Đề thi HSG lớp 9 quận Bình Thạnh – (20142015) môn Toán43891

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN BÌNH THẠNH – (2014-2015) Thời gian: 150 phút  x   x 3 x 2 9x  Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P       :  với x  0;x   x     x  x x  x    a) Ruùt gọn b) Tìm x  Z để x  P  Z Bài 2: (5 điểm) Giải phương trình: a) x 1   x  b) x2  4x  2x   c)  6x  5 3x   x  1  35 Bài 3: (4 điểm) a) Chứng minh: a2  b2  c2  d2   a  c   b  d  2 Tìm giá trị nhỏ của: x2   x2  2x  b) Cho ba số a, b, c dương thỏa a  b  c  Chứng minh:  1 a a b b c a c 1 b 1 c       62 2     a  b a c b c a b c   Bài 4: (2 điểm) a) Cho a  b  c  Chứng minh: a3  b3  c3  3abc yz xz xy 1 b) Cho x,y,z  vaø    Tính:   x y z x y z Bài 5: (3,5 điểm) Từ điểm A nằm đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) OA cắt BC H Vẽ đường kính BD, AD cắt (O) E (E khác D) cắt BC I a) Chứng minh: AHE  ADO b) Chứng minh: HE  CE Bài 6: (1,5 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC) Đường tròn tâm I đường kính BC cắt AB, AC F E Hai tia BE, CF cắt H Đường thẳng qua H vuông góc với IH cắt AB, AC P, Q a) Chứng minh: AHQ BIH b) Chứng minh: H trung điểm đoạn thẳng PQ   HẾT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN BÌNH THẠNH – (2014-2015) HƯỚNG DẪN  x   x 3 x 2 9x  Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P       :  với x  0;x     2 x 3 x x  x 6  x      a) Rút gọn  x   x 3 x 2 9x  P  1     :   x     x  x x  x     x   x   x  x 2 9x  P   :    x   x 2 x 3 x 2 x 3          x     x   x  3   x  2    :  x  2    :    x    x   x    x    x         P :  x 3     x 3 x 3  x 2      2   P  b) Tìm x  Z để   x 3    x  2 x 3 x 2 x  P Z Đặt M  x  P x số nguyên TH1: Để M  Z    x 2    x   1;1; 3  x   Ư 3  x   2   x  1; 3; 5  x  1; 9; 25 x số vô tỉ TH2: Khi đó: M  x  P  x  M   x 2  x 2 x 3 x 2 x 2  x 2 x 3  M x  2M  x  x    M   x  x  2M  x  2M   Q  vô lí  M2  M  2  x  2M    x     x  Nếu M  2 Trang x Học Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG Thử lại, x = vào M  x  M  2  7   2 x 2 2  2014 -2015 , ta được:  2   7     2  Z  nhaän x = Vaäy x  1;7;9;25 x  P  Z Bà 2: (5 điểm) Giải phương trình: a) x 1   x  x 1   x    x 1   x   x  1    x   3 x   x   2 3  x    x    3 x   x.2  x    x  1  x 13  x     7  x  x  Vaäy S  1;7 b) x2  4x  2x   Điều kiện: x   x2  4x  2x    x  2x    2x    2x      x  1   x     x  1  nhaän   2x    c)   2x    Vaäy S  1  6x  5 3x   x  1  35  6x  5 3x   x  1  35   6x    6x   6x    420 2     36x  60x  25 36x  60x  24  420 Đặt t  36x  60x  24 , phương trình trở thaønh:  t  1 t  420  t2  t  420   t2  21t  20t  210    t  21 t  20   TH1: t  21   36x2  60x  24  21   36x2  60x  45   12x2  20x   (vônghiệm) TH2: t  20   36x2  60x  24  20   36x2  60x    9x2  15x    5  21 x    5  21 5  21   ;  Vaäy S     6 5  21     x   Bài 3: (4 điểm) a) Chứng minh: a2  b2  c2  d2   a  c   b  d  2 Tìm giá trị nhỏ của: x2   x2  2x  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG Ta có:  a  c   b  d  a2  b2  c2  d2    a2  b2  c2  d2    a  c   b  d  2 2014 -2015 (1)  a2  b2  a2  b2 c2  d2  c2  d2  a2  2ac  c2  b2  2bd  d2 2   a2  b2 c2  d2  ac  bd TH1: ac  bd < (2)  (1) TH2: ac  bd  , (2) trở thành: a2 c2  a2 d2  b2 c2  b2 d2  a2 c2  2adbc  b2d2  a2 d2  b2 c2  2adbc   ad  bc   bất đẳng thức  Vậy Ta có:  a  c   b  d  a2  b2  c2  d2  x2   x2  2x   x2  12  Dấu ‘’=’’ xảy ad = bc 1  x   22 Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:  2  x 1   1  x     x  12    x  12  2 2      x   x   1    2 1  x   2     1  x   2  10  x   x  2x   10 x2   x2  2x  10 Dấu ‘’=’’ xảy 2x  11  x   x  Vaäy giá trị nhỏ b) Cho ba số a, b, c dương thỏa a  b  c  Chứng minh:  1 a a b b c a c 1 b 1 c       62 2     a b a c b c a b c   AÙp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương, ta coù:  b c   b c bc           2 a  a a   a a  a c a c  a c            2 b  b b  b b    b  a     b  a    2 b  a    c c  c  c c   bc a b b c a c a c ba        6  2     b a c b c a a b c   Maø a + b + c = Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG Nên 2014 -2015  1 a a b b c a c 1 b 1 c       62 2     a  b a c b c a b c   Bài 4: (2 điểm) a) Cho a  b  c  Chứng minh: a3  b3  c3  3abc Ta coù: a  b  c   a  b  c   a  b   c  a3  b3  3ab  a  b  c3 3  a3  b3  3ab c  c3  a3  b3  c3  3abc b) Cho x,y,z  vaø yz xz xy 1    Tính:   x y z x y z   3      yz xz xy xyz xyz xyz       xyz          x2 y z2 x y z  x   y   z   3 1 1 1 1 1 1 AÙp dụng câu a) ta có:              với    x y z x y z x y z 1 1 yz xz xy Do ñoù:    xyz.3      x y z x y z Bài 5: (3,5 điểm) Từ điểm A nằm đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) OA cắt BC H Vẽ đường kính BD, AD cắt (O) E (E khác D) cắt BC I a) Chứng minh: AHE  ADO  AH AE AB  AH.AO  HTL Ta coù :   AH.AO  AE.AD   AD AO  AB AE.AD HTL     HAE  DAO  góc chung   Xét AHE ADO, ta coù:  AH AE    cmt  AD AO  AHE B O ADO  c  g  c  AHE  ADO A H E I D C b) Chứng minh: HE  CE CID  EIB  góc đối đỉnh   ICD Xét ICD IEB, ta có:  ICD  IEB  90   IC ID IC IE   tsñd     IE IB ID IB  Trang  IEB  g  g  Hoïc Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG CIE  BID  góc đối đỉnh  Xét ICE IDB, ta có:  IC IE  ICE cmt      ID IB 2014 -2015 IDB  g  g   ICE = IDB  HCE = ADO mà AHE  ADO (cm câu a) nên AHE  HCE Mặt khác: AHE  CHE  900   neân HCE  CHE  900 ,  HEC  90  HE  CE Bài 6: (1,5 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC) Đường tròn tâm I đường kính BC cắt AB, AC F E Hai tia BE, CF cắt H Đường thẳng qua H vuông góc với IH cắt AB, AC P, Q b) Chứng minh: AHQ BIH EHQ  QHI  IHB  180  Ta coù:   EHQ  IHB  90 0  QHI  90  PQ  HI H mà EHQ  EQH  900  EHQ vuông E nên EQH  BHI  AQH  BHI Xét AHQ BIH , ta có: AQH  BHI  cmt   AHQ  HAQ  HBI phụ ACB    BIH  g  g  c) Chứng minh: H trung điểm đoạn thẳng PQ Ta có: AHP  AHQ  180  góc kề bù    HIC  HIB  180  góc kề buø   AHP  HIC  AHQ  HIB AHQ BIH  Xét AHP CIH , ta có: AHP  HIC cmt   AHP CIH  g  g   HAP  HCI phụ ABC   HP AH   AHP CIH  HP HQ B  CI IH    Ta coù:  HQ AH CI BI  AHQ BIH    BI IH mà CI = BI nên HP = HQ Suy H trung điểm PQ (vì P, H, Q thẳng hàng)   A E F Q H P I   HEÁT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) ThuVienDeThi.com C ...CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN BÌNH THẠNH – (2014-2015) HƯỚNG DẪN  x   x 3 x 2 9? ??x  Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P       :  với... ICD IEB, ta có:  ICD  IEB  90   IC ID IC IE   tsñd     IE IB ID IB  Trang  IEB  g  g  Hoïc Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC... c   b  d  2 Tìm giá trị nhỏ của: x2   x2  2x  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG Ta có:  a  c   b