Đề thi chọn HSG lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 20122013 môn: Toán (dành cho học sinh THPT không chuyên)28785

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu a) Giải phương trình 1   x  ฀ x  x2  b) Cho phương trình bậc hai x  2mx  m  2m   ( x ẩn m tham số) Tìm tất giá trị thực m cho phương trình cho có hai nghiệm khơng âm x1 , x2 Tính theo m giá trị biểu thức P  x1  x2 tìm giá trị nhỏ P  x  xy  y  x  y  Câu Giải hệ phương trình:   x, y  ฀  2 x  xy  y  Câu Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác không nhọn Chứng minh a 1   b  c      10 a b c  Câu a) Cho tam giác ABC, nhọn, khơng cân nội tiếp đường trịn O; R  Gọi G M trọng tâm tam giác ABC trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng OG vng góc với đường thẳng OM AC  AB  BC  12 R b) Cho tam giác ABC có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C m, n, p Tính độ dài cạnh AB, BC , CA theo m, n, p c) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C có phương trình x  y  0, x   0, x  y   Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC đỉnh A có hồnh độ âm 10 Câu Cho tứ giác lồi ABCD điểm M nằm bên tứ giác (M khơng nằm cạnh tứ giác ABCD) Chứng minh tồn góc ฀ , MBC ฀ ฀ ฀ MAB , MCD , MDA có số đo không lớn 450 -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh…………………… ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Đáp án có 03 trang) KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT khơng chun) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu 1(3đ) Nội dung trình bày 1.a (1,5 điểm) x   x   2;0  0; Điều kiện:  2  x  1 Đặt y   x  Thay vào ta được:   Do ta có hệ phương trình: x y     x2  y  2  x2  y   x  y   xy    1  x  y  xy  x  y  xy x  y   Điểm 0,25 0,5  x  y   x  y 2  x  y     xy      x  y  1  x  y  xy    xy  0,5 0,25 x  y   y   x x    +)   xy  x  2x 1   y  0,25  1  x  x y     x  y  1     +)  (do y  ) 1  xy  0,5 2 y  y     y   1   Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   ;1   1.b (1,5 điểm) Phương trình x  2mx  m  2m   (1) có hai nghiệm khơng âm   '  m  m  2m      S  2m   m   P  m  2m    Theo định lý Vi-ét ta có x1  x2  2m; x1 x2  m  2m  Do x1  x2   x1  x2  x1  x2  x1 x2  2m  m  1 3 Do m   x1  x2  Dấu đẳng thức xảy m  ThuVienDeThi.com 0,25 0,75 0,5 0,25 2(2đ) Đặt z  y  , thay vào hệ ta được: 2  x  xz  z  x  z   xz  x  z   x  z        x  xz  z   x  z   xz  x  z   xz 0,5  x  z   x  z     xz    x  z      xz  x  z    x  z      xz  x  z  z   x x  x     +)   xz  x  2x 1  z   y  x  z  z  1 x  x  1, z   x  1, y     +)   xz   x  x   x  0, z   x  0, y  0,5 0,25 0,5 0,25 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S  1; , 1;1, 0;  3(1đ) Do a, b, c độ dài ba cạnh tam giác khơng nhọn nên có bất đẳng thức sau xảy ra: a  b  c , b  c  a , c  a  b Giả sử a  b  c , ta có: 0,25 2  1 1  1  b c 1 1  b  c       a      b  c    a a b c  b c  b c  b2  c2   a2 2  4 b c a2 0,25 a 3a a2 b2  c2 a b2  c2         10 Do b2  c2 b2  c2 a2 b2  c2 a a  b2  c  a12  b12  c12   10 4.a (1,0 điểm) Áp dụng quy tắc trọng tâm quy tắc trung điểm ta có:       OA  OB  OC  OB  OC Khi , OM  OG         OG  OM  OG.OM   OA  OB  OC OB  OC         OA.OB  OA.OC  2OB.OC  R   2   a b  a b   1  2 R  AB  2 R  AC  R  BC  R  (chú ý a.b  2 2 2  AB  AC  BC  12 R 4.b(1,0 điểm) 2S 2S 2S ab  c ,b  ,c  Kí hiệu a  BC , b  CA, c  AB, p  Khi ta có a  m n p Theo cơng thức Hê – rơng ta có: S  p  p  a  p  b  p  c   1 4(3đ)   0,25   1 1  1 1 1 1 1 1  4S  2S     2S      2S     2S     m n p  m n p m n p m n p  S  S k  S  , k ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  1  1  1  1  k                 m n p  m n p  m n p  m n p  2 ,b  ,c  Do a  mk nk pk 4.c (1,0 điểm) Do BC vng góc với đường cao kẻ từ A nên BC có dạng x  y  c  Tọa độ đỉnh B 2 x  y  c   x    B 2;  c   , nghiệm hệ  x    y  c  tọa độ C nghiệm hệ phương trình  x  y  c   x  c    C c  3; c    x  y   y  c  0,25 0,25 AB qua B 2;  c   vng góc với đường cao kẻ từ C nên AB : x     y  c     x  y  c   Tọa độ đỉnh C nghiệm hệ  x  y  c    x  2c  12   A 2c  12; c    x  y  y  c  Theo giả thiết ta có AB AC.BC AB AC.BC AB AC  10    10 10  d  A, BC  S ABC 2.d  A, BC .BC 2c  10   2c  10  3c  15  4c  24  c   c 0,25 0,25 c  7  10  c     c  3 +) Nếu c  7  A 2; 1, B 2;3, C 4; 1 +) Nếu c  3  A 6;3, B 2; 1, C 0;3 khơng thỏa mãn hồnh độ A âm Vậy A 2; 1, B 2;3, C 4; 1 5(1đ)  0,25  ฀ ฀ ฀ ฀ Giả sử MAB , MBC , MCD , MDA  450 (1) ฀ Ta có cot MAB  ฀ cos MAB MA2  AB  MB MA2  AB  MB   ฀ ฀ S MAB sin MAB 2.MA AB.sin MAB MA2  AB  MB  cot 450   MA2  AB  MB  S MAB 2  Kết hợp với (1) ta S MAB Tương tự ta bất đẳng thức sau : MB  BC  MC  S MBC 3 0,25 0,25 MC  CD  MD  S MCD 4  MD  DA2  MA2  S MDA 5  Cộng theo vế bất đẳng thức (2), (3), (4), (5) ta được: AB  BC  CD  DA2  S MAB  S MBC  S MCD  S MDA   S ABCD (6) Mặt khác ta lại có: AB  BC  CD  DA2  AB.BC  2CD.DA  S ABC  SCDA  S ABCD , mâu thuẫn với (6) Do giả sử ban đầu sai suy tồn góc ฀ , MBC ฀ ฀ ฀ MAB , MCD , MDA có số đo khơng lớn 450 Hết -ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Đáp án có 03 trang) KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT khơng chun) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng...  c  Theo giả thi? ??t ta có AB AC.BC AB AC.BC AB AC  10    10 10  d  A, BC  S ABC 2.d  A, BC .BC 2c  10   2c  10  3c  15  4c  24  c   c 0,25 0,25 c  7  10  c    ... giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần