TOÁN HỌC VD – VDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 - ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – TP-HCM NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: Tốn HỌC HỎI -C HỎI -I - CHIA SẺ KIẾNN THỨCC Câu 1: (4 điểm) Giải phương trình Câu 2: log x log3 x log 2018 x 2015 log 2019 x 2016 (4 điểm) f x x 3x Cho hàm số a 2018log2019 b Câu 3: Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 1 ; f log 2018 a f log 2019 b Tính log 2019 a b (4 điểm) Cho hàm số y x 1 có đồ thị C C có hồnh độ Xét điểm M di chuyển m 1;1 Câu 4: C M cắt C hai điểm A, B phân biệt khác M Tìm giá Tiếp tuyến trị lớn tung độ trung điểm I đoạn thẳng AB (5 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng cân A với BC 2a ABC trùng với trung điểm BC Biết diện tích tứ hình chiếu A ' lên mặt phẳng giác BCC ' B ' 6a a) Tính theo a thể tích hình lăng trụ cho ABC b) Tính theo a thể tích hình trụ nhỏ có hai đáy nằm hai mặt phẳng , Câu 5: A ' B ' C ' chứa toàn trụ cho bên (3 điểm) a, b, c 1; 10 thỏa mãn a b log a b log b c 5log c a 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 log a c 5log c b 10log b a Cho số thực HẾT TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 TOÁN HỌC VD - VDC HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – TP -HCM - NĂM HỌC 2020-2021 HỌC HỎI -C HỎI -I - CHIA SẺ KIẾNN THỨCC Câu 1: Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) (4 điểm) Giải phương trình log x log3 x log 2018 x 2015 log 2019 x 2016 Lời giải ĐK: x Ta có: log x log x log 2018 x 2015 log 2019 x 2016 log x log x log 2018 x 2015 log 2019 x 2016 0 Đặt f x log x log x log 2018 x 2015 log 2019 x 2016 D 0; Tập xác định 1 1 f x x ln x 2016 ln 2019 x ln x 2015 ln 2018 x 2016 ln 2019 x ln x 2015 ln 2018 x ln 0, x x x 2016 ln 2019.ln x x 2015 ln 2018.ln f x 0; đồng biến Suy phương trình có tối đa nghiệm, mà Vậy phương trình có nghiệm x 3 Câu 2: f 3 0 (4 điểm) Cho hàm số f x x 3x a 2018log2019 b hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 1 ; f log 2018 a f log 2019 b Tính log 2019 a b Lời giải Xét hai số u v 0 đặt u v t với t Ta có f u f v u 3u v 3v v t v 3t 3vt 3v 2t t 3t 3vt 3v 2t t 3t t 3t t 1 t Vì v 0 nên f u f v Do ta ln có đẳng thức xảy u 1, v 0 log 2019 b 1 log 2018 a log 2019 b 0 Mà a 2018 Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HỌC VD – VDC Lại có f log 2018 a f log 2019 b f log 2018 a f log 2019 b log 2018 a 1 log 2019 b 0 Vậy Câu 3: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 suy a 2018 b 1 log 2019 a b 1 (4 điểm) y x 1 Cho hàm số có đồ thị C C có hồnh độ Xét điểm M di chuyển m 1;1 C M cắt C hai điểm A, B phân biệt khác M Tìm giá Tiếp tuyến trị lớn tung độ trung điểm I đoạn thẳng AB Lời giải M m; m2 1 , m 1;1 Ta có: 2 y 4 x x 1 y m 4m m 1 y 4m m 1 x m m 1 C M Phương trình tiếp tuyến là: y 4m m2 1 x 3m4 2m C : Xét phương trình hồnh độ giao điểm x 2 1 4m m 1 x 3m 2m x x 4m m 1 x 3m 2m2 0 x m Ta có: x x m 2mx 3m 0 2 x 2mx 3m 0 * ' * 2m 0, m 1;1 m 2m.m 3m 0 2m 0, m 1;1 Đồng thời: Với m 1;1 , phương trình * ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác m Khi đó, giả sử A x1 ; x12 1 , B x2 ; x22 1 x1 x2 2m x x 3m Theo Vi – et: Tung độ trung điểm I đoạn thẳng AB 2 1 k x12 1 x22 1 x14 x24 x12 x22 2 2 k x12 x22 x12 x22 x1 x2 x1.x2 2 2 k x1 x2 x1.x2 x12 x22 x1 x2 x1.x2 2 TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 k 4m 3m TOÁN HỌC VD - VDC 3m 4m 3m2 k m 6m 1, m 1;1 m 0 k 28m 12m 0 m Có Bảng biến thiên Câu 4: 16 max k k 1;1 7 Vậy (5 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân A với BC 2a ABC trùng với trung điểm BC Biết diện tích tứ hình chiếu A ' lên mặt phẳng giác BCC ' B ' 6a a) Tính theo a thể tích hình lăng trụ cho ABC b) Tính theo a thể tích hình trụ nhỏ có hai đáy nằm hai mặt phẳng , A ' B ' C ' chứa toàn trụ cho bên Lời giải a) Tính theo a thể tích hình lăng trụ cho Trang TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎI TỐN HỌC VD – VDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 Gọi M trung điểm BC MA MB MC BC a ABC Suy M hình chiếu A ' lên mặt phẳng A ' M ABC A ' M BC Mà AM BC ( ABC tam giác vuông cân A ) AA ' M BC AA ' BC AA '/ / BB ' nên BB ' BC BCC ' B ' hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật BCC ' B ' 6a S BCC ' B ' BB '.BC BB '.2a 6a BB ' 3a AA ' BB ' CC ' 3a Ta có: A ' M ABC A ' M AM AA ' M vuông M A ' M AA '2 AM 3a a 2 2a ABC tam giác vuông cân A với BC 2a AB AC a S ABC a Thể tích lăng trụ là: VABC A' B ' C ' S ABC A ' M a 2a 2 2a b) Tính theo a thể tích hình trụ nhỏ có hai đáy nằm hai mặt phẳng ABC , A ' B ' C ' chứa toàn trụ cho bên TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 TOÁN HỌC VD - VDC ABC suy ABC A ' B ' C ' MNP Gọi N , P hình chiếu B ', C ' lên mặt phẳng NP a Gọi I trung điểm NP ; AI AM MI 2a ABC , A ' B ' C ' chứa tồn * Hình trụ nhỏ có hai đáy nằm hai mặt phẳng trụ cho bên mặt đáy hình trịn qua tam giác ANP IM IN IP Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP O AI NP Đặt OA x OI 2a x OA2 ON x a 2a x 5a 4ax 0 x 5a 25 a 5a 16 Diện tích đường trịn đáy là: Thể tích hình trụ là: Câu 5: S O A ' M 25 a 25 2 a3 2a 16 (3 điểm) a, b, c 1; 10 thỏa mãn a b log a b log b c 5log c a 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 log a c 5log c b 10log b a Cho số thực Lời giải Đặt x log a b; y log bc; z log c a Nhận xét: a, b, c 1; Vì suy x, y , z (1) x y.z log a b.log b c.log c a x y.z log a a x y.z 1 (2) 10 10 Vì a b suy x log a b log a a x 10 (3) log a b log b c 5log c a 12 x y z 12 (4) 10 100 90 P z y x z y x x Ta có: 100 , , Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương z y x ta có: 100 1000 100 3 30 z y x xyz z y x (theo nhận xét (2)) x 10 Mặt khác theo (3): Suy ra: P 30 P 21 Vậy Pmin 21 Trang 90 90 9 x x TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HỌC VD – VDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 x y.z 1 100 x z y x y z 12 Dấu " " xảy log a b 10 10 log b c b c a log c a Suy x 10 y z HẾT TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang