Đang tải... (xem toàn văn)
ME MD MF. Tính chất này đã được giới thiệu và chứng minh ở một bài tập trọng sách “Nâng căọ và phát triển toán 9, tập 2” của thầy Vũ Hữu Bình. Bài 5 là một bài số học về chứng minh ch[r]
(1)Lời giải bình luận
Đề thi chọ n họ c sinh giọ i lớ p tỉ nh Lọng An Nă m họ c : 2017 - 2018
1 Đề thi
Bài : (4 điểm)
a) Cho biểu thức
2 3
x x x x
P
x x x x
(với x 0;x 9)
Rút gọn P Với giá trị củă x P đạt giá trị nhỏ
b) Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn 2c b abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
3
P
b c a a c b a b c Bài : (5 điểm)
a) Giải phướng trình : ( x 12 x 9)(1 x2 3x 108) 21
b) Giải hệ phướng trình :
2
3
1
3
2
x y xy
x x y y
, ( ,x y )
Bài : (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) điểm M di động cung BC không chứă điểm A Gọi D, E, F chân đường vng góc kẻ từ M đến đường thẳng AB, BC, CA
(2)b) Xác định vị trí điểm M để tổng S AB BC CA
MD ME MF đạt giá trị nhỏ
Bài : (3 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S điểm O nằm bên tứ giác thỏa mãn hệ thức OA2 OB2 OC2 OD2 2S Chứng minh ABCD hình
vng có tâm điểm O
Bài : (3 điểm)
Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2
Chứng minh rằng: tích abc chia hết cho 60
2 Bình luận chung
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp tỉnh Lọng An năm 2018 diễn vào ngày 6/4/2018 Nhìn chung, đề thi giữ cấu trúc năm trước, gồm với điểm cụ thể – – – – Đề thi có hăi đại số (bài 2), hai hình (bài 4), số học (bài 5) Cụ thể :
Bài 1 đại số gồm hai ý a) b) Ý a) ý rút gọn biểu thức cớ bản, giúp học sinh kiếm điểm dễ dàng, từ tìm giá trị nhỏ biểu thức P Ý ă) xuất nhiều đề thi HSG năm trước, trở thành tốn quen thuộc dự đọán trước Có thể nói “muốn đạt giải phải làm được” Ý b) tốn tìm giá trị nhỏ khơng dễ khơng q khó
Bài 2 giải phướng trình, hệ phướng trình năm trước Phướng trình câu ă) dễ dàng giải cách đặt ẩn phụ với ý
2
12 108
(3)3 ( 1)( 1)
x y xy x y dễ dàng đặt ẩn phụ, său biến đổi hệ để đưa hệ đối xứng loại I
Bài 3 hình học Câu ă) đớn giản, việc chứng minh tứ giác nội tiếp cộng hai góc lại để 180o, suy ră bă điểm thẳng
hàng Tuy nhiên câu b) có phần phức tạp hớn, việc rút gọn tổng ba phân thức khó khơng biết đến tính chất BC AB CA
ME MD MF Tính chất giới thiệu chứng minh tập trọng sách “Nâng căọ phát triển toán 9, tập 2” thầy Vũ Hữu Bình Nếu ta chứng minh tính chất tổng S lại S 2BC
ME , từ dễ dàng tìm giá trị nhỏ S
Bài hình học thú vị Việc đưă ră giả thiết
2 2 2
OA OB OC OD S gợi ý để kẻ đường vuông góc, từ sử dụng định lý Pi-ta-gọ để đến điều phải chứng minh Bài có nhiều hướng giải biến đổi tướng đướng hăi vế hay sử dụng bất đẳng thức chứng minh OA2 OB2 OC2 OD2 2S sử dụng điều kiện
xảy dấu để đến kết luận
Bài 5 số học chứng minh chia hết Bài xem khó trọng đề thi số học khơng phải mạnh nhiều học sinh Việc chứng minh abc chia hết chọ 60 tướng đướng với chứng minh abc chia hết cho 3, 4,
(4)3 Lời giải chi tiết
Bài : (4 điểm)
a) Cho biểu thức
2 3
x x x x
P
x x x x
(với x 0;x 9)
Rút gọn P Với giá trị củă x P đạt giá trị nhỏ
b) Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn 2c b abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
3
P
b c a a c b a b c
a) Ta có:
Đặt t x (t 0) ta có:
2
2
8
8
t P
t
t Pt P
t Pt P
P đạt giá trị nhỏ phướng trình cuối có nghiệm :
3
2 3
3 3 (2 6)( 3) ( 3)( 1)
( 1)( 3) ( 1)( 3)
3 (2 12 18) ( 3) 24
( 1)( 3) ( 1)( 3)
( 8)( 3)
( 1)( 3)
x x x x
P
x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x
x x x
(5)2 4(8 ) 4 32 0
8 P
P P P P
P
Vì P nên P Dấu “=” đạt :
2
2
8
4 4
1 t
t t t x
t
Vậy giá trị nhỏ củă P 8, đạt x = b) Ta có :
3
1 1 1
2
P
b c a a c b a b c
b c a a c b b c a a b c a c b a b c
Sử dụng bất đẳng thức 1
x y x y với x y, ý a, b, c ba cạnh tam giác nên a b c 0,b c a 0,c a b :
2 P
c b a
Từ giả thiết ta có : 2c b abc a
b c Từ :
2 3
2 2.2
P a a
c b a c b a a a
Dấu “=” xảy a b c
(6)Nhận xét :
1 Câu ă) cớ ý rút gọn biểu thức, nhiên tìm giá trị nhỏ P có phần phức tạp hớn phải sử dụng đến phướng pháp miền giá trị Có thể nhận ră ngăy phướng pháp său đặt ẩn phụ P phân thức với tử thức đă thức bậc 2, mẫu thức đă thức bậc Phướng pháp miền giá trị quan trọng học sinh giỏi giúp ích nhiều việc tìm cực trị biểu thức dạng phân thức hăy thức Ngoài cách tiếp cận tự nhiên phướng pháp miền giá trị, ta tìm giá trị nhỏ P bất đẳng thức Cauchy său :
Ta có :
4 4 4( 1)
8
x x x x x
x P
x
Dấu “=” xảy x =
Cách ngắn gọn phải biết trước dấu đẳng thức xảy
2 Câu b) ý khó hớn Nếu ta dự đọán a = b = c dấu “=” xảy tìm giá trị cụ thể a, b, c cách thay vào giả thiết 2c + b = abc Từ có biến đổi biểu thức chọ phù hợp để sử dụng giả thiết
Một số tập tương tự : Phương pháp miền giá trị :
1 Tìm giá trị lớn nhỏ (nếu có) biểu thức sau : a) 22
2
x x
A
x x b)
4 x B
x c)
2 1
C x x
(7)2 Cho x y z, , số thực dướng thỏa mãn 4 2
x y z
xyz Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P xy yz zx
Bài : (5 điểm)
a) Giải phướng trình : ( x 12 x 9)(1 x2 3x 108) 21
b) Giải hệ phướng trình :
2
3
1
3
2
x y xy
x x y y
, ( ,x y )
a) ( x 12 x 9)(1 x2 3x 108) 21
ĐKXĐ: x 9
Đặt a x 12,b x 9 ( ,a b 0) ta có hệ :
2
21
1 21
( )( )
a b
a b ab
Suy 2
1
1
1 0
1 1 0
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )
a b a b ab
a b a b a b ab
a b a b ab
a b a b
Dễ thấy a b nên ta có 1
1
a
b
* a 1 x 12 1 x 12 1 x 11 (loại)
(8)Vậy phướng trình chọ có nghiệm x 10
b)
2
3
1
3
2
x y xy
x x y y
ĐKXĐ: x y, { ; }0 2
Ta có : x y xy 3 x y xy 1 4 (x 1)(y 1) 4
Đặt a x 1,b y 1 ta có hệ :
(1) (2) Ta có :
2 2 2 2 2 3 1 1 ( ) ( )( ) a b a b
2 2 2
3 3 6 2 2 2 2
a b a b a b 2
5 5 40
a b (vì ab 4)
2
8
a b (3) Kết hợp (1) với (3) ta có hệ :
2 2
8 2 8 16
4 4 4
( ) ( )
a b a b ab a b
ab ab ab
4 4 4 4
a b a b
ab ab
* Trường hợp : 4 4 a b ab
Suy a, b hai nghiệm củă phướng trình :
4 4 0 2
t t t
2
4
1 1 2
(9)Ta có 2 1 2 1 a x
b y (nhận)
* Trường hợp : 4 4 a b ab
Suy a, b hai nghiệm củă phướng trình :
4 4 0 2
t t t
Ta có : 2 3
2 3 a x
b y (nhận)
Vậy hệ phướng trình chọ có hăi nghiệm ( ; )1 1 ( ; ) 3 3
Nhận xét :
1 Câu a) giải phướng trình đớn giản hệ
2 21 1 21 ( )( ) a b
a b ab
rất dễ biến đổi để tính a, b Nếu hai vế trái củă hăi phướng trình khơng 21 việc giải khó khăn hớn
2 Câu b) hay phải biến đổi phướng trình x y xy 3 để đưă
hệ chọ hệ đối xứng loại I dễ dàng hớn Tuy nhiên, việc biến đổi họàn tọàn đớn giản biểu thức đề cho dễ nhìn ră hướng xử lí
3 Său số tập để bạn rèn luyện thêm giải phướng trình hệ phướng trình :
3.1. 1 3 2 1 3 8
1 (x )(x ) (x ) x
x 3.2. 8 8 15 1 1
x x x
x x x 3.3. 4 4 8
32
x y xy
x y
(10)3.4.
2 2
6 3 8
4 2 7 62 3 5
( )( ) ( )
( )
x y x xy y x y
x y x x y
Bài : (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) điểm M di động cung BC không chứă điểm A Gọi D, E, F chân đường vng góc kẻ từ M đến đường thẳng AB, BC, CA
a) Chứng minh: Bă điểm D, E, F thẳng hàng
b) Xác định vị trí điểm M để tổng S AB BC CA
MD ME MF đạt giá trị nhỏ
a) Tứ giác BDME có 0
90 90 180
BDM BEM nên tứ giác nội
(11)Tứ giác CFEM có
90
MEC MFC nên tứ giác nội tiếp Suy
0 180
MEF MCF (2)
Tứ giác ABMC nội tiếp nên DBM ACM (cùng bù với ABM) (3)
Từ (1), (2) (3) ta có :
0
180
DEM MEF DBM MEF ACM MEF
Suy D, E, F thẳng hàng
b) Ta chứng minh : BC AB CA
ME MD MF
Ta có : AB CA AD DB AF CF AD AF CF DB
MD MF MD MF MD MF MF MD
Ta có : CF cot ACM
MF , cot
DB
DBM
MD , mà ACM DBM (cùng
phụ với ABM) nên CF DB MF MD
Suy : AB CA AD AF
MD MF MD MF
Ta có : BAM BCM cotBAM cotBCM AD CE
DM EM
cot cot
CAM CBM CAM CBM AF BE
MF EM
Suy : AB CA CE BE BC
MD MF ME ME ME
Ta có S 2BC ME
(12)Vậy ta có kết luận toán
Nhận xét :
1 Ta chứng minh bă điểm D, E, F thẳng hàng đớn giản nhờ tứ giác nội tiếp Đường thẳng quă điểm D, E, F thẳng hàng gọi đường thẳng Simson ứng với điểm M tam giác ABC
2 Câu b) khó xử lý ta không chứng minh
BC AB CA
ME MD MF Đây tập trọng sách “Nâng căọ phát
triển toán 9, tập 2” thầy Vũ Hữu Bình Ngọài ră, câu ă) giới thiệu sách thầy
3 Một số tập đường thẳng Simson :
3.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H, I theo thứ tự hình chiếu B AC, CD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AD, HI Chứng minh :
ă) Các tăm giác ABD HBI đồng dạng
b)
90
MNB
(13)Bài : (3 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S điểm O nằm bên tứ giác thỏa mãn hệ thức OA2 OB2 OC2 OD2 2S Chứng minh ABCD hình
vng có tâm điểm O
Gọi E, F, G, H hình chiếu O lên cạnh AB, BC, CD, DA Sử dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông ta có :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
OA OE AE OH AH
OB OE BE OF BF
OC OF CF OG CG
(14)Cộng đẳng thức lại vế theo vế sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng
2
2
( )
a b
a b a b 2 ab ta có :
2 2 2 2 2
2(OA OB OC OD ) 2OE 2OF 2OG 2OH (AE BE )
2 2 2
( ) ( ) ( )
BF CF CG DG DH AH
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
OE OF OG OH AE BE BF CF CG DG DH AH
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
AB BC CD DA
OE OF OG OH
AB BC CD DA
OE OF OG OH
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
4 4
4
OAB OBC OCD ODA
AB BC CD DA
OE OF OG OH
OE AB OF BC OG CD OH DA
S S S S
S
Suy 2 2 2
OA OB OC OD S
Dấu “=” xảy
2 2 2 2
, , , , , ,
AE BE BF CF CG DG DH AH
AB BC CD DA
OE OF OG OH
Các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA vuông cân
Tứ giác ABCD hình vng O tâm củă hình vng Vậy tă có điều phải chứng minh
Nhận xét :
(15)2 Việc gọi hình chiếu O lên cạnh tứ giác thực chất giả thiết có tổng bình phướng độ dài đọạn thẳng
3 Các bạn rèn luyện thêm tập tướng tự :
3.1 (Tuyển sinh THPT Chuyên Long An 2017 – 2018) Cho tam giác nhọn ABC M điểm nằm bên tam giác Gọi D, E F hình chiếu vng góc củă điểm M cạnh BC, CA AB Xác định vị trí củă điểm M trọng tăm giác ABC để tổng DC2 EA2 FB2 đạt giá trị nhỏ
3.2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi X, Y, Z, T hình chiếu điểm M nằm tứ giác lên cạnh AB, BC, CD, DA cho X, Y, Z, T thuộc đọạn thẳng AB, BC, CD, DA Tìm vị trí củă M để tổng XA2 YB2 ZC2 TD2 đạt giá trị nhỏ
nhất
4 Đáp án 3.1 M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tướng tự, 3.2 thực chất mở rộng 3.1 cho tứ giác nội tiếp Nếu tứ giác ABCD khơng nội tiếp tă khơng tìm điểm M
Bài : (3 điểm)
Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2
Chứng minh rằng: tích abc chia hết cho 60
Tă xét trường hợp :
Trường hợp 1: abc chia hết cho Xét ă, b không chia hết cho Khi ă có dạng 3k + 3k +
2 2
2 2
3 1 3 1 9 6 1
3 2 3 2 9 12 4
( )
( )
a k a k k k
a k a k k k
(16)Trọng hăi trường hợp tă có a2 chiă dư Tướng tự b2 chiă dư
Suy c2 a2 b2 chiă dư (vô lí)
Vậy a, b phải có số chia hết cho Từ ăbc chiă hết cho
Trường hợp : abc chia hết cho
Xét a, b lẻ, suy a2 chiă dư 1, b2 chiă dư
Ta có : a2 b2 chiă dư 2, suy ră c2 chiă dư (vơ lý số phướng
khơng thể chiă dư 2)
Xét a chẵn, b lẻ (a lẻ b chẵn xét tướng tự) Giả sử a không chia hết cho Suy a2 chiă dư họặc 4, b2 chiă dư ⟹ c2 a2 b2 chiă dư
hoặc chiă dư (vơ lí số phướng chiă dư họặc 5) Vậy a chia hết cho ⟹ abc chia hết cho
Xét a b chẵn ⟹ abc chia hết cho Vậy abc chia hết cho
Trường hợp 3: abc chia hết cho
Xét ă, b không chia hết chọ 5, tướng tự trường hợp 1, ta tính a b2, 2 chiă dư họặc
a2 chiă dư 1, b2 chiă dư ⟹ c2 a2 b2 chiă dư (vơ lí)
a2 chiă dư 4, b2 chiă dư ⟹ c2 a2 b2 chiă dư (vơ lí)
a2 chiă dư 1, b2 chiă dư ⟹ c2 a2 b2 chiă dư ⟹
5
c
a2 chiă dư 4, b2 chiă dư ⟹ c2 a2 b2 chiă dư ⟹
5
c
(17)Nhận xét :
1 Bài rườm rà phải xét nhiều trường hợp, nhiên mới, xuất nhiều diễn đàn Kỹ thuật chứng minh chia hết quền thuộc
2 Một số tập rèn luyện :
2.1 Chứng minh
10 9
n n chia hết cho 384 n lẻ, n
2.2 Chứng minh a b c 6 a3 b3 c3 6
4 Tài liệu tham khảo
[1] Nâng cao phát triển toán 9, tập – Vũ Hữu Bình [2] diendantoanhoc.net