Đề thi HSG lớp 9 vòng 2, quận Tân Phú (20142015) môn Toán21099

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP VÒNG 2, QUẬN TÂN PHÚ (2014-2015) (NGÀY THI: 29/11/2014) Bài 1: Cho a, b, c khác a + b+ c = Hãy chứng minh: a4 b4 c4    2 a4  b2  c2 b4  c2  a2 c4  a2  b2    Bài 2: Giải phương trình:       x   x  2x  x2  x    a b  2a b  2b a 2x  Bài 4: Tìm giá trị lớn nhỏ A  x 2 Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy M N trung điểm AD BC Trên tia đối tia DC lấy P, PM cắt AC Q Chứng minh: MP.NQ = MQ.NP Bài 3: Cho a, b dương Hãy chứng minh:  a  b  Bài 6: Tìm cặp số nguyên cho tích lần tổng   HẾT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP (Vòng 2) Quận TÂN PHÚ – (2014-2015) HƯỚNG DẪN Bài 1: Cho a, b, c khác a + b + c = Hãy chứng minh: a4 b4 c4    2 a4  b2  c2 b4  c2  a2 c4  a2  b2       Ta coù: a + b + c =  a  b  c   a  b   c  a3  b3  3ab  a  b  c3 3  a3  b3  c3  3ab  a  b  a3  b3  c3  3abc  a + b =  c Ta coù: a + b + c = a2  b2  c2 a  b  c a2  b2  2ab  c2      b  c  a   b2  c2  2bc  a2   b2  c2  a2 c  a   b c2  a2  2ca  b2 c2  a2  b2    4 a b Ta coù : VT    2 2 2 a  b c b  c a c4   = a    a4   b2  c2 a2  b2  c2   b  2ab  2bc  2ca c4 a  b2  b4   c2  a2 b2  c2  a2   c c4   a2  b2 c2  a2  b2  a4 b4 c4 =    2ca 2ab  2ab 2bc  2bc 2ca  a2 b2 c2        bc ca ab  Vaäy a4  a4  b2  c2   b4  b4  c2  a2 Bài 2: Giải phương trình:   a3  b3  c3    4 abc      3abc      VP  abc  c4  c4  a2  b2    x   x  2x  x2  x    x   x  1  x2 Điều kiện:  x   x  Ta coù:      x   x  2x  x2  x     x 1  x  x 1 Trang  x  1 x    x    Hoïc Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THAÊNG LONG   x 1  x 2  x 1  x 2  8   x 1  x 2  2014 -2015  23  x 1  x 2   x  1 x    x    x  1 x    2x   x 1 2 2x    4  x   x    4x  20x  25  x   x  33 (nhận so với điều kiện x  2)  16 x  33  16  33  Vậy S    16  Bài 3: Cho a, b dương Hãy chứng minh:  a  b  a b  2a b  2b a  1   a  b  a  b    ab a  b 2  a b  2a b  2b a Ta coù:  a  b    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:  1 a   a   a 1  4  a  b  a  b  a b  a  b  4 1      b b b  4 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a  b  ab  1 Từ (1) (2), ta suy  a  b  a  b    ab 2  a b  2a b  2b a Vaäy  a  b  Bài 4: Tìm giá trị lớn nhỏ A  1  a b  2x  x2  2 2x  2x   x  x  2x    x  1 1      A 1 Ta coù : A   x 2 x2  x2  x2  Vaäy Amax  Dấu ''='' xảy x    x  Ta coù : A  2 2x  1  2x  1  x  x  4x   x        0A 2 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2       Vậy Amin   Dấu ''='' xảy x    x  2 Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy M N trung điểm AD BC Trên tia đối tia DC lấy P, PM cắt AC Q Chứng minh: MP.NQ = MQ.NP A B Q N M P O C D T ` Gọi T giao điểm QN DC Gọi O giao điểm AC MN Ta dễ chứng minh tứ giác ANCM hình bình hành Do đó, O trung điểm MN  OM QO    OM ON   PC QC Ta coù:  mà OM  ON   nên PC = CT   PC CT  ON  QO    CT QC Do đó, NPT cân N  NTP  NPT MNP  NPT  goùc so le vaø MN // PT  Maø   QNP  NTP  góc đồng vị MN // PT nên MNP  QNP  MN đường phân giác NPQ  MP NP   tính chất đường phân giác NPQ MQ NQ  MP.NQ = MQ.NP Bài 6: Tìm cặp số nguyên cho tích lần tổng Gọi a, b số cần tìm ( a, b  Z ) Theo đề bài, ta có: ab = 7(a+b)   a   b    49 Do a, b số nguyên nên ta có bảng sau: a–7 -1 49 -49 -7 b – 49 -49 -1 -7 A 56 -42 14 B 56 -42 14 Vậy cặp số nguyên cần tìm là: (8;56), (56;8), (6;-42), (-42;6), (14;14), (0;0)   HẾT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) ThuVienDeThi.com ...CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP (Vòng 2) Quận TÂN PHÚ – (2014-2015) HƯỚNG DẪN Bài 1: Cho a, b, c khác a + b + c = Hãy chứng minh:... x     x 1  x  x 1 Trang  x  1 x    x    Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG   x 1  x 2 ...      Vậy Amin   Dấu ''='' xảy x    x  2 Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 5: