Đề thi HSG lớp 9 Quận 12 – vòng 2 (20142015) môn Toán39768

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN 12 – Vòng (2014-2015) Thời gian: 150 phút (NGÀY THI: 29/11/2014, lúc 13 30 phút) PHẦN ĐẠI SỐ: Bài 1: (4 ñi m) Cho A   n2  n2  n  1  1 1   2 n n  n  1 Ch ng t A thu c N v i n  N* Bài 2: (4 m) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a b c    2 b c c a a b Baøi 3: (3 điểm) Cho phương trình: x2   m  3 x  4m   (x ẩn, m tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1;x thỏa x12  2x2  3x1x2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm bé -1  xyz    Bài 4: (5 điểm) Cho số x,y,z  thoûa:      4  y z xyz x a) Tính: 1   x y z 1    Chứng minh: có hai số đối x y z PHẦN HÌNH HỌC: Bài 5: (2,5 m) Cho hai đường tròn (O;r) đường tròn (O’;R) cắt A, B Trên tia đối tia AB lấy điểm C Vẽ tiếp tuyến CD CE (O) (D, E tiếp điểm) (E nằm (O’)) DA cắt (O’) M, AE cắt (O’) N DE cắt MN K a) Chứng minh: tứ giác BKMD nội tiếp, BEKN nội tiếp b) Chứng minh: BK.AE = KM.BE c) Chứng minh: BNK ADB  O'K  MN Bài 6: (1,5 m) Cho (O;R) điểm A nằm (O) kẻ đường thẳng (d)  OA A Lấy M   d  Vẽ tiếp tuyến MC, MB (C, B tiếp điểm), CB cắt OM H, OA K b) Nếu a) Chứng minh: H di động đường cố định M di động (d) b) Cho OA = 2R Tìm vị trí M để SMCOB đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ   HẾT   HSG9 (vòng 2) Quận 12- 2014-2015 ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN 12 – Vòng (2014-2015) HƯỚNG DẪN Thời gian: 150 phút (NGÀY THI: 29/11/2014, lúc 13 30 phút) PHẦN ĐẠI SỐ: Bài 1: (4 m) Cho A   n2  n2  n  1  1 1   2 n n  n  1 Ch ng t A thu c N v i n  N* Ta coù:  n     n  1 1  n  n n2    2n   n2  n  1 n4  n2   2n3  2n2  2n  n  1 2  n2  n       n 1  n2  n  n  n  n  n  1  1    n 1 n 1 n 1 n 1 n 1     n2 n2  2n   n2  2n   n2 n2  n  1 Ta coù:     2 n  n  12 n2  n  1 n2  n  1  1 1 n2  n  n  n  1  1 1     1  1  2 2 n n 1 n  n  1 n  n  1 n  n  1 n  n  1 Thay (1) vaø (2) vào A, ta được: A  n  1 1 1    n 1 n 1 n n 1 n Mà n  N* Nên A  N Vaäy A thu c N v i n  N* Bài 2: (4 m) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a b c    2 b c c a a b a  b  c  Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a, b, c > vaø  b  a  c c  a  b  HSG9 (vòng 2) Quận 12- 2014-2015 ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THAÊNG LONG 2014 -2015  x  y  z a  x  b  c  xyz   Đặt y  c  a   b   z  a  b  xyz c   Khi đó: a b c z y x z x y  x  z  y x  y  z x  y  z         1         1 b c c a a b 2x 2y 2z 2 x x y y z z  y x z y x z               3         Coâ  si  (*)  x y   y z   z x   Áp dụng bổ đề: với x < y; x, y, t > : x xt  y yt  a 2a b c  a b c  2b a b c  b     (**)   b  c a  c a  b    a c a b c  2c  c a  b  a  b  c  Từ (*) (**) ta suy đpcm Bài 3: (3 điểm) Cho phương trình: x2   m  3 x  4m   (x ẩn, m tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1;x thỏa x12  2x2  3x1x2 a = 1; b   m  3 ,b/  m  ; c = 4m + /  b/  4ac   m  3   4m  8   m  1  0, m 2  phương trình có nghiệm x1 ,x2 m nghiệm phương trình :   b/   /   m     m  1 x    2 a   /   m     m  1 x  b     2m  a     2 TH1:  vào x12  2x2  3x1x2 , ta được:  x  2m   2      2m     2  2m     4m2  16m  16  12m  24  m   8m  20m  12   2m  5m     2m   m  1     m  1 2 x1  2m  vào x12  2x2  3x1x2 , ta được: x  2 TH2:  HSG9 (vòng 2) Quận 12- 2014-2015 ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG  2m    2014 -2015    2    2m   2   4m2  16m  16   12m  24 m   4m2  4m   4m  m  1     m  1 Vậy m  0; 1;  phương trình có nghiệm thỏa đề b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm bé -1  x  2 <  Do phương trình x2   m  3 x  4m   có nghiệm   x  2m  nên để phương trình có nghiệm bé 1 thì: 2m   1  2m  4   m   Vậy m   phương trình có hai nghiệm bé 1  xyz    Bài 4: (5 điểm) Cho số x,y,z  thoûa:      4  y z xyz x a) Tính: 1   x y z 1 1  1 1 1     Ta coù:          x y z x y z  xy yz zx  1 1 1 xyz          xyz x y z x y z 1 1      xyz x y z maø  x  y  z   1 1    2 1 1 1 1 x y z  2     4 neân       1 1 xyz xyz x y z x y z     2 x y z b) Nếu Vì 1    Chứng minh: có hai số đối x y z 1 1 1    neân    Maø x  y  z  x y z x y z Neân yz  x  y z  1 1 xy  yz  zx        x y z xyz xyz xyz x  y  z x  y  z  yz  x  y  z  x   y  z   xyz  xyz  yz  y  z   x2  y  z   x  y  z   xyz HSG9 (vòng 2) Quận 12- 2014-2015 ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG  2014 -2015    y  z  yz  x2  xy  xz    y  z  z  x  x  y    y  z      x Vaäy ta có điều phải chứng minh  x  y  PHẦN HÌNH HỌC: Bài 5: (2,5 m) Cho hai đường tròn (O;r) đường tròn (O’;R) cắt A, B Trên tia đối tia AB lấy điểm C Vẽ tiếp tuyến CD CE (O) (D, E tiếp điểm) (E nằm (O’)) DA cắt (O’) M, AE cắt (O’) N DE cắt MN taïi K C D A M E O' O K B N a) Chứng minh: tứ giác BKMD nội tiếp, BEKN nội tiếp Ta có: BMK  BAN gnt chắn BN (O')   BMK  BDK  BDK  BAN gnt chắn BE (O)   Tứ giác BDMK nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh hai góc nhau) Ta có: DAB  DEB hai góc nội tiếp chắn DB (O)   DAB  MNB  góc góc đối tứ giác BAMN nội tiếp         DEB  MNB  DEB  KNB  Tứ giác BEKN nội tiếp (tứ giác có góc góc đối diện) b) Chứng minh: BK.AE = KM.BE HSG9 (vòng 2) Quận 12- 2014-2015 ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG BKM  BKN  180 góc kề bù     Ta có: BEA  BEN 180  góc kề bù   BKN  BEN góc nội tiếp chắn BN  BEKN    2014 -2015   BKM  BEA BKM  BEA  cmt  Xeùt BKM BEA, ta có:  BMK  BAE góc nội tiếp chắn BN  ABNM  BK KM   BKM BEA  g  g    tsñd   BK.AE  KM.BE BE AE  c) Chứng minh: BNK  ADB  O'K  MN Xét CDA CBD, ta có: CDA  CBD góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn BN cuûa (O)   C chung DA CA  CDA CBD  g  g    DB CD AE CA  Chứng minh tương tự: CEA CBE  BE CE  DA CA   cmt   DB CD  AE CA  Ta coù:   cmt  BE CE  CD  CE tính chất hai tiếp tuyến cắt C  O         DA AE  DB BE BNK  DAB  tứ giác ABNM nội tiếp  Xét BNK ADB, ta có:  BKN  ADB  tứ giác BKMD nội tiếp  BNK BAD  g  g   Mặt khác : BKM KN BK KN DA  tsñd     BK DB AD BD BEA  cm caâu b  KM BK KM AE  tsñd     AE BE BK BE  KN DA   cmt  BK DB  KN KM  KM AE    KN  KB  K laø trung điểm MN  O / K  MN cmt  Ta coù:   BK BK  BK BE  DA AE  DB  BE  cmt  HSG9 (vòng 2) Quận 12- 2014-2015 ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 6: (1,5 m) Cho (O;R) điểm A nằm (O) kẻ đường thẳng (d)  OA A Lấy M   d  Vẽ tiếp tuyến MC, MB (C, B tiếp điểm), CB cắt OM H, OA K M C H K A O B d a) Chứng minh: H di động đường cố định M di động (d) Gọi K giao BC OA OK OH   tsñd   OK.OA  OH.OM OM OA R2 2 OH.OM  OC  R nê n    OK.OA R OK mà OA Mặt khác: R, OA không đổi (do O, A cố định) Nên OK không đổi  K cố định Chứng minh được: OHK OAM  g  g   Chứng minh được: OHK  900  H di động đường tròn đường kính OK cố định b) Cho OA = 2R Tìm vị trí M để SMCOB đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ ñoù SMCOB  2SMOC  .OC.CM  R.CM Để SMCOB nhỏ CM nhỏ (vì R không đổi)  OMmin R2  CM2  OM2   Mà OM  OA (Quan hệ dường xiên đường vuông góc) Vậy OMmin  OM  OA  M  A Do đó: CM2  OM2  R2  4R2  R2  3R2  CM  R Do đó: SMCOB  R.R  R2  đơn vị diện tích Vậy M  A SMCOB  R2   HẾT   HSG9 (vòng 2) Quận 12- 2014-2015 ThuVienDeThi.com ... m   8m  20 m  12   2m  5m     2m   m  1     m  1 2 x1  2m  vào x 12  2x2  3x1x2 , ta được: x  ? ?2 TH2:  HSG9 (vòng 2) Quận 12- 20 14 -20 15 ThuVienDeThi.com CÔNG... LONG 20 14 -20 15 ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN 12 – Vòng (20 14 -20 15) HƯỚNG DẪN Thời gian: 150 phút (NGÀY THI: 29 / 11 /20 14, lúc 13 30 phút) PHẦN ĐẠI SỐ: Bài 1: (4 m) Cho A   n2  n2  n  1  1 1   2 n...  M  A Do đó: CM2  OM2  R2  4R2  R2  3R2  CM  R Do đó: SMCOB  R.R  R2  đơn vị diện tích Vậy M  A SMCOB  R2   HẾT   HSG9 (vòng 2) Quận 12- 20 14 -20 15 ThuVienDeThi.com