CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP Trường NGÔ QUYỀN (2014-2015) Thời gian: 90 phút (NGÀY THI: 12-01-2015) x 4x 2 x 4x 12x Baøi 1: A : x x x 2x x a) Tìm điều kiện A rút gọn A b) Tìm x để A Z Bài 2: Tìm x biết: a) 2013x2 x 2012 b) x x 3 x x 5 24 Bài 3: a) Tìm giá trị nhỏ A 2x2 y2 2xy 4x 2y a b c a2 b2 c2 Chứng minh: 0 b c c a a b b c c a a b Bài 4: Cho hình vuông ABCD Lấy E BC, tia đối tia CD lấy điểm F cho CF = CE K giao điểm FE BD O giao điểm AC BD DE cắt BF H M trung điểm EF a) Chứng minh: DH BF b) Chứng minh: tứ giác OKMC hình chữ nhật c) Chứng minh: A, H, K thẳng hàng Bài 5: Cho ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M, N, S điểm AM BN CS đối xứng H qua BC, AC, AB Tính AD BE CF b) Cho a + b + c =1 vaø HẾT Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngơ Quy n 14-15 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP Trường NGÔ QUYỀN (2014-2015) HƯỚNG DAÃN x 4x 2 x 4x 12x Baøi 1: A : x x x 2x x a) Tìm điều kiện A rút gọn A 2 x x x x 2 Điều kiện: 2 x 2x x x x 4x 12x x2 x 4x 2 x 4x 12x 4x x 4x x : A : x x x x x x x x x 2x x x 4x x x 3 x 4x 4x x 4x x x A : 4 x x x x x x x x x 2 4x x x x 4x 8x x2 A x x 4 x x x 4 x x 2 b) Tìm x để A Z A x2 x2 x 3 x 9 x3 x 3 x 3 x 3 x 3 Để A Z x 3 x 3 Ö x 3 1; 1;3; 3;9; 9 x 4;2;6;0;12; 6 Loại x = loại x = Vậy x 4;6;12; 6 A có giá trị nguyên Bài 2: Tìm x biết: a) 2013x2 x 2012 2013x x 2012 2013x 2013x 2012x 2012 2013x x 2012 x x 1 2013x 2012 x hay 2013x 2012 x 1 hay x= Vaäy x 1 hay x= 2012 2013 2012 2013 b) x x 3 x x 5 24 Trang Hoïc Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngơ Quy n 14-15 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 x x 3 x x 5 24 x x x x 24 x 7x 10 x 7x 12 24 Đặt y x2 7x 11 , phương trình trở thành: y 1 y 1 24 y 25 y hay y = TH1: y x2 7x 11 x2 7x x 1 x x 1 hay x 6 15 TH2: y 5 x 7x 11 5 x 7x 16 x vô lí 2 Vaäy x 1 hay x 6 2 Bài 3: a) Tìm giá trị nhỏ A 2x2 y2 2xy 4x 2y A 2x y 2xy 4x 2y A y 2xy 2y 2x 4x A y 2y x 1 x 1 x 1 2x 4x 2 A y x 1 x 2x 2x 4x A y x 1 x 6x A y x 1 x 5 2 x x 3 Vậy giá trị nhỏ A -5 Dấu ‘’=’’ xảy y x y 4 b) Cho a + b + c =1 vaø a b c a2 b2 c2 Chứng minh: 0 b c c a a b b c c a a b a b c 1 b c c a a b a b c a b c a b c b c c a a b Ta coù: a + b + c =1 vaø a2 a b c c2 c a b c a a b 2 a b c a b c a b c b c c a a b a2 b2 c2 0 b c c a a b b c b2 b c a a b c Bài 4: Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E BC, tia đối tia CD lấy điểm F cho CF = CE K giao điểm FE BD O giao điểm AC BD DE cắt BF H M trung điểm EF Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngơ Quy n 14-15 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG A 2014 -2015 B K H E O P M F D C a) Chứng minh: DH BF Xét CEF vuông C, ta có CF = CE (gt) CEF vuông cân C CFE 450 Maø ACD 450 nên CFE ACD Mặt khác: góc nằm vị trí đồng vị nên FE // AC Mà AC BD ABCD hình vuông nên FE BD K BC đường cao BC DF F Xét BDF, ta có: FK đường cao FK BD K BC cắt FK E gt E trực tâm BDF mà DE cắt BF H nên DH BF b) Chứng minh: tứ giác OKMC hình chữ nhật Xét CEF cân C, ta có CM đường trung tuyến (…) nên CM đường cao CEF Xét tứ giác OKMC, ta có COK OKM CMK 900 tứ giác OKMC hình chữ nhật (tứ giác có góc vuông) c) Chứng minh: A, H, K thẳng hàng Gọi P giao điểm OM vaø CH BD OH OC Ta coù: OM đường trung trực đoạn HC P trung điểm HC MH MC EF Do đó: OP đường trung bình CAH OP // AH OM // AH (vì P OM ) KM OC OKCM hình chữ nhật Ta có: KM OA OA OC O laø trung điể m củ a AC Xét tứ giác OAKM, ta có: KM // OA tứ giác OAKM hình bình hành OM // AK KM OA cmt Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngơ Quy n 14-15 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 OM // AH cmt Ta coù: AH AK Tiên đề Ơ-clit A,H,K thẳng hàng OM // AK cmt Bài 5: Cho ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M, N, S điểm AM BN CS đối xứng H qua BC, AC, AB Tính AD BE CF A N S E F B H C D M Ta coù: AM BN CS AD MD BE NE CF SF MD NE SF MD NE SF 1 1 1 3 AD BE CF AD BE CF AD BE CF AD BE CF maø MD = HD; NE = HE; SF = HF AM BN CS HD HE HF 3 neân AD BE CF AD BE CF S S S Ta coù: SHBC SHAC SHAB SABC HBC HAC HAB SABC SABC SABC 1 HD.BC HE.AC HF.AB HD HE HF HD HE HF 2 2 2 1 1 3 4 1 AD BE CF AD BE CF AD.BC BE.AC CF.AB 2 AM BN CS HD HE HF AM BN CS 3 4 nên Mà AD BE CF AD BE CF AD BE CF HEÁT Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngô Quy n 14-15 ...CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP Trường NGÔ QUYỀN (2014-2015) HƯỚNG DẪN x 4x 2 x 4x 12x Baøi 1: A : ... Trang Hoïc Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngơ Quy n 14-15 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THAÊNG LONG 2014 -2015 OM // AH cmt Ta có: AH AK Tiên đề Ơ-clit A,H,K thẳng... 3 4 nên Mà AD BE CF AD BE CF AD BE CF HẾT Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr ThuVienDeThi.com ng Ngô Quy n 14-15