Đề thi chọn HSG lớp 10 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 20102011 môn: Toán dành cho học sinh THPT không chuyên50008

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (4 điểm) KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— x  y  m  Cho hệ phương trình  2  x  y  x  y  m  (trong m tham số; x y ẩn) a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A  xy  x  y   2011 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lớn 3 x  3m  1 x  6m   Câu II (1,5 điểm)  x  y  xy  Giải hệ phương trình  Câu III (1 điểm) 2  x   y   Chứng minh x, y số thực dương 1  x   1  y   1  xy Câu IV (3,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;  B 4;3 Tìm tọa độ điểm M trục hồnh cho góc AMB 450 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC tam giác ABC; biết D 2;1, E 3; , F  ; 17   5  Cho tam giác ABC, có a  BC , b  CA, c  AB Gọi I, p tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh IA2 IB IC   2 c  p  a a  p  b b  p  c -Hết Chú ý: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 VỊNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho học sinh trường THPT không chuyên) Đáp án gồm trang Câu I điểm Nội dung Điểm 1.a (2 điểm) Đặt S  x  y; P  xy Khi hệ phương trình trở thành S  m  S  m    2  S  P  2S  m  P  m  m  1,0 Để hệ có nghiệm S  P  m    m  m    m   2  m  2 1,0 1.b (1 điểm) Ta có A  P  2S  2011  m  m  2005 Lập bảng biến thiên ta max A  2011 m  ; A  2004, 75 0,5 m  0,5 m -2 - 2 2011 2007 0,5 A 2004,75 (1 điểm) Đặt t  x  , thay vào phương trình ta t  3m  1t  6m   0,25 t   phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt t  3m  1  3m   m   Khi phương trình cho có bốn nghiệm  3m   m  0,5  2;  3m  Để nghiệm lớn 3  3m   3  3m    m  10 Vậy giá trị m m   ;  \  3  10 II (1,5 điểm) ĐK xy  , ta thấy từ pt thứ  x  y  , x  0, y  Từ ta đặt u  x  0, v  y  thay vào hệ ta ThuVienDeThi.com 0,25 2 u  v  uv  u  v    3uv   4  u   v   u  v   3u  3v  u v   16 0,5 u  v 2   3uv   2 2  u  v   2uv   2u v  u v  u  v   2uv   6u v   10     Đặt t  uv   t  (vì  3uv  u  v   4uv  uv  ) Thế từ phương trình thứ hệ vào phương trình thứ hai ta    4 t  3t  6t  12  t  2t  t  3t  6t  12  t  2t    t  2t   2   0,5   3t  4t  34t  60t  33   t  1 3t  7t  27t  33  u  v  u   x    uv  v  y 1 +) Nếu t   uv  ta có  +) Nếu 3t  7t  27t  33   3t  7t   27 1  t   vơ lí  t  Kết luận nghiệm hệ x; y   1;1 III điểm 0,5 Do x, y  nên bất đẳng thức cho tương đương với 1  x 2  1  y 2  1  xy   1  x 2 1  y 2   2   x  y  x  y 1  xy    x  x  y  y     0,25  0,25  xy x  y   xy  1  , bất đẳng thức Dấu xảy 2 0,5 x  y 1 IV (1,5 điểm)   3,5 điểm Giả sử tọa độ M x;0  Khi MA  1  x; ; MB  4  x;3   Theo giả thiết ta có MA.MB  MA.MB.cos 450  1  x 4  x    1  x   4  x   x  x  10  x  x  x  x  25   x  x  10   x 2   2 2  0,5  x  x  x  25 (do x  x  10  0)  x  10 x3  44 x  110 x  75   0,5 0,25   x  1x   x  x  15   x  1; x  Vậy ta có hai điểm cần tìm M 1;0  M 5;0  0,25 (1 điểm) Gọi A’, B’, C’ chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C Do tứ giác ฀ ฀ BCB’C’ nội tiếp nên FDA  FCA  ฀ABE  ฀ADE  H nằm đường phân giác hạ từ D tam giác DEF, tương tự ta H nằm 0,5 đường phân giác hạ từ đỉnh E tam giác DEF Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Ta lập phương trình đường thẳng DE, DF ThuVienDeThi.com DE : x  y   0; DF : x  y   Do phương trình phân giác 3x  y  3x  y  đỉnh D   x   0; y   Kiểm tra vị trí 0,25 10 10 tương đối E, F với hai đường ta phân giác kẻ từ đỉnh D d : x   Tương tự ta lập phương trình phân giác kẻ từ đỉnh E d ' : x  y   Mặt khác H giao d d’ nên H 2;3 Ta có AC trung trực HE nên AC qua trung điểm B '  ;  có vtpt 2 2  HE  1;1  AC : x  y   E A B' 0,25 C' F H A' C B D (1 điểm) Gọi M tiếp điểm AC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi ta có AM  p  a; IM  r Gọi S diện tích tam giác ABC, theo cơng thức Heron ta có S  p  p  a  p  b  p  c  Áp dụng định lí Pitago tam giác AIM ta có IA  AM  MI   p  a   r   p  a    p  a bc p 2  2  p  a  p  b  p  c  S     p  a  p  p 0,5 IA2 b  c p  a p Tương tự ta có IB c IC a  ;  a  p  b p b  p  c p 0,25 IA2 IB IC abc    2 Do c  p  a a  p  b b  p  c p 0,25 A M I C B ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2 010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho học sinh trường THPT không chuyên) Đáp án gồm trang Câu I... Theo giả thi? ??t ta có MA.MB  MA.MB.cos 450  1  x 4  x    1  x   4  x   x  x  10  x  x  x  x  25   x  x  10   x 2   2 2  0,5  x  x  x  25 (do x  x  10  0)...  m   Khi phương trình cho có bốn nghiệm  3m   m  0,5  2;  3m  Để nghiệm lớn 3  3m   3  3m    m  10 Vậy giá trị m m   ;   3  10 II (1,5 điểm) ĐK xy  , ta