2  2xy  4x  2y  A  2x  y  2xy  4x  2y  A  y  2xy  2y  2x  4x  A  y  2y  x  1   x  1   x  1  2x  4x  2 A   y  x  1  x  2x   2x  4x  A   y  x  1  x  6x  A   y  x  1   x     5 2 x   x  3  Vậy giá trị nhỏ A -5 Dấu ‘’=’’ xảy  y  x   y  4 b) Cho a + b + c =1 vaø a b c a2 b2 c2    Chứng minh:   0 b c c a a b b c c a a b a b c   1 b c c a a b  a b c    a  b  c      a b c  b c c a a b  Ta coù: a + b + c =1 vaø  a2  a  b  c c2  c  a  b   c a a b 2 a b c   a  b  c  a b c b c c a a b a2 b2 c2    0 b c c a a b b c  b2  b  c  a  a b c Bài 4: Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E BC, tia đối tia CD lấy điểm F cho CF = CE K giao điểm FE BD O giao điểm AC BD DE cắt BF H M trung điểm EF Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngơ Quy n 14-15 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG A 2014 -2015 B K H E O P M F D C a) Chứng minh: DH  BF Xét CEF vuông C, ta có CF = CE (gt)  CEF vuông cân C  CFE  450 Maø ACD  450   nên CFE  ACD Mặt khác: góc nằm vị trí đồng vị nên FE // AC Mà AC  BD  ABCD hình vuông  nên FE  BD K BC đường cao  BC  DF F   Xét BDF, ta có: FK đường cao  FK  BD K  BC cắt FK E  gt  E trực tâm BDF mà DE cắt BF H nên DH  BF b) Chứng minh: tứ giác OKMC hình chữ nhật Xét CEF cân C, ta có CM đường trung tuyến (…) nên CM đường cao CEF Xét tứ giác OKMC, ta có COK  OKM  CMK  900  tứ giác OKMC hình chữ nhật (tứ giác có góc vuông) c) Chứng minh: A, H, K thẳng hàng Gọi P giao điểm OM vaø CH   BD  OH  OC      Ta coù:   OM đường trung trực đoạn HC  P trung điểm HC MH  MC  EF        Do đó: OP đường trung bình CAH  OP // AH  OM // AH (vì P  OM )  KM  OC OKCM hình chữ nhật Ta có:   KM  OA OA OC O laø trung điể m củ a AC      Xét tứ giác OAKM, ta có:  KM // OA    tứ giác OAKM hình bình hành    OM // AK  KM OA cmt      Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngơ Quy n 14-15 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015  OM // AH  cmt Ta coù:   AH  AK  Tiên đề Ơ-clit  A,H,K thẳng hàng OM // AK cmt     Bài 5: Cho ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M, N, S điểm AM BN CS đối xứng H qua BC, AC, AB Tính   AD BE CF A N S E F B H C D M Ta coù: AM BN CS AD  MD BE  NE CF  SF MD NE SF MD NE SF       1 1 1  3   AD BE CF AD BE CF AD BE CF AD BE CF maø MD = HD; NE = HE; SF = HF AM BN CS HD HE HF    3   neân AD BE CF AD BE CF S S S Ta coù: SHBC  SHAC  SHAB  SABC  HBC  HAC  HAB  SABC SABC SABC 1 HD.BC HE.AC HF.AB HD HE HF HD HE HF 2 2 2 1   1 3   4 1 AD BE CF AD BE CF AD.BC BE.AC CF.AB 2 AM BN CS HD HE HF AM BN CS    3     4 nên Mà AD BE CF AD BE CF AD BE CF  HEÁT  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngô Quy n 14-15 ...CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP Trường NGÔ QUYỀN (2014-2015) HƯỚNG DẪN   x 4x 2  x   4x  12x    Baøi 1: A    : ... Trang Hoïc Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngơ Quy n 14-15 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THAÊNG LONG 2014 -2015  OM // AH  cmt Ta có:   AH  AK  Tiên đề Ơ-clit  A,H,K thẳng...    3     4 nên Mà AD BE CF AD BE CF AD BE CF  HẾT  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngô Quy n 14-15