Đề thi chọn HSG lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 20122013 môn: Toán (dành cho học sinh THPT chuyên)36700

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT Chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (3,0 điểm)    Giải hệ phương trình    1   x  y 3 x  y  x y 1   y  x  x y  x, y  ฀  Tìm tất giá trị a, b cho phương trình x3  ax  bx  3a  có nghiệm số nguyên dương Câu (2,0 điểm) Giả sử a, b, c, d số nguyên cho a  b  c  d số nguyên lẻ chia hết a  b  c  d Chứng minh với số nguyên dương n có a  b  c  d chia hết a n  b n  c n  d n Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn tâm I Lấy E F đường thẳng AC AB cho CB  CE  BF , đồng thời chúng nằm phía với A đường thẳng BC Các đường thẳng BE CF cắt G Chứng minh bốn điểm C, E, I G nằm đường tròn Trên đường thẳng qua G song song với AC lấy điểm H cho HG  AF đồng thời H khác phía với C đường thẳng BG Chứng minh EHG  ·CAB Câu (1,0 điểm) Ký hiệu ฀ å để tập hợp số thực khác Tìm tất hàm số f xác định ฀ å , nhận giá trị thực thỏa mãn  1 y 1 x  xf  x    yf ( y )   yf  y    xf ( x)  x, y  y x x y   Câu (1,0 điểm) Một số nguyên dương gọi dễ thương biểu diễn thập phân khơng có chứa chữ số tổng bình phương chữ số số phương Tìm số dễ thương lớn có hai chữ số Hỏi có hay khơng số dễ thương có 2013 chữ số? -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……….…… Số báo danh……………… ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN (Đáp án có 03 trang) (Dành cho học sinh THPT Chuyên) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Nội dung trình bày Câu 1(3đ) 1.1 (1,5 điểm) Điều kiện x, y  Đặt Điểm 0,25 x  a  0, y  b  0; viết hệ cho dạng 1 2 2  a  2b  a  3b 3a  b      b  a   a 2b (1) (2)  a  10a 2b  5b  a  10a 3b  5ab  a (2)-(1) thu  5a  10a 2b  b  5a 4b  10a 2b3  b5  b (1)+(2) thu 0,25 (3) 0,25 (4) 0,25 Từ (3) (4) thu (a  b)5  (a  b)5  0,25 1 1 b  2 (  1) (  1) Và đó, tìm x  ,y 4 1.2 (1,5 điểm) Giả sử phương trình cho có ba nghiệm ngun dương      Khi đó, theo định lý Từ đó, tìm a  Vietta,       a,       b   3a       (1)  3  3  3      3  3  3  (2) Nếu     Với   :    , mâu thuẫn với (1) Vậy    3   3, 3  33  3  3.32     1  1  Từ  3             a  9, b  27 Với   :   2, 2  32   3  3.22   2  32   3  21 Giải phương     ta  ;   12; , 5;3   12,    a  16, b  52 Với   5,    a  10, b  31 Với   1:   1, 2  32   3  3.12   2  32   3  12, vơ lí trình với ý Vậy tất cặp số a; b  9; 27 , 16;52 , 10;31 ThuVienDeThi.com Với 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 2(2đ) + Chứng minh nhận xét: “Với a,b,x,y,z,t số nguyên cho a  b ước x  y ước z  t a  b | xz  yt ” + Mặt khác, (a  c)  (b  d )  (a  b  c  d )(a  b  c  d ) (a  b  c  d ) nên suy a  b  c  d | a  b  c  d  2(ac  bd ) Từ đó, giả thiết nên thu a  b  c  d | ac  bd (1) + Ta chứng minh kết luận toán phương pháp quy nạp tốn học Với n  1, : kết luận hiển nhiên Giả sử khẳng định tới n, tức a  b  c  d | a n  b n  c n  d n với n  ฀ , n  Ta cần chứng minh a  b  c  d | a n 1  b n 1  c n 1  d n 1 (2) Thật vậy, a  b  c  d | (a  c)  (b  d ) nhận xét suy a  b  c  d ước (a  c)(a n  c n )  (b  d )(b n  d n )  a n 1  b n 1  c n 1  d n 1  ac(a n 1  c n 1 )  bd (b n 1  d n 1 ) Nhưng, (1), giả thiết quy nạp nhận xét suy a  b  c  d | ac(a n 1  c n 1 )  (bd (b n 1  d n 1 ) Vậy suy a  b  c  d ước (a  c)(a n  c n )  bd (b n  d n )  ac(a n 1  c n 1 )  bd (b n 1  d n 1 )  a n 1  b n 1  c n 1  d n 1 (2) chứng minh Từ đó, theo nguyên lý quy nạp, suy a  b  c  d | a n  b n  c n  d n với số nguyên dương n 3(3đ) 3.1 (2,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 H F G A E N M I B C Khơng tính tổng qt, xét trường hợp AB  BC  CA, trường hợp khác xét tương tự Khi đó, E nằm đoạn CA, F nằm tia đối tia AB, … (hình vẽ) Từ giả thiết, suy F đối xứng với C qua phân giác góc ABC Do ABC CAB  BCA ABC AIC  1800  Suy CFA  CFB  900   900  2 tứ giác AFCI nội tiếp BCA CAB Từ AFI  ACI   IAC  IFC  ICF 2 BCA CAB CAB Do EBA  BEC  CAB  (900  )  CAB   IBE  2 Hơn nữa, tính đối xứng nên IEB  IBE  90  MGC  MCG  ICG suy tứ giác CIEG nội tiếp ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 3.2 (1,0 điểm) BCA  AFI 0,25 Hơn nữa, IAB  IEB nên GEI  FAI suy GEI đồng dạng FAI EG EG AF HG AF AI 0,25 Suy      BI EI AI GE GE BI BCA Nhưng HGE  AEB  900   AIB suy HGE đồng dạng AIB 0,25 CAB Từ EHG  BAI  0,25 Chú ý Nếu khơng có giả sử AB  BC  CA để có thứ tự điểm hình vẽ, yêu cầu phải sử dụng góc định hướng chứng minh hai phần (với cách giải trên); trường hợp thí sinh khơng sử dụng góc định hướng, khơng có giả sử thứ tự cạnh, đề nghị giám khảo trừ 0,5 điểm cho hai phần 4(1đ) Đặt f ( x)  x  g ( x) , phương trình hàm cho viết lại dạng 1 0,25 (1) xg ( x  )  yg ( y )  yg ( y  )  xg ( x) x, y  y x Cho y  thu xg ( x  1)  g (1)  g (1  )  xg ( x) x  (2) x Trong (2), thay x , ta 0,25 x 1 1 1 g (  1)  g (1)  g (1  x)  g ( )  g (1  )  xg ( x  1)  g ( )  xg (1) x  (3) x x x x x x Từ (2) (3) suy xg ( x)  g ( )  ( x  1) g (1) x  (4) x Trong (1), cho y  1 , lập luận tương tự, 0,25 xg ( x)  g ( )   g (1)( x  1) n  (5) x Từ (4) (5) suy xg ( x)  ( g (1)  g (1)) x  ( g (1)  g (1) x  hay b b g ( x)  a  x  , a, b hai số Suy f ( x)  a   x x  0,25 x x b Thử lại ta thấy f ( x)  a   x x  thỏa mãn phương trình cho x 5(1đ) 5.1 (0,5 điểm) Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn ab,1  a, b  Theo giả thiết ta có Do tứ giác CIEG nội tiếp, nên EGI  ECI  a  b  c số phương Nếu a, b khơng chia hết cho a  b  mod 3 , vơ lý a  b số phương suy ab  mod 3 0,25 +) Nếu a   81  b  c  c  b  81 khơng có nghiệm ngun dương với  b  +) Nếu a   b   b  3;6;9, thử trực tiếp ta thấy b  thỏa mãn Vậy số dễ thương lớn có chữ số 86 5.2 (0,5 điểm) Xét số A  222211  Khi 2 22  22  22  22  1    2025  45 2009 so1 0,25 suy 2009 so1 A  222211 số dễ thương  2009 so1 Hết ThuVienDeThi.com 0,5 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN (Đáp án có 03 trang) (Dành cho học sinh THPT Chuyên) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn... giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần... b  0; viết hệ cho dạng 1 2 2  a  2b  a  3b 3a  b      b  a   a 2b (1) (2)  a  10a 2b  5b  a  10a 3b  5ab  a (2)-(1) thu  5a  10a 2b  b  5a 4b  10a 2b3  b5 