PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÚ QUỐC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP VÒNG HUYỆN NĂM HỌC: 2013-2014 MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức A x 13 x5 x 6 x 2 x 2 x 1 x 3 với x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên Bài 2: (5 điểm) Ta biết: "- Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho - Tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48." Chứng minh với số n lẻ thì: a/ A = n2 + 4n + chia hết cho b/ B = 3n3 + 9n2 - 3n - chia hết cho 144 c/ C = n2 + 4n + không chia hết cho Bài 3: (4 điểm) 1/ Tìm số nguyên dương n để p n(n 1) số nguyên tố 2/ Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = a3 + b3 Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A = 600, phân giác BD CE cắt I Chứng minh IDE tam giác cân Bài 5: (4 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB tia tiếp tuyến Ax Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) với C tiếp điểm Đường vng góc với AB O cắt BC N a/ Chứng minh tứ giác OMNB hình bình hành b/ Trực tâm H tam giác MAC di động đường cố định M di động Ax …………….Hết………… ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Năm học 2013-2014 Đáp án BÀI Biểu điểm Bài x 13 x 2 x 1 a A với x (4điểm) x5 x 6 x 2 x 3 x 13 ( x 2)( x 3) x 2 x 2 0,5 x 1 x 3 (2 x 13) ( x 2)( x 3) (2 x 1)( x 2) 0,5 ( x 2)( x 3) 9 x 0,5 ( x 2)( x 3) (3 x )(3 x ) ( x 2)( x 3) b A Có 3 x x 2 x 2 x 2 1 5 x 2 x 2 x1 = 9; x2 = x 2200 Từ tính được: 0,5 3 x x 2 0,5 x 2 2 0,5 Bài a) Đặt A = n2 + 4n + = (n2 + n) + (3n + 3) 0,75 (5điểm) = n(n + 1) + 3(n + 1) = (n + 1)(n + 3) 0,5 Vì n lẻ nên (n + 1)(n + 3) tích số chẵn liên tiếp nên 0,75 chia hết cho Suy A chia hết cho b) B = 3n3 + 9n2 - 3n - = 3(n3 + 3n2 - n - 3) = 3[(n3 - n) + (3n2 -3)] 0,5 2 = 3[n(n - 1) + 3(n - 1)] = 3(n - 1)(n + 3) 0,5 = 3(n - 1)(n + 1)(n + 3) 0,5 0,5 Vì n lẻ nên (n - 1)(n + 1)(n + 3) tích số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 48 Suy B 3.48 = 144 0,5 c) C = n2 + 4n + = (n2 + 4n + 3) + 2 0,5 Do n + 4n + (theo câu a) nên C Bài 1) p n(n 1) p (n 1)(n 2) 0,5 2 (4điểm) Với n = 2k (ĐK: k>0) p = (k+1)(2k-1) nguyên tố mà k+1>1 0,5 2k-1=1 k = n = 2; p = (thỏa mãn) 0,25 Với n = 2k+1 (ĐK: k ) p = 2(2k +3) nguyên tố mà 2k+3>1 0,5 k = n = 3; p = (thỏa mãn) 0,25 2) Ta có b = –a, M = a3 + (1 – a)3 ThuVienDeThi.com 0,5 4 = 3a2 – 3a + = 3a2 – 3a + = 3(a )2 + Dấu xẩy a Vậy minM Bài (3 điểm) 1 4 1 ab Do  = 600 nên B + Ĉ = 1200 B1 + C1 = 600 0,5 0,5 BIC = 1200 0,5 I1 + I2 = 600 Vẽ phân giác IK góc BIC I3 = I4 = 600 Khi đó: BIE = BIK (g-c-g) CID = CIK (g-c-g) IE = ID (cùng IK) IDE cân I (đpcm) 0,5 0,5 0,5 Bài (4 điểm) a) Ta có OMAC; BCAC OM//BC hay OM//BN (1) Lại có: ∆ AOM=∆ OBN (g-c-g) OM=BN (2) Từ (1) (2) OMNB hình bình hành b)Gọi H trực tâm ∆MAC nên AHMC Lại có: OCMC (MC tiếp tuyến (O) Suy ra: AH//OC (3) Tương tự: OA//CH (4) Từ (3) (4) AHCO hình bình hành AH=OC Mà OC=R nên AH=R Ngoài ra: A cố định Do đó: H di động đường trịn cố định tâm A, bán kính R ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 Hình (0,5 điểm) A E D I 1 B C K Hình vẽ 5: 0,5 điểm C H M A N O B x ThuVienDeThi.com ...ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Năm học 2013-2014 Đáp án BÀI Biểu điểm Bài x 13 x 2 x 1 a A với x (4điểm)... x 1)( x 2) 0,5 ( x 2)( x 3) 9? ?? x 0,5 ( x 2)( x 3) (3 x )(3 x ) ( x 2)( x 3) b A Có 3 x x 2 x 2 x 2 1 5 x 2 x 2 x1 = 9; x2 = x 2200 Từ tính được: 0,5... trịn cố định tâm A, bán kính R ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 Hình (0,5 điểm) A E D I 1 B C K Hình vẽ 5: 0,5 điểm C H M A N O B x ThuVienDeThi.com