Đề thi chọn HSG lớp 12 THPT Vĩnh Phúc năm học 20142015 môn: Toán THPT24516

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ THI MÔN: TỐN - THPT Thời gian: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề Câu (2,5 điểm) a) Tìm tham số m để hàm số y  x3  3mx  m  1 x  nghịch biến đoạn có độ dài lớn b) Chứng minh với a , đường thẳng d : y  x  a cắt đồ thị hàm số x 1 H  hai điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến 2x 1 với H  A B Tìm a để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn y Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: cos x  sin x cos x   sin x  cos x   b) Có số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa mãn điều kiện a  b  c Câu (1,5 điểm) 3 2  x  y  x  y  6 x  15 y  10 Giải hệ phương trình:   y x    y   x  10  y  x  x, y  ฀  Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC điểm M 3; 1 , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B qua điểm E 1; 3 đường thẳng chứa cạnh AC qua điểm F 1;3 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết điểm đối xứng đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm D 4; 2  Câu (1,5 điểm) Cho hình chóp S ABCD thỏa mãn SA  5, SB  SC  SD  AB  BC  CD  DA  Gọi M trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối chóp S MCD khoảng cách hai đường thẳng SM , CD Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  b2  c   216 Hết Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh ………………………………………….Số ThuVienDeThi.com báo danh………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN – THPT (Gồm 06 trang) Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải câu học sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn Câu (2,5 điểm) Nội dung Điểm a) Ta có D  ฀ , y  x  6mx  m  1  x  2mx  m  1 1,0 điểm 0,25 y   x  2mx  m   1 Điều kiện cần đủ để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài lớn  y  đoạn có độ dài lớn  1 có hai nghiệm 0,25 x1 ; x2 x1  x2  thoả mãn x1  x2             m  m    x1  x2     0,25  21  21 m 2 Vậy hàm số 1 nghịch biến đoạn có độ dài lớn  m2  m    m  m 0,25  21  21 m 2 b) Phương trình hồnh độ giao điểm d H  :  x 1 x   xa   2x 1 2 x  2ax  a   *  Đặt g x   x  2ax  a  1,5 điểm 0,25 g  a  2a   0, a  Vì    nên * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với a  g      0, a  2 ThuVienDeThi.com 0,25 Vậy d cắt H  hai điểm phân biệt A, B với a Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2  với x1 , x2 hai nghiệm * Theo định lý Vi-ét ta có x1  x2  a , x1 x2  a  0,25 Tiếp tuyến A B có hệ số góc k1  1 ; k2  1 2 x1  1 2 x2  1  2 x1  12  2 x2  12  1 1 Ta có k1  k2     2 2  2 x1  1 2 x2  1  2 x1  1 2 x2  1  2    x1  x2   x1 x2  x1  x2    (do 2 x1  1 2 x2  1  1)   2  4 a  1   2, a 0,25 0,25 Dấu xẩy  a  1 Vậy k1  k2 đạt giá trị lớn 2 a  1 0,25 Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm  a) Giải phương trình: cos x  sin x cos x   sin x  cos x Phương trình  cos x  sin x     cos x  sin x     cos x  sin x    cos x  sin x  2            cos  x     3cos  x    cos  x    3cos  x   3 6 6 6        cos  x      2     x    k  x   k  k  ฀     cos  x    loai  6   2 Vậy phương trình có họ nghiệm x   k  k  Z  b) Có số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa mãn điều kiện a  b  c Ta xét trường hợp sau: TH1 a  b  c Mỗi số abc tổ hợp chập chín phần tử 1, 2, ,9 suy số số abc thỏa 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm 0,25 mãn a  b  c C93 TH2 a  b  c Mỗi số abc tổ hợp chập chín phần tử 1, 2, ,9 suy số số abc thỏa 0,25 mãn a  b  c C TH3 a  b  c Mỗi số abc tổ hợp chập chín phần tử 1, 2, ,9 suy số số abc thỏa 0,25 mãn a  b  c C ThuVienDeThi.com TH4 a  b  c Số số abc thỏa mãn a  b  c C91 0,25 Vậy số số thỏa mãn yêu cầu toán C  C  C  C  165 9 9 Câu (1,5 điểm) Nội dung Điểm 3  x3  y  x  y  6 x  15 y  10 x  1  x  1   y     y     2  y x    y   x  10  y  x  y x    y   x  10  y  x 1 2  0,25  x  3 Điều kiện  y฀ f t   t  3t , t  ฀ , f  t   3t   t  ฀ Vậy hàm số f t  đồng Xét hàm số biến ฀ Từ 1 ta có f x  1  f  y    x   y   y  x  Thay 3 vào 2  ta phương trình: x  1 x   x   x  10  x  x   Phương trình 4   x  1  x  1 x   x3 3   x    x     x   x   x  10   0,25 3 4  x  10   x  x  30 0,25  x  x    x   5    x  x7   x  6   x   x  10  0,25   Từ 5  : x    x    y   x; y   6;7  nghiệm hpt  Từ 6  : VT 7  x 1 x3 x7 x7    0 2 x3 3 x  10  7  phương trình vơ nghiệm 1 1     x        x        VP 7   x3 3 2  x  10   Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y   6;7  0,25 0,25 Câu (1,5 điểm) Nội dung Gọi H trực tâm tam giác ABC , ta chứng minh BDCH hình bình hành nên M trung điểm HD suy H 2;0  Đường thẳng BH có vtcp   EH  3;3  vtpt n BH  1; 1  BH : x  y   ThuVienDeThi.com Điểm 0,50 A H F O E B C M D   Do AC  BH nên vtpt AC n AC  u BH  1;1  pt AC : x  y     Do AC  CD nên vtpt CD n DC  u AC  1; 1  pt DC : x  y   0,25 Do C giao AC DC nên tọa độ C nghiệm hệ phương trình x  y   x    C 5; 1  x  y    y  1 0,25 Do M trung điểm BC nên B 1; 1 Vì AH vng góc với BC nên AH có vtpt  BC  4;0   AH : x   Do A giao điểm AC AH nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình: x   x    A 2;   x  y   y  Vậy tọa độ đỉnh tam giác ABC A 2;  , B 1; 1 , 5; 1 0,25 0,25 Câu (1,5 điểm) Nội dung Điểm m BC = 3.31 cm m AD = 3.51 cm m OS = 7.09 cm S m MN = 5.64 cm A B M O N D C Ta thấy ABCD hình thoi, tam giác SBD cân S suy BD  SAC  Gọi O giao điểm AC BD , ta thấy SBD  ABD  CBD c.c.c  Suy OA  OC  OS   AC nên SAC vuông S ThuVienDeThi.com 0,50 Xét SAC ta có 0,25 AC  SA2  SC  2  OC  2, OD  CD  OC   BD  1 1 15 Thể tích VS CMD  VS ABCD   BD  S SAC       12 12 12 0,25 Gọi N trung điểm AD nên CD / / SMN  Suy d (CD, SM )  d (CD, ( SMN ))  d (C , ( SMN ))  Thể tích VC SMN  VS MCD   VC SMN  S SMN 0,25 15 (1) 12 13 Ta có MN  3, SM  , SN  ( sử dụng công thức đường trung tuyến) 2 ฀ Theo định lý hàm số cosin SMN ta có cos SMN  23 ฀  sin SMN  3 3 23 ฀ Vậy S SMN   SM  MN  sin SMN  (2) Thay (1), (2) vào  ta d (CD, SM )  0,25  VC SMN S SMN 15 15  12  23 23 Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm 1,0 điểm 0,25 Không tổng quát giả sử a  b  c Mà a  b  c   c  , a  b   a  b   Nhận xét ta có bất đẳng thức a  b      , *     2 * 2  ab 2  a b  2a  2b     a  b   16 a  b   a  b   16a b   2 2 16 a  b   a  b   4ab a  b   a  b  a  b   4ab  ( )   ab ( a  b   4ab  16 ) Đặt x  mà x  c   c   x   x  2 2 2 2 2 Áp dụng * ta có a  b  c   x   c   x   6  x      2  5 Xét hàm số f x   x   6  x    , x   2;     2 Có đạo hàm f  x   24 x  x  x  x  1, 2 2 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 f  x    x  , x  3  5    2;  Lập Bảng biến thiên max f x   f 2   216  2  5 x 2;  2   Dấu a  b  c  Vậy a, b, c  thỏa mãn a  b  c  , a  b  c   216 dấu xẩy a  b  c  ……… Hết……… ThuVienDeThi.com 0,25 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN – THPT (Gồm 06 trang) Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình... có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Học sinh... SAC vuông S ThuVienDeThi.com 0,50 Xét SAC ta có 0,25 AC  SA2  SC  2  OC  2, OD  CD  OC   BD  1 1 15 Thể tích VS CMD  VS ABCD   BD  S SAC       12 12 12 0,25 Gọi N trung