111Equation Chapter Section 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VỊNG Năm học 2020-2021 Mơn : TỐN Câu (6,0 điểm) 2 1) Giải phương trình : x 20 x 28 3 x 15 x 20 2) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 0 Chứng minh x3 y z 3xyz 3) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện a b 3 b c c a 378 Tính giá trị biểu thức A a b b c c a Câu (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện : a b c chia hết cho 12 Chứng minh P a b b c c a 5abc chia hết cho 12 2) Có tồn hay khơng số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện : x3 y z x y z 2020 Câu (3,0 điểm) x y 3x y 2 0 x , y y x y x 1) Cho hai số thực dương Chứng minh rằng: 2) Cho số thực x thỏa mãn x Tìm GTNN biểu thức : 100 A 2021 2 x x Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK , BD, CE cắt H 1) Chứng minh : BD.BH BC.BK BH BD CH CE BC 2) Chứng minh BH AC.cot ABC 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD, CE Q, P Chứng minh MP MQ Câu (1,0 điểm) Trên bảng, ngưởi ta viết số tự nhiên liên tiếp từ 1đến 100 sau thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa số a, b bảng viết số a b lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối lại bảng ? Tại ? ĐÁP ÁN Câu 1) Giải phương trình : x 20 x 28 3 x 15 x 20 2 t x x 7, t x x t Đặt ĐKXĐ: x Phương trình trở thành : 2t 3t t 1 3t 2t 0 t 1 3t 1 0 t 0( ktm) x 2 t 1 x x 1 x x 0 x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S 2;3 2) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 0 Chứng minh x3 y z 3xyz Ta có : x y z 0 z x y VT x3 y z x3 y x y 3xy x y 3xyz VP(dfcm) 3) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện a b 3 b c c a 378 Tính giá trị biểu thức A a b b c c a Đặt a b x, b c y , c a z x y z 0 3 Ta có : x y z 378 xyz 378 xyz 126 Do x, y , z số nguyên có tổng xyz 126 xyz nên x x x x x 9 x 9 y 7; y 9 ; y 2; y 9 ; y 7; y z 9 z z 9 z z z Câu 1) Ta có : P a b b c c a 5abc a b c ab bc ca 6abc * Do a b b c c a a b c ab bc ca abc Giả sử a, b, c chia dư a b c chia dư (1) Mà a b c12 a b c2 (theo giả thiết) (2) Do (1) (2) mâu thuẫn nên điều giả sử sai Trong ba số a, b, c có số chia hết cho 6abc12 ** Từ (*) (**) suy P12 2) Ta có x x x x 1 x 1 3 Tương tự ta có: y y3, z z3 x x y y z z 3 x Biến đổi phương trình thành x y y z z 2020 Vậy không tồn ba số nguyên x, y , z thỏa mãn điều kiện : mà 2020 3 x3 y z x y z 2020 Câu x y x y xy x y 2 0 y x xy xy 1) Ta có : với x, y x y x y x y x y 0; 1 1 0 y x y x y x y x x y 3x y 2 2 0 y x y x 100 100 2021 36 x 36 x 1949 2 x x 2 x x 2) Ta có : Mà x x A Áp dụng BĐT: a b 2 ab với a, b 0 , dấu " " xảy a b, ta có : 100 36 x 120 x x x 36 x 24 x 3 100 100 A 2021 36 x 36 x 1949 2093 2 x x 2 x x Min A 2093 x Vậy Câu P A D Q E H B K M C 1) Chứng minh BH BD BC.BK BH BD CH CE BC Xét BHK BCD có: KBH chung ; BKH BDC 90 BH BK BC BD BH BD BC BK CH KC CHK ∽ CBE CH CE BC CK BC CE Cmtt Cộng vế với vế hai đẳng thức ta : BH BD CH CE BC.BK BC.KC BHK ∽ BCD ( g g ) hay BH BD CH CE BC BK KC BC 2) Chứng mnh BH AC.cot ABC BEH ∽ CEA( g g ) Chứng minh Xét BEC vuông E BH BE CA CE BE BH BE cot ABC BH AC.cot ABC CE CA CE 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD, CE Q P Chứng minh : MP MQ cot ABC PA AH AM MB Chứng minh QA AH QAH ∽ MAC ( g g ) AM MC Chứng minh QA PA MB MC ( gt ) AM AM PA QA QMP cân M MP MQ Do PAH ∽ AMB ( g g ) Câu Tổng tất số ban đầu bảng S 1 99 100 5050 Qua bước ta thấy tổng giảm Lúc đầu tổng S 5050 , sau 99 bước số lại 5050 2.99 4852