Đề thi HSG lớp 9 vòng 1 môn Toán – Năm học: 20142015 quận Tân Phú46068

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG THI HSG L P VÒNG – Năm Học: 2014-2015 QU N TÂN PHÚ Thời gian: 120 phút (NGÀY THI: 23/08/2014) Bài 1: (2 m) Cho a3  b3  c3  3abc vaø a  b  c  Tính: N  Bài 2: (4 điểm) 1) Gi i ph ng trình:  a2  b2  c2  a  b  c  4x   3x   x  2) Trường THCS A có 1050 học sinh Hiệu trưởng muốn phấn đấu để xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia nên trường xây thêm phòng học Kết só số trung bình lớp giảm xuống học sinh Tuy nhiên, để trở thành trường đạt chuẩn quốc gia só số trung bình lớp học phải giảm thêm học sinh Để đạt đó, trường cần phải xây thêm phòng học Em cho biết để thực xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia trường cần phải có tất phòng học lớp có học sinh? Bài 3: (4 điểm) Gi i h ph ng trình: 1) Cho a, b, c số đo cạnh ABC Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, chứng minh:  b  c  a c  a  b a  b  c  abc 2) Cho a, b, c số thực dương cho a  b  c  Tìm GTNN của: 2015  P 2 a  b  c ab  bc  ca Bài 4: (8 điểm) Cho ABC nội tiếp (O) đường kính BC, AB < AC Vẽ đường cao AH cuûa ABC , BC  25cm , AH  12cm 1) Tính AB, AC 2) Vẽ  O1  nội tiếp ABC Gọi I, J, K tiếp điểm  O1  lean BC, AC, AB KI cắt AH N Trên AB lấy L cho AL = AN Chứng minh: BL = AK từ suy LO1 qua trung điểm AC 3) Vẽ đường kính AD (O) Vẽ đường thẳng song song với AD qua B, C cắt (O) E, F Gọi H1;H2 trực tâm ABF, ACE Chứng minh trung điểm H1H2 điểm cố định Bài 5: (2 điểm) 1) Tìm n  N để A  n4  n  số phương xy yz xz 2) Tìm x,y,z  Z biết   3 z x y   H T   HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG THI HSG L P VÒNG – Năm Học: 2014-2015 QU N TÂN PHÚ Thời gian: 120 phút (NGÀY THI: 23/08/2014) Bài 1: (2 m) Cho a3  b3  c3  3abc vaø a  b  c  Tính: N  a2  b2  c2  a  b  c Ta coù: a3  b3  c3  3abc  a3  b3  c3  3abc    a  b  3ab  a  b  c3  3abc    a  b  c   a  b c  a  b  c  3ab  a  b  c  3    a  b  c  a    a  b  c a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca  3ab  3bc  3ca    b2  c2  ab  bc  ca   a2  b2  c2  ab  bc  ca   a +b  c     a  b    b  c    c  a   a  b  c Khi đó: N  2 a2  b2  c2  a  b  c Bài 2: (4 điểm) 1) Gi i ph ng trình:   a2  a2  a2  a  a  a  3a2 3a   4x   3x   x  4x   3x   x    4x   3x 1   x   Điều kiện: x       x  4  x  4     4x   3x    4x   3x     x    4x   3x      4x   3x    x +  x       4x   3x    4x  53x  1  81  12x2  19x   75  7x   75 75 x  x    7 48x  76x  20  49x  1050x  5625 x  1126x  5605     75 x      x  1121 loại Vậy S  5      x   nhận  2) Trường THCS A có 1050 học sinh Hiệu trưởng muốn phấn đấu để xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia nên trường xây thêm phòng học Kết só số trung bình lớp giảm xuống học sinh Tuy nhiên, để trở thành trường đạt chuẩn quốc gia só số trung bình lớp học phải giảm thêm học sinh Để đạt đó, trường cần phải xây thêm phòng học Em cho biết để thực xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia trường cần phải có tất phòng học lớp có học sinh? HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG  Gọi x (học sinh) số học sinh trung bình lớp x  N* ;x  1050 Số phòng học trường là:  1050  phòng  x 1050   phòng  x Số học sinh trung bình lớp sau xây thêm phòng là:  x  8 học sinh Số phòng học sau xây thêm phòng là: Số học sinh trung bình lớp để trường đạt chuẩn quốc gia là: x    x  15  học sinh Số phòng học trường để trường đạt chuẩn quốc gia là: 1050 1050 45   phòng  x x Ta có phương trình:  1050   1050     x  8      x  15   1050x  8400  4x2  32x  1050x  15750  9x2  135   x   x   x  50  nhaän   5x  103x  7350    x  50  5x  147     147   x  loại   Vậy số học sinh trung bình lớp là: 50(học sinh) 1050 Số phòng học trường là:  21 phòng  50 Bài 3: (4 điểm) Gi i h ph ng trình: 1) Cho a, b, c số đo cạnh ABC Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, chứng minh:  b  c  a c  a  b a  b  c  abc Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nên áp dụng BĐT tam giác, ta được: a  b  c a  b  c    b  c  a  b  c  a  c  a  b c  a  b    Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được:   b  c  a   c  a  b    b  c  a c  a  b  c   b  c  a c  a  b      c  a  b   a  b  c    c  a  b a  b  c  a   c  a  b a  b  c     b   b  c  a a  b  c   b  c  a   a  b  c     b  c  a a  b  c   Nhân vế theo vế, ta được:  b  c  a c  a  b a  b  c  abc Vậy BĐT chứng minh 2) Cho a, b, c số thực dương cho a  b  c  Tìm GTNN của: 2015  P 2 a  b  c ab  bc  ca P 2015 1 2013      2 2 a  b  c ab  bc  ca a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG Áp dụng BÑT: 1    , x,y,z  ; dấu “=” xảy x = y = z, ta được: x y z xyz 1     1 a + b  c   (1) 2 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c2 Áp dụng BĐT  xy  yz  zx    x  y  z  ; dấu “=” xảy x  y  z , ta được:  ab  bc  ca   a  b  c   a + b + c  3  ab  bc  ca  1 2013 2013 (2)    ab  bc  ca ab  bc  ca Từ (1) (2) cộng vế theo vế, ta được: P  672 Dấu “=” xảy x = y = z = Vaäy Pmin  672 x  y  z   Baøi 4: (8 điểm) Cho ABC nội tiếp (O) đường kính BC, AB < AC Vẽ đường cao AH ABC , BC  25cm , AH  12cm A AL = AN J K O1 L N B H I O C 1) Tính AB, AC Đặt BH = x, x > suy HC = 25 – x 25  x   nhận Ta có: AH2  BH.HC  252  x  25  x     BH   cm  x  16  loại  Ta có: AB2  BH.BC  AB2  9.25  AB  15  cm Do AB < AC neân BH < HC  x  25  x  x  AC2  CH.BC  AC2  16.25  AC  20  cm 2) Vẽ  O1  nội tiếp ABC Gọi I, J, K tiếp điểm  O1  lean BC, AC, AB KI cắt AH N Trên AB lấy L cho AL = AN Chứng minh: BL = AK từ suy LO1 qua trung điểm AC Từ A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt IK S HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THAÊNG LONG ASK  KIB     Ta coù: AKS  IKB    ASK  AKS  SAK cân A  AS  AK  KIB  IKB    Maø AK = AJ nên AS = AJ Do đó: ANS  ALJ c  g  c  ANS  ALJ maø ANS  ASK  900 neân ALJ  ASK  900 Mặt khác: ASK  AKS  LKN nên ALJ  LKN  900  LJ  KI maø BO1  KI neân LJ // BO1  LJ // BO1  cmt Xét tứ giác BLJO1 , ta có:   BL // JO1   AC  tứ giác BLJO1 hình bình hành (…)  BL  O1J  AK Cách (tính toán) AB  AC  BC 15  20  25 Ta coù: AK     O1I   cm 2 Ta chứng minh được: HIN IO1B g  g   NH  BI.HI 1.10    cm  AN  AH  NH  12   10  cm O1I maø AL = AN (gt) neân AL = 10 (cm)  BL  AB  AL  15  10   cm Do đó: BL = AK Gọi Q giao điểm LO1 AC Ta chứng minh AK = KL (=5cm)  K trung điểm AL nên dễ chứng minh O1AL vuông cân O1   ALQ vuông cân A  AQ  AL  10  cm  CQ  AC  AQ  20  10  10  cm Do AQ = CQ (=10 cm)  Q trung điểm AC  LO1 qua trung điểm AC 3) Vẽ đường kính AD (O) Vẽ đường thẳng song song với AD qua B, C cắt (O) E, F Gọi H1;H2 trực tâm ABF, ACE Chứng minh: A trung điểm H1H2 HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THAÊNG LONG H2 A F J K O1 H1 B C O H I E D Ta coù: CF // AD vaø CF  CE  AD  CE Ta chứng minh tứ giác BFCE hình chữ nhật…  O trung điểm dây EF  EF đường kính (O)  AEF vuông A  AE  FA maø FA  BH2   nên AE // BH2 Ta có: CF // AD CF  CE  AD  CE maø AH1  CE neân AD  AH1  H1  AD Cmtt, ta có: H2  AD , H1 ,A,H2 thẳng hàng  AH1  BE tứ giác ABEH1là hình bình hành Ta có:   AH2  BE tứ giác AEBH2 hình bình hành  AH1  AH2 mà H1 ,A,H2 thẳng hàng nên A trung điểm H1H2 Bài 5: (2 điểm) 1) Tìm n  N để A  n4  n  số phương t A  n4  n   k2 (không tính tổng quát, giả sử k  N ) * Xét n = A = (loại) * Xét n = A = (loại)   * Xét n    n   n4  n   n4  n2   2 Ta chứng minh: n2   n4  n   n4  2n2   n4  n   2n2  n      1   n        16    Vaäy n2   n4  n   n2      n2   k2  n2  k2  n4 HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG  n4  n   n4  n  Thử lại A = 16 số phương Vậy n = A số phương 2) Tìm x,y,z  Z biết xy yz xz   3 z x y Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:  xy yz xy yz 2   2y   x z x z  yz xz yz xz 2   2z   y x y x  xy xz xy xz   2   2x y z y  z  xy yz xz xy yz xz    x  y  z maø    neân x  y  z  z x y z x y Mặt khác x, y, z  Z nên x = y = z = Cách 2: Do vai trò x, y, z nên không tính tổng quát ta giả sử: x  y  z  Ta coù: y x xy yz zx z y x     z     z  2z  3z   3z  z   z  z  Z z x y z x y x y  Với z = VT 1  xy    x  y  x,y  Z   y x y x   xy   xy    xy   xy   xy  x,y  Z x y x y  Thử lại ta thấy x  y  z  thỏa đề Vậy nguyên dương phương trình laø:  x;y;z    x;y;z    H T   HSG L9 – Voøng - Q.TP (2014-2015) ThuVienDeThi.com  ...CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG THI HSG L P VÒNG – Năm Học: 2 014 -2 015 QU N TÂN PHÚ Thời gian: 12 0 phút (NGÀY THI: 23/08/2 014 ) Bài 1: (2 m) Cho a3  b3  c3  3abc vaø a  b  c... 3x    4x  53x  1? ??  81  12 x2  19 x   75  7x   75 75 x  x    7 48x  76x  20  49x  10 50x  5625 x  11 26x  5605     75 x      x  11 21 loại Vậy S  5  ... của: 2 015  P 2 a  b  c ab  bc  ca P 2 015 1 2 013      2 2 a  b  c ab  bc  ca a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca HSG L9 – Vòng - Q.TP (2 014 -2 015 ) ThuVienDeThi.com