Đề thi chọn HSG lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2014 – 2015 môn: Toán41342

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC  x  16 x  Câu (1,5 điểm): Cho biểu thức: A    x x    a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A  6 x 1  x 3 x 7  2  x 1   x   x 1 Câu (1,5 điểm): Cho hệ phương trình: mx  y  (với m tham số) 2 x  my  a) Giải hệ phương trình m  10 b) Tìm m để hệ phương trình cho có nghiệm x; y  thỏa mãn hệ thức: 2015m  14m  8056 x  y  2014  m2  Câu (3,0 điểm): a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c P   2 9a  3b  c 9b  3c  a 9c  3a  b b) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x(1  x  x )  y ( y  1) Câu (3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AC có độ dài a Trên đoạn AC lấy điểm B cho AC  AB Tia Cx vng góc với AC điểm C , gọi D điểm thuộc tia Cx ( D không trùng với C ) Từ điểm B kẻ đường thẳng vng góc với AD cắt hai đường thẳng AD CD K , E a) Tính giá trị DC.CE theo a b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ c) Chứng minh điểm D thay đổi tia Cx đường trịn đường kính DE ln có dây cung cố định 1 1 Câu (1,0 điểm): Cho dãy gồm 2015 số: ; ; ; ; ; 2014 2015 Người ta biến đổi dãy nói cách xóa hai số u, v dãy viết thêm vào dãy số có giá trị u  v  uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối lại số Chứng minh giá trị số cuối không phụ thuộc vào việc chọn số u, v để xóa lần thực việc biến đổi dãy, tìm số cuối -Hết Ghi chú: - Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………………… Số báo danh:…….…………… … ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (05 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm nêu cách giải với ý bản, thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm cho đủ số điểm phần thang điểm quy định 2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực với tất giám khảo 3) Điểm tồn tính đến 0,25 điểm Sau cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết 4) Với hình học học sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm phần II) Đáp án thang điểm: Câu Nội dung trình bày Điểm  x  16 x   x x    x 1  x 3 Cho biểu thức: A   a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A  x   x  x    Điều kiện:  x     x 1   x 2  0 x 1  x  16 x   x2 x 3 x 1  x 3 x   x 1 Từ đó: x  0; x  1; x  Biến đổi: Câu (1,5 đ) x 7  :2  x 1   x 7  x 1  x  13  x  1  x  3 x 7 x 1  x 3 x 6 x 7  x 3 x 1 x 3 x 7 x 7   2  x 3 x 1 x 1 0,25 x 7 x 1 0,25    x  x 1  x 2 x 1 x 9 x 1 0,25 x 9 x 2 x 9  : x 1 x 1 x 2 b) (0,5 điểm) Tìm x để A  6 x 9 Biến đổi: A  6   6  x   6 x  x 2 x  21  x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy để A  6 x  Từ đó: A   Trang / ThuVienDeThi.com  0,25 0,25 0,25 Cho hệ phương trình: mx  y  (với m tham số) 2 x  my  a) (0,5 điểm) Giải hệ phương trình m  10 10 x  y  5 x  y   2 x  10 y  2 x  10 y  Thay m  10 ta hệ:  50 x-10y=10 52 x=15   2 x  10 y  2 x  10 y  15 15    x  52  x  52   x  y   y  23  10 52  15   x  52 Kết luận: với m  10 hệ có nghiệm nhất:   y  23  52 b) (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình cho có nghiệm x; y  thỏa mãn hệ thức: x  y  2014  0,25 2015m  14m  8056 m2  Câu Dùng phương pháp thế, ta có: (1,5 đ) mx   mx  y   mx  y  y      2 x  my  2 x  my  2 x  m mx    2m  10  mx   x   y   m 4   ,m  R  m m  x=2m+10 y    m2  2m  10   x m2  Nên hệ ln có nghiệm nhất:  ,m  R   m y   m2  2015m  14m  8056 Thay vào hệ thức: x  y  2014  m2  Ta được: 0,25 2014m  m  8050 2015m  14m  8056  m2  m2   2014m  m  8050  2015m  14m  8056  m  m    m  1m      m  m  Kết luận: để hệ phương trình cho có nghiệm x; y  thỏa mãn hệ thức: Trang / ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 2015m  14m  8056 m   m 4 m  a) (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị x  y  2014  lớn biểu thức: P  Chứng minh: a b c   2 9a  3b  c 9b  3c  a 9c  3a  b (a  b  c )( x  y  z )  (ax  by  cz ) , a, b, c, x, y , z  R (1) Thật vậy: (1)  (a y  2abxy  b x )  (a z  2acxz  c z )  (b y  2bcyz  c z )   (ay  bx)  (az  cx)  (by  cz )  (đúng) ay  bx  Dấu "  "   az  cx  by  cz  1 Áp dụng BĐT (1) ta có: (9a  3b  c)(   c)  (a  b  c)  9a Dấu "  "  a  b  c  a 1  9a  3b  c    a (   c) 1 a  b  c a Câu  c 9a (3,0 đ) b 1 c 1 Tương tự có:  b(   a );  c (   b) 2 9b  3c  a 9b 9c  3a  b 9c abc  P    (ab  bc  ca ) 1 (a  b  c) (a  b  c) P    Do ab  bc  ca  3 3 Vậy Pmax   a  b  c  b) (1,5 điểm ) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x(1  x  x )  y ( y  1) Có: x(1  x  x )  y ( y  1)  ( x  x )  ( x  1)  y  y  2  ( x  1)( x  1)  (2 y  1) 0,25 (1) Vì x, y    2 y  1  , nên từ 1  x  x chẵn 0,25 Giả sử ( x  1, x  1)  d  d lẻ x  1 d ; x  1 d  2 d  d  0,25 Vì ( x  1)( x  1) số phương, ( x  1, x  1)  nên ( x  1) ( x  1) hai số phương 0,25 2 2 2 Trang / ThuVienDeThi.com Do x   x  x   ( x  1)  x   ( x  1)  x  2 2 y   y 1 Khi x  , có (1)  y ( y  1)    Vậy có hai cặp số nguyên x; y thỏa mãn yêu cầu toán là: (0;0),(0;1) 0,25 0,25 Cho đoạn thẳng AC có độ dài a Trên đoạn AC lấy điểm B cho AC  4AB Tia Cx vng góc với AC điểm C , gọi D điểm thuộc tia Cx ( D không trùng với C ) Từ điểm B kẻ đường thẳng vng góc với AD cắt hai đường thẳng AD CD K , E Câu (3,0 đ) a) (1,0 điểm) Tính giá trị DC.CE theo a ฀ ฀ ฀ Ta có: EBC ); ฀  ฀ADC (Cùng bù với góc KBC ACD  ECB  90o  ACD ECB đồng dạng với nhau(g-g) DC AC   DC.CE  AC.BC BC EC a 3a 3a Do AB  ; BC   DC.EC  AC.BC  4 b) (1,0 điểm) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ SBDE  BC.DE  SBDE nhỏ DE nhỏ 3a Ta có: DE  DC  EC  DC.EC   a ( Theo chứng minh phần a) a Dấu "  "  DC  EC  a 3a  S( BDE ) nhỏ D thuộc tia Cx cho CD   Trang / ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 c) (1,0 điểm) Chứng minh điểm D thay đổi tia Cx đường trịn đường kính DE ln có dây cung cố định Gọi giao điểm đường trịn đường kính DE với đường thẳng AC M, N ( M nằm A B)  M, N đối xứng qua DE Ta có: Hai tam giác AKB ACD đồng dạng (g-g) AK AB   AK AD  AC AB (1) AC AD Hai tam giác AKM AND đồng dạng (g-g) AK AM    AK AD  AM AN (2) AN AD a2 T (1) v (2) suy AM AN  AC AB  a   ( AC  MC )( AC  NC )  AC  MC (Do MC  NC ) 3a a  MC   MC  NC   M , N hai điểm cố định Vậy đường trịn đường kính DE ln có dây cung MN cố định 1 1 Cho dãy gồm 2015 số: ; ; ; ; ; 2014 2015 Người ta biến đổi dãy nói cách xóa hai số u, v dãy viết thêm vào dãy số có giá trị u  v  uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối 0,25  0,25 0,25 0,25 lại số Chứng minh giá trị số cuối khơng phụ thuộc vào việc chọn số u, v để xóa lần thực việc biến đổi dãy, tìm số cuối Với hai số thực u,v ta ln có: u  1v  1  u  v  uv   u  v  uv   (*) Câu Với dãy số thực a1 ;a2 ; ;a2015 , ta xét “Tích thêm T ”: (1,0 đ) T  a1  1a2  1a3  1 a2015  1 Áp dụng cách biến đổi dãy đề kết hợp với nhận xét (*), ta nhận thấy “Tích thêm T ” khơng thay đổi với dãy thu Với dãy cho ban đầu tốn, “Tích thêm T ”:        2015 2016 T    1  1  1  1   1   2016       2015  2014 2015 Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy lại số x “Tích thêm T ” dãy cuối là: T  x  Vậy ta có: x   2016  x  2015 Bài toán giải quyết; sau 2014 lần biến đổi dãy theo yêu cầu toán ta thu số 2015 -Hết -Trang / ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (05 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn...  R   m y   m2  2015m  14m  8056 Thay vào hệ thức: x  y  2014  m2  Ta được: 0,25 2014m  m  8050 2015m  14m  8056  m2  m2   2014m  m  8050  2015m  14m  8056  m ...     2015  2014 2015 Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy lại số x “Tích thêm T ” dãy cuối là: T  x  Vậy ta có: x   2016  x  2015 Bài toán giải quyết; sau 2014 lần