111Equation Chapter Section 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VỊNG NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN 2x2 x x 0 A x x 2x x x 2 Câu (6,0 điểm) Cho biểu thức 2x A x 1) Chứng minh 2) Tính giá trị biểu thức A biết x x Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau : 1) 5 x x 5x 2 2) x x x 2 x x x Câu (3,0 điểm) 1) Cho a tích 2020 số nguyên tố Chứng minh a 1 khơng số phương 2 x , y x x 38 y 2) Tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB AC Kẻ đường cao AH H BC , phân giác AM M BC Kẻ ME vng góc với AB E, MF vng góc với AC F 1) Cho AB 9cm, AC 12cm Tính độ dài đoạn thẳng BC AH 2) Chứng minh BE.BA BH BM HE tia phân giác góc AHB BE HB CF HC 3) Chứng minh Câu (1,0 điểm) 3 1) Cho a, b số thực dương Chứng minh a b ab a b 2) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 2020 5b3 a 5c b3 5a c A ab 3b bc 3c ca 3a Tìm giá trị lớn biểu thức ĐÁP ÁN Câu 2x A x 1) Chứng minh 2x2 x A x x x 2x x2 x x 2 x2 x x x x2 2 x 2 x 2 2x x2 2x dfcm x2 x x 2 x 2x 4 2) Tính giá trị biểu thức A biết x x 1 Xét phương trình : x x 1 1 x 0 x , ta có phương trình x x x 2(tm) +Th1: x x x 3 x x +Th2: 4 15 S 2; x A Kết hợp với ĐKXĐ: Vậy Câu 2.Giải phương trình sau : x 2 1) x x x x 2; x x x x x 3 5 1 1 5 1 5 x x 2 x 2 x 3 x x 3 x 3 x x x 3 x x 0 x 1(tm) x 2(ktm) Vậy S 1 2 2) x x x 2 x x x 2 x x x x x x 0 2 x x x 0 x 0 x 0 x 4 Vậy S 4 Câu 1) Cho a tích 2020 số nguyên tố Chứng minh a 1 khơng số phương Vì 2020 số nguyên tố có số nguyên tố chẵn nên a chẵn a không chia hết cho (1) Suy a số lẻ Giả sử a số phương 2 2) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện x x 38 y x x 38 y x x 19 y x 1 3 y * 2 Ta thấy x 1 2 y 2 y số lẻ 2 Ta lại có: y 0 y 7 Do y 1 y 1 Lúc x 1 18 x1 2; x2 x; y 2;1 ; 2; 1 ; 4;1 ; 4; 1 Vậy Câu A F E B C H M 1) Cho AB 9cm, AC 12cm Tính độ dài đoạn thẳng BC AH Ta có : AH BC AB AC 2.S ABC * 2 Xét tam giác ABC vng A có : AB AC BC 2 BC 12 225 BC 225 15 cm Suy Thay vào * ta có : AH 15 9.12 AH 7, cm 2) Chứng minh BE.BA BH BM HE tia phân giác góc AHB Xét BHA BEM có : EBM chung, BEM BHA 90 BE BM BH BA BE.BA BH BM BHA Suy đồng dạng với BE BM BA Xét BEH BMA có: EBH chung, BH BEH ∽ BMA BHE BAM 45 Mà BHA 90 BHE EHA 45 BEM g.g Suy HE tia phân giác AHB dfcm BE HB CF HC 3) Chứng minh : Chứng minh : AEM AFM EAF 90 tứ giác AEMF hình chữ nhật Mà AM phân giác EAF nên tứ giác AEMF hình vng Do AE AF BE BH AHB cmt 1 EA AH Xét ABH có HE phân giác AF AH 2 CF HC Chứng minh tương tự : HF tia phân giác AHC 1 , Từ Câu BE AF BH AH BE BH Do AE AF (dfcm) EA CF AH HC CF HC 3 1) Cho a, b số thực dương Chứng minh a b ab a b 3 3 Ta có : a b ab a b a b ab a b 0 a b a ab b ab a b 0 a b a ab b ab 0 a b a b 0 (Luôn với a, b dương) 3 Vậy a b ab a b 2) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 2020 Tìm giá 5b3 a 5c3 b3 5a c3 A 2 ab b bc c ca 3a trị lớn biểu thức 5b3 a 2b a ab b Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Ta có : 5b3 a 2b a 5b3 a 2b a ab 3b ab 3b 5b3 a 2b a ab 3b 5b3 a 2ab a 2b 6b3 3ab ab a 2b a b3 a b3 ab a b Đã chứng minh ý Dấu " " xảy a b 5b3 a 5c b3 5a c3 2b a 2c b; 2a c 2 ca 3a Vậy ab 3b Chứng minh tương tự: cb 3c Vậy A 2b a 2c b 2a c a b c 2020 Max A 2020 a b c 673 Vậy