SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (4 điểm) KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— x y m Cho hệ phương trình 2 x y x y m (trong m tham số; x y ẩn) a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A xy x y 2011 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lớn 3 x 3m 1 x 6m Câu II (1,5 điểm) x y xy Giải hệ phương trình Câu III (1 điểm) 2 x y Chứng minh x, y số thực dương 1 x 1 y 1 xy Câu IV (3,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; B 4;3 Tìm tọa độ điểm M trục hồnh cho góc AMB 450 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC tam giác ABC; biết D 2;1, E 3; , F ; 17 5 Cho tam giác ABC, có a BC , b CA, c AB Gọi I, p tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh IA2 IB IC 2 c p a a p b b p c -Hết Chú ý: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 VỊNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho học sinh trường THPT không chuyên) Đáp án gồm trang Câu I điểm Nội dung Điểm 1.a (2 điểm) Đặt S x y; P xy Khi hệ phương trình trở thành S m S m 2 S P 2S m P m m 1,0 Để hệ có nghiệm S P m m m m 2 m 2 1,0 1.b (1 điểm) Ta có A P 2S 2011 m m 2005 Lập bảng biến thiên ta max A 2011 m ; A 2004, 75 0,5 m 0,5 m -2 - 2 2011 2007 0,5 A 2004,75 (1 điểm) Đặt t x , thay vào phương trình ta t 3m 1t 6m 0,25 t phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt t 3m 1 3m m Khi phương trình cho có bốn nghiệm 3m m 0,5 2; 3m Để nghiệm lớn 3 3m 3 3m m 10 Vậy giá trị m m ; \ 3 10 II (1,5 điểm) ĐK xy , ta thấy từ pt thứ x y , x 0, y Từ ta đặt u x 0, v y thay vào hệ ta ThuVienDeThi.com 0,25 2 u v uv u v 3uv 4 u v u v 3u 3v u v 16 0,5 u v 2 3uv 2 2 u v 2uv 2u v u v u v 2uv 6u v 10 Đặt t uv t (vì 3uv u v 4uv uv ) Thế từ phương trình thứ hệ vào phương trình thứ hai ta 4 t 3t 6t 12 t 2t t 3t 6t 12 t 2t t 2t 2 0,5 3t 4t 34t 60t 33 t 1 3t 7t 27t 33 u v u x uv v y 1 +) Nếu t uv ta có +) Nếu 3t 7t 27t 33 3t 7t 27 1 t vơ lí t Kết luận nghiệm hệ x; y 1;1 III điểm 0,5 Do x, y nên bất đẳng thức cho tương đương với 1 x 2 1 y 2 1 xy 1 x 2 1 y 2 2 x y x y 1 xy x x y y 0,25 0,25 xy x y xy 1 , bất đẳng thức Dấu xảy 2 0,5 x y 1 IV (1,5 điểm) 3,5 điểm Giả sử tọa độ M x;0 Khi MA 1 x; ; MB 4 x;3 Theo giả thiết ta có MA.MB MA.MB.cos 450 1 x 4 x 1 x 4 x x x 10 x x x x 25 x x 10 x 2 2 2 0,5 x x x 25 (do x x 10 0) x 10 x3 44 x 110 x 75 0,5 0,25 x 1x x x 15 x 1; x Vậy ta có hai điểm cần tìm M 1;0 M 5;0 0,25 (1 điểm) Gọi A’, B’, C’ chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C Do tứ giác BCB’C’ nội tiếp nên FDA FCA ABE ADE H nằm đường phân giác hạ từ D tam giác DEF, tương tự ta H nằm 0,5 đường phân giác hạ từ đỉnh E tam giác DEF Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Ta lập phương trình đường thẳng DE, DF ThuVienDeThi.com DE : x y 0; DF : x y Do phương trình phân giác 3x y 3x y đỉnh D x 0; y Kiểm tra vị trí 0,25 10 10 tương đối E, F với hai đường ta phân giác kẻ từ đỉnh D d : x Tương tự ta lập phương trình phân giác kẻ từ đỉnh E d ' : x y Mặt khác H giao d d’ nên H 2;3 Ta có AC trung trực HE nên AC qua trung điểm B ' ; có vtpt 2 2 HE 1;1 AC : x y E A B' 0,25 C' F H A' C B D (1 điểm) Gọi M tiếp điểm AC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi ta có AM p a; IM r Gọi S diện tích tam giác ABC, theo cơng thức Heron ta có S p p a p b p c Áp dụng định lí Pitago tam giác AIM ta có IA AM MI p a r p a p a bc p 2 2 p a p b p c S p a p p 0,5 IA2 b c p a p Tương tự ta có IB c IC a ; a p b p b p c p 0,25 IA2 IB IC abc 2 Do c p a a p b b p c p 0,25 A M I C B ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2 010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho học sinh trường THPT không chuyên) Đáp án gồm trang Câu I... Theo giả thi? ??t ta có MA.MB MA.MB.cos 450 1 x 4 x 1 x 4 x x x 10 x x x x 25 x x 10 x 2 2 2 0,5 x x x 25 (do x x 10 0)... m Khi phương trình cho có bốn nghiệm 3m m 0,5 2; 3m Để nghiệm lớn 3 3m 3 3m m 10 Vậy giá trị m m ; 3 10 II (1,5 điểm) ĐK xy , ta