Đề thi chọn HSG lớp 11 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 20142015 môn: Toán (dành cho học sinh THPT không chuyên)26614

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) 2014  2015cot x  sin x x b) Giải phương trình: sin x  cos x   2sin  sin x sin x   Câu (1,0 điểm) Gọi M tập tất số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác có dạng a) Tìm tập xác định hàm số f x     a1a2 a3 a4 a5 a6 Chọn ngẫu nhiên số từ tập M Tính xác suất để số chọn số chẵn, đồng thời thỏa mãn a1  a2  a3  a4  a5  a6 n 2  Câu (1,0 điểm) Tìm hệ số x khai triển Niu – tơn biểu thức  x   , x   , biết x  n số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: 2Cn1  3Cn2  4Cn3   n  1Cnn  111 Câu (1,0 điểm) Cho dãy số un  xác định bởi: u1  1, un 1  un , n  1, 2,3, Tính: un  2014 u1  1u2  1 un  1 2015n Câu (1,0 điểm) Chứng minh phương trình ẩn x sau ln có nghiệm dương: lim x  2014 x  2015  Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không tam giác vng, nội tiếp đường trịn (I) Kẻ đường kính AM đường tròn (I) Đường thẳng  qua đỉnh A, vng góc với BC  cắt đường trịn (I) điểm N (N khác A) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết 3 5 M 5;3, N 4; , đường thẳng BC qua điểm P 4;  , đường thẳng AC qua điểm Q  ;  2 2 hoành độ điểm B lớn Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, SA  SC , SB  SD Gọi (P) mặt phẳng qua B, trọng tâm tam giác SAC song song với AC Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng AD, CD M, N Chứng minh SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) B trung điểm đoạn thẳng MN (với O giao điểm AC BD) ฀ Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC , ฀ASB  600 , BSC  900 , ฀ASC  1200 Gọi H, K trung điểm AC, BC gọi L hình chiếu vng góc H lên đường thẳng SK Chứng minh tam giác ABC vuông HL vng góc với mặt phẳng (SBC) Câu (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương a, b ta có bất đẳng thức sau: a 2b a  b   a  b ab  1 -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh…………………… ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Đáp án có 05 trang) KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2014-2015 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm (2,0 điểm) a.(1,0 điểm) 1  sin x  sin x  Hàm số f x  xác định   0,5 sin x  sin x         x   k 2  x   k 2  x   k 2    k  ฀  2  x  k  x  k  x  k   Vậy tập xác định hàm số cho là: S  ฀ \   k 2 , k k  ฀  2  b.(1,0 điểm) x sin x  cos x   2sin  sin x sin x     2sin x cos x   cos x  sin x  4sin x  sin x  0,25 0,25    2  4sin x   2sin x cos x  cos x   sin x  sin x 0,25   1  2sin x   cos x 2sin x  1  sin x 2sin x  1  2sin x    sin x  cos x  2    2sin x  1 +)  sin x  cos x   sin x  cos x      0,25   sin x  cos x  1  sin  x    1 2 6   k 2 , k  ฀   x   k 2  +) 2sin x    sin x    k  ฀   x  5  k 2   x   k 2  x   Vậy phương trình cho có nghiệm x   0,25    k 2 , x  0,25   k 2 , x  5  k 2 k  ฀  (1,0 điểm) Gọi A biến cố “chọn số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn a1  a2  a3  a4  a5  a6 ” Khi đó: n M   A95 (số có sáu chữ số đơi khác 0,25 a1 có chín cách chọn, a2 a3 a4 a5 a6 chỉnh hợp chập phần tử nên có A ) TH1: a6  a1a2 a3 a4 a5 có C95 cách chọn TH2: a6  a1a2 a3 a4 a5 có C75 cách chọn TH3: a6  a1a2 a3 a4 a5 có C cách chọn 5 ThuVienDeThi.com 0,5 n  A   C95  C75  C55  148 Do P  A   n  A  148 37   n   A9 34020 (1,0 điểm) Nhận xét kCnk  k 0,25 n n  1! n!   nCnk11  kCnk  nCnk11 k !n  k ! k  1!n  k ! 0,25 Ta có 2Cn1  3Cn2  4Cn3   n  1Cnn  111  1Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn  111  nCn01  nCn11  nCn21   nCnn11  1  1   111 n  n Cn01  Cn11  Cn21   Cnn11  2n   111 n 1 0,5  n.2   112 (1) +) Nếu n   n.2n 1  2n  5.24  25  112 vơ lí +) Nếu n   n.2n 1  2n  5.24  25  112 vơ lí Do n  Theo khai triển nhị thức Niu – tơn ta có: n k 5  2 5 k   k k k 10 3 k    x C x         C5 x x  k 0   x  k 0 Hệ số x ứng với 10  3k   k  Do hệ số x là: C52 22  40 (1,0 điểm) u 1 Do u1   un  0, n  ฀ * Ta có un 1  n     un  , n  1, 2, un  un 1 un n      n 1  1   1   1   n 1 n 1    n  u1  1u2  1 un  1   0,25 0,5 0,25 Suy  1 2014 1   2014 u1  1u2  1 un  1 2014 n  1  n   2014 lim  lim  lim 2015n 2015n 2015 2015 2014 u1  1u2  1 un  1 2014  Vậy lim 2015n 2015 (1,0 điểm) Đặt f x   x5  2014 x  2015 Tập xác định D  ฀  f x  liên tục ฀ 0,25 Ta có f 0   2015, f 8    2014.8  2015  14641 suy f 0  f 8   0,5 Do phương trình x  2014 x  2015  có nghiệm khoảng 0;8  0,25 (1,0 điểm) Do ฀ANM  900  AN  MN , kết hợp với AN vng góc BC suy BC song song với  MN hay đường thẳng MN có vtcp MN  1;1 Do phương trình đường thẳng 0,25 5 0,25 x4 y2 BC :   x y 6  1  AH vng góc với MN nên AH có vtpt MN  1;1 suy phương trình đường thẳng AH: 1x    1 y     x  y  Gọi K giao điểm AH BC suy K trung điểm HN tọa độ K nghiệm hệ phương trình: ThuVienDeThi.com 0,25 x  y  x    K 3;3 , kết hợp với K trung điểm HN suy H 2;   x  y   y  Gọi E trung điểm BC, tứ giác BHCM hình bình hành suy E trung điểm HM 7 5 suy E  ;  2 2 B thuộc đường thẳng BC nên B t ;6  t  , kết hợp với E trung điểm BC suy   2t  11  2t   ; C 7  t ; t  1 Ta có CQ    , BH  2  t ; t     Do trực tâm tam giác ABC nên H CQ BH   2t  112  t   7  2t t    t   4t  30t  50    , kết hợp với t   t  Vậy tọa độ đỉnh tam t   giác ABC B 5;1, C 2; , A 1;1 (A giao đường thẳng AH AC) 0,25 0,25 A H I B K P E C M N Q (1,0 điểm) Tam giác SAC cân S, O trung điểm AC suy SO vng góc với AC Tam giác SBD cân S, O trung điểm BD suy SO vng góc với BD Do SO vng góc với (ABCD) Mặt phẳng qua B, G (trọng tâm tam giác SAC) song song với AC cắt SA, SC, SD E, F, H Do AC||(EFH) suy AC||EF M giao (EFH) với AD suy M giao EH AD, N giao (EFH) với CD suy N giao FH với CD Do B, M, N điểm chung hai mặt phẳng (EFH) (ABCD) nên B, M, N thuộc giao tuyến hai mặt phẳng suy B, M, N thẳng hàng GE GH GF   Do AC||(EFH) suy AC||MN  (1) BM HB BN GE SG GF    GE  GF (2) EF||AC suy OA SO OC Từ (1) (2) suy BM  BN hay B trung điểm MN ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 S H E G A M F D O C B N (1,0 điểm) Theo định lí hàm số sin tam giác SAB, SAC, SBC ta được: AB  a, BC  a 2, AC  a  AC  AB  BC  tam giác ABC vuông B H trung điểm AC nên SH vng góc với AC, a a BH  AC  , SH  SA2  HA2   SB  SH  HB  SH vng góc với 2 BH suy SH vng góc với mặt phẳng (ABC) H, K trung điểm CA, CB suy HK||AB  HK  BC (1) Mặt khác SH vng góc (ABC) suy SH  BC (2) Từ (1) (2) suy BC  SHK   BC  HL , kết hợp với HL  SK  HL  SBC  S L H A C K B ThuVienDeThi.com 0,25 0,5 0,25 (1,0 điểm) Đặt a  b  x, ab  y  x  y , bất đẳng thức cần chứng minh viết lại dạng: y x  y   x  y  1 (1) TH1 Nếu y   x  xy  y   y  y     y x  y   x  y  1  x xy  y  1 y  y  y y y  y   y  y 2 y   y 1  0,5  y  y  y   suy (1) TH2 Nếu y  x  y  1  y x  y   x  y  1  y 4 y  y    x  y  1  y  y  1   y  1 y  y  1  y  1y  y  1  x  y  y  1  y  y  2 Do (1) Dấu đẳng thức xảy a  b  Hết ThuVienDeThi.com 0,5 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Đáp án có 05 trang) KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2014-2015 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT khơng chun) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng... nCn11  nCn21   nCnn? ?11  1  1   111 n  n Cn01  Cn11  Cn21   Cnn? ?11  2n   111 n 1 0,5  n.2   112 (1) +) Nếu n   n.2n 1  2n  5.24  25  112 vô lí +) Nếu n   n.2n... n!   nCnk? ?11  kCnk  nCnk? ?11 k !n  k ! k  1!n  k ! 0,25 Ta có 2Cn1  3Cn2  4Cn3   n  1Cnn  111  1Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn  111  nCn01 