Đề thi HSG lớp 9 Quận 5 – vòng 1 (20152016) môn Toán39756

Học Sinh Giỏi Lớp – Vòng – Quận 2015 -2016 ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN – Vòng (2015-2016) Ngày: 3/10/2015 Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 m) a) Rút gọn biểu thức: A  16   16   2  2 42  42 2  2 b) Cho x, y, z ba số dương xy + yz +zx =1 Rút gọn biểu thức: B  2x  y  z  x  1 y2  1 z2   y  1 z  1 x2 1  z  1 x  1 y2  Baøi 2: (2 m) 1 1 a) Cho ba số a, b, c  1;2  Chứng minh:  a  b  c      10  a b c b) Giải phương trình: x 3x    3x  x Bài 3: (2 điểm) a) Tìm x, y  N thoûa: x x x  y  6 x  x  m với m  2 m  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  b) Cho  x1  x 24  x1 x  Dấu xảy m bao nhiêu? Bài 4: (1,5 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O 1) Giả sử diện tích tam giác AOD 16 cm2 , diện tích tam giác BOC 25cm2 Tìm diện tích tam giác AOB diện tích tam giác COD để diện tích tứ giác ABCD nhỏ 2) Giả sử diện tích tam giác AOB, BOC, COD, DOA số nguyên Chứng minh tích số đo diện tích tam giác số phương a Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cạnh a, BC lấy điểm D cho BD  Đường trung trực đoạn thẳng AD cắt cạnh AB, AC E F Tính độ dài ba cạnh tam giác DEF theo a Bài 6: (1 điểm) Lãi suất tiết kiệm ngân hàng sau: Kỳ hạn (tháng) 10 11 12 Lãi tháng (%/năm) 6.16 6.20 6.24 6.28 6.32 6.35 6.49 Lãi quý (%/năm) 6.17 6.32 6.62 Lãi cuối kỳ (%/năm) 6.25 6.31 6.37 6.43 6.49 6.55 6.80 Không kỳ hạn (%/năm) 1.0 Trang ThuVienDeThi.com Học Sinh Giỏi Lớp – Vòng – Quận 2015 -2016 (%năm) :360 x (tổngsố ngày kỳ hạn lãi) x (số tiền gửi) 100  Lãi không nhập vào vốn (nếu chưa lãnh lãi số tiền lãi không nhập vào tiền gửi)  Rút vốn trước kỳ hạn: Lãi tính không kỳ hạn Mẹ An gửi vào ngân hàng số tiền 100.000.000 đồng Em tính số tiền mẹ An nhận (làm tròn đến nghìn đồng) trường hợp sau: a) Giả sử mẹ An gửi số tiền ngày 1/10/2015 với kỳ hạn 12 tháng, rút lãi hàng tháng Đến ngày 1/3/2016 rút lãi lần số tiền mẹ An rút bao nhiêu? (Trình bày lời giải) b) Giả sử mẹ bạn An gửi số tiền ngày 1/10/2015 với kỳ hạn tháng, lãnh lãi hàng quý Mẹ An lãnh lãi đủ kỳ, đến ngày 1/5/2016 mẹ An rút hết tiền gửi tiền lãi số tiền nhận bao nhiêu? (Trình bày lời giải)  Lãi suất   HẾT  Trang ThuVienDeThi.com Học Sinh Giỏi Lớp – Vòng – Quận 2015 -2016 Hướng Dẫn: ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN – Vòng (2015-2016) Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 m) 16   16  a) Rút gọn biểu thức: A  A 22 2 1 1  42  42 42  42 42  42  2  2  2  2 3 1  1  2 3  3 1 1 b) Cho x, y, z ba số dương xy + yz +zx =1 Rút gọn biểu thức: B  2x  y  z  x  1 y2  1 z2   y  1 z  1 x2 1 z   1 x  1 y2  Ta coù: xy  yz  zx   x2  xy  yz  zx  x2   x  x  y   z  x  y   x2   x2    x  y  x  z   y    x  y  y  z  Cmtt:   z    x  z  y  z  Khi đó:  x  y  x  z  x  y  y  z   x  z  y  z   x  y  y  z  x  z  y  z    x  z  y  z  x  y  x  z   x  y  x  z   x  y  y  z  B  x  y  z    B  x  y  z  x  y  y  z  x  z  B   x  y  z    x  y  z  x, y, z >   B  2 Vậy B  Bài 2: (2 m) 1 1 a) Cho ba soá a, b, c  1;2  Chứng minh:  a  b  c      10  a b c Vì vai trò a, b, c nên không tính tổng quát, ta giả sử  a  b  c  Ta coù:    a  b  c  1a  1b  1c    ab  ac  ba   bc  ac  bc    =3+ a b b c a c +     b a c b c a 1 Trang ThuVienDeThi.com Hoïc Sinh Giỏi Lớp – Vòng – Quận a  a b b  b  1; c  1  b  0;1  c  Vì  a  b  c      b  1; c  1  b  0;1  c  b b  a  a  a  b   b a a a b a       1         b c      c   c b c  b c   b   c   1  c  b  c   b  c   a     b a a  a b c  a  b  a b b c a a      2  2 b a c b c c a b b c a c (Lưu ý: bắt cặp nhân cho xuất đầy đủ: ; ; ; ; ; ) b a c b c a 1 1 a c Từ (1) (2)   a  b  c             a b c  c a  c c a   2a   c  a    a  Mặt khác:  c   2c   a  a    a   c c  c  a a c a c                a  c c a c a  4 1 1 5 Từ (3) (4)   a  b  c           10  a b c 2 b) Giải phương trình: x 3x    3x  x  x  Điều kiện:   x  x   3x   x 3x  x2  9x  12x    2      2 3x  x x  3x   x  3x    2x2  18x2  24x   15x2  10x  5x2  14x    x   nhaän  4   Vaäy S  2;   5  x   nhận Bài 3: (2 điểm) a) Tìm x, y  N thỏa: Ta có: x x x  y x  x  x  y  x  x  x  y2  x  x  y2  x Đặt: y  x  a  a  N  Khi đó: x  x  a2 * Mà x  N x số tự nhiên số vô tỉ Trang ThuVienDeThi.com 2015 -2016 Học Sinh Giỏi Lớp – Vòng – Quận 2015 -2016 x số tự nhiên Nên từ (*) x  mm N Đặt: Khi đó: m2  m2  m  m2  2m   m2  a2   m  1  a2  m2 Maø a2  m2  m x  Neân m2  m2  m  m    thử lại thấy y  Vậy  x;y    0;0  x  x  m 6 b) Cho  với m  2 m  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x1  x 24 x1 x  Dấu xảy m bao nhiêu? 6 6 6   2 x  x2 x12  x 2  2x12 x 2  x  x 2  2x x   2x x 2 2   Ta coù: P    6 P  6    m 2  1   12 m2     m   m2   m2    m2  Ta coù:  m      6 m  2 2      m2     m  2 2   3  P  3 Dấu “=” xảy m  hay m  2 Vaäy GTNN P 3 m  hay m  2 Bài 4: (1,5 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O 1) Giả sử diện tích tam giác AOD 16 cm2 , diện tích tam giác BOC 25cm2 Tìm diện tích tam giác AOB diện tích tam giác COD để diện tích tứ giác ABCD nhỏ B A K O H D C Ta coù: Trang ThuVienDeThi.com Học Sinh Giỏi Lớp – Vòng – Quận 2015 -2016  SAOB OB   hai tam giác có đường cao từ A  S  S  SAOD OD  AOB  COB  SAOB SCOD  SCOB SAOD  SAOD SCOD  SCOB  OB hai tam giác có đường cao từ C   S  COD OD  SAOB.SCOD  400 Ta coù: SABCD  SAOB  SCOD  SCOB  SAOD  SAOB  SCOD  41 Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được: SAOB  SCOD  SAOB.SCOD  400  40  SAOB  SCOD  41  81  SABCD  81   SCOD S Dấu “=” xảy  AOB  SAOB  SCOD  20 cm2  SAOB  SCOD  40 Vậy SABCD đạt GTNN laø 81cm2 SAOB  SCOD  20cm2   2) Giả sử diện tích tam giác AOB, BOC, COD, DOA số nguyên Chứng minh tích số đo diện tích tam giác số phương Ta có: SAOB SCOD  SCOB SAOD  cma  SAOB SCOD SCOB SAOD   SAOD SCOB  : Số Chính Phương SAOD ,SCOB số nguyên Vậy ta có điều phải chứng minh a Đường trung trực đoạn thẳng AD cắt cạnh AB, AC E F Tính độ dài ba cạnh tam giác DEF theo a Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cạnh a, BC lấy điểm D cho BD  AB = AC = BC = a a BD = DE = AE = x DF = AF = y A E K I B Ta coù: BD  D H a 2a  CD  3 Trang ThuVienDeThi.com F C Hoïc Sinh Giỏi Lớp – Vòng – Quận 2015 -2016 EDF  EAF EDF  60   Ta có: DE  AE  tc đối xứng  Đặt DE  AE  x   DF  AF  y   DF  AF  tc đối xứng  2 Ta có: DE  BE  BD  2BE.BD.cos B (định lý hàm Cos)   AE2  BE2  BD2  BE.BD DE = AE;B  600  a2 a 7a  x   a  x     a  x   9x2  9a2  18ax  9x2  a2  3a2  3ax  15ax  7a2  x  15 7a  ED  15 Ta coù: DF2  CD2  CF2  2CD.CF.CosC Định lý hàm Cô-sin DFC 2 4a2 2a 4a2 4a2 2ay 2 y    a  y    a  y   y   a  2ay  y   9 3 7a 7a  a2  ay   7a  12y   y   FD  12 12 Ta coù: EF2  ED2  DF2  2ED.DF.Cos EDF (Định lý hàm Cô – sin DEF ) 2  7a   7a  7a 21 7a 7a  EF         EF  60 15 12  15   12  7a 7a 7a 21 ;DF  ;EF  15 12 60 BỔ ĐỀ: (Định lý hàm Cô-sin) Cho ABC nhọn có đường cao AH, BI cắt O Chứng minh: BC2  AB2  AC2  2AB.AC.CosA Vậy DE  A I O B H C Chứng minh: BC2  AB2  AC2  2AB.AC.CosA Ta coù: CosA  AI AI (tslg)  AB.AC.CosA  AB.AC  2AB.AC.CosA  2AI.AC AB AB Ta dễ dàng chứng minh được: OH BH BOH ACH    OH.AH  CH.BH CH AH Ta có: Trang ThuVienDeThi.com Học Sinh Giỏi Lớp – Vòng – Quận 2015 -2016 2 AB  AH  BH  2 AC  AH  HC  AB2  AC2  2AH  BH  HC2  AB2  AC2  2AB.AC.CosA  2AH  BH  HC2  2AI.AC  AB2  AC2  2AB.AC.CosA  2AH  BH  HC2  2AO.AH  AB2  AC2  2AB.AC.CosA  2AH  AH  AO   BH  HC  AB2  AC2  2AB.AC.CosA  2AH.HO  BH  HC  AB2  AC2  2AB.AC.CosA  2BH.CH  BH  HC  AB2  AC2  2AB.AC.CosA  BC2 Vaäy BC2  AB2  AC2  2AB.AC.CosA Bài 6: (1 điểm) Lãi suất tiết kiệm ngân hàng sau: Kỳ hạn (tháng) Lãi tháng (%/năm) Lãi quý (%/năm) Lãi cuối kỳ (%/năm) Không kỳ hạn (%/năm) 6.16 6.17 6.25 6.20 6.24 6.31 6.37 6.28 6.32 6.43 1.0 10 6.32 11 6.35 6.49 6.55 12 6.49 6.62 6.80 (%năm) :360 x (tổngsố ngày kỳ hạn lãi) x (số tiền gửi) 100  Lãi không nhập vào vốn (nếu chưa lãnh lãi số tiền lãi không nhập vào tiền gửi)  Rút vốn trước kỳ hạn: Lãi tính không kỳ hạn Mẹ An gửi vào ngân hàng số tiền 100.000.000 đồng Em tính số tiền mẹ An nhận (làm tròn đến nghìn đồng) trường hợp sau: a) Giả sử mẹ An gửi số tiền ngày 1/10/2015 với kỳ hạn 12 tháng, rút lãi hàng tháng Đến ngày 1/3/2016 rút lãi lần số tiền mẹ An rút bao nhiêu? (Trình bày lời giải)  Lãi suất  Tổng số ngày từ 1/10/2015 ñeán 1/3/2016: 31  30  31  31  29  152  ngày  (do năm 2016 năm nhuận nên tháng có 29 ngày) Số tiền mẹ An rút là: 6,49 :360 *152 *100.000.000  2.740.000(đồng) 100 b) Giả sử mẹ bạn An gửi số tiền ngày 1/10/2015 với kỳ hạn tháng, lãnh lãi hàng quý Mẹ An lãnh lãi đủ kỳ, đến ngày 1/5/2016 mẹ An rút hết tiền gửi tiền lãi số tiền nhận bao nhiêu? (Trình bày lời giải) Từ 1/10/2015 đến 1//2016 tháng, mẹ An lãnh lãi đủ kỳ nên nhận quý tháng Đến ngày 1/5/2016 mẹ An rút hết tiền nên số tiền lãi nhận 30 ngày với lãi suất :360 *30 *100.000.000  83.000(đồng) 1% (vì lãnh trước kỳ hạn) là: 100 Vậy số tiền mẹ An nhận tiền gửi lãi là: 100.000.000  83.000  100.083.000(đồng)  HẾT  Trang ThuVienDeThi.com ... ThuVienDeThi.com Học Sinh Giỏi Lớp – Vòng – Quận 20 15 -2 016 Hướng Dẫn: ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN – Vòng (20 15 - 2 016 ) Thời gian: 12 0 phút Bài 1: (2 ñi m) 16   16  a) Rút gọn biểu thức: A  A 22 2 ? ?1? ??... ngày từ 1/ 10/20 15 đến 1/ 3/2 016 : 31  30  31  31  29  15 2  ngày  (do năm 2 016 năm nhuận nên tháng có 29 ngày) Số tiền mẹ An rút là: 6, 49 :360 * 15 2 *10 0.000.000  2.740.000(đồng) 10 0 b) Giả... tỉ Trang ThuVienDeThi.com 20 15 -2 016 Học Sinh Giỏi Lớp – Vòng – Quận 20 15 -2 016 x số tự nhiên Nên từ (*) x  mm N Đặt: Khi đó: m2  m2  m  m2  2m   m2  a2   m  1? ??  a2  m2 Maø a2