De thi hsg lop 8 mon toan

c Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN CHỌN CÂU LẠC BỘ MÔN HỌC EM YÊU THÍCH CẤP QUẬN Môn: TOÁN Năm học 2014-2015 Ngày thi: 27/05/2014 Thời gian làm bài: 90 phút 2  x2   x 3x 1  x A    3 :  x 1  x 1 3x  3x Bài (5 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A 2014  x  2013 b) Tính giá trị biểu thức A x thỏa mãn: c) Tìm giá trị x để A < d) Tìm các giá trị nguyên x để A có giá trị là số nguyên Bài (3 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2 - )2 - 36x b) Dựa vào kết trên hãy chứng minh: A= n3(n2 - )2 - 36n 210 với số tự nhiên n Bài (3 điểm) Một người xe đạp, người xe máy và người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 cùng ngày và với vận tốc theo thứ tự là 10km/giờ, 30km/giờ và 50km/giờ Hỏi đến thì ô tô vị trí cách xe đạp và xe máy ? Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M trên cạnh AC T C v ẽ m ột đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM D, cắt tia BA E   EAD ECB a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và  BMC 1200 S AED 36cm S EBC b) Cho và Tính ? c) Chứng minh điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi DH  BC  H  BC  CQ  PD d) Kẻ Gọi P, Q là trung điểm các đoạn thẳng BH, DH Chứng minh Bài 5: (3điểm) a) Chứng minh số n2 +2014 với n nguyên dương không là số chính phương b) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5 Chứng minh rằng: a2 + b2 + ab - Hết Chú ý: Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay Giám thị coi thi không giải thích gì thêm HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Ý Nội dung Điểm ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 a) 5đ x Rút gọn A= 2014  x  2013 0.5 1.5 Từ b Tìm x=1; x=0 (loại x=0 không thỏa mãn ĐK) 0.5 0.5 c d Thay x=1 vào biểu thức tính A= A< suy luận x<1 và : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 Lập luận để khẳng định x-1 là bội suy , x = 3n+1 (n Z) Phân tích x3(x2 - )2 – 36x 1.5 = x(x + )( x - ) (x - )(x + ) ( x - )( x + ) Theo phần a ta có : 0.75 1.0 1.0 a) A = n3(n2 - 7)2 - 36n = n(n + 1)(n - 1) (n - 3)(n + 2)(n - 2)(n + 3) Đây là tích số nguyên liên tiếp Trong số nguyên liên tiếp có: 3đ b) - Một bội nên A chia hết cho - Một bội 3nên A chia hết cho 0.75 - Một bội nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho Mà 2; 3; 5; đôi nguyên tố cùng nên: A (2, 3, 5, 7) Hay A 210 Gọi thời gian ô tô đến vị trí cách xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện x > 0,25 => Thời gian xe đạp là x + (h) Thời gian xe máy là x + (h) 3đ 0,75 => Quãng đường ô tô là 50x (km) Quãng đường xe đạp là 10(x + 2) (km) Quãng đường xe máy là 30(x + 1) (km) Vì đến 10 thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô vị trí cách xe đạp 0,5 0,5 và xe máy x nghiệm đúng phương trình: 50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x 6đ <=> x = (h) = 50 phút (TMĐK) 0,5 Vậy đến 10h50 phút thì ô tô vị trí cách xe đạp và xe máy 0,5 Hình vẽ: E D 0,5 A M Q B a P I H C * Chứng minh EA.EB = ED.EC 0,5   - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 EB ED   EA.EB ED.EC EC EA - Từ đó suy   EAD ECB * Chứng minh 0,5   - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) b   EAD ECB - Suy 0,5  BMC  AMB  ABM - Từ = 120o = 60o = 30o 0.5  B - Xét EDB vuông D có = 30o ED    EB 2 ED = EB S EAD  ED    S ECB  EB   - Lý luận cho từ đó S ECB = 144 cm 0.5 c   - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0.25 - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0.25 - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0.5 Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 0,25   - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg)  d BH BD BP BD BP BD      DH DC DQ DC DQ DC 0,25   - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)     BDP DCQ   CQ  PD   ma`BDP  PDC 90o  0,5 3đ 0,25 2 2 Nếu n +2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n +2014 =k  k – n = 2014 0,25  (k – n)(k + n) = 2014 (*) a Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn cùng lẻ 0,25 Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn 0,25 Nên (k – n), (k + n) chia hết cho hay (k – n)(k + n) Mà 2014 không chia hết cho 0,25 Suy đẳng thức (*) không thể xảy Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương b 0,25 Với số a, b dương: a  b2 1  ab ⇔ 0,5 Xét: a2 + b2 – ab ⇔ (a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( vì a + b > 0) ⇔ a3 + b3 a + b ⇔ (a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) ⇔ a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6 ⇔ 2a3b3 ab5 + a5b ⇔ ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0,5 0.5 0.5 0,25   ab a  b  0  đúng a, b > a  b2 1  ab Vậy: với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5 Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa 0,25