Đề thi hsg toán 12 tp hcm (2) năm học 2020 2021

TOÁN HỌC VD – VDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 - ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – TP-HCM NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: Tốn HỌC HỎI -C HỎI -I - CHIA SẺ KIẾNN THỨCC Câu 1: (4 điểm) Giải phương trình Câu 2: log  x    log3 x log 2018  x  2015   log 2019  x  2016  (4 điểm) f  x  x  3x Cho hàm số a  2018log2019 b Câu 3: Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 1 ; f  log 2018 a    f  log 2019 b  Tính log 2019  a  b  (4 điểm) Cho hàm số y  x  1 có đồ thị  C  C  có hồnh độ Xét điểm M di chuyển m    1;1 Câu 4:  C  M cắt  C  hai điểm A, B phân biệt khác M Tìm giá Tiếp tuyến trị lớn tung độ trung điểm I đoạn thẳng AB (5 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng cân A với BC 2a  ABC  trùng với trung điểm BC Biết diện tích tứ hình chiếu A ' lên mặt phẳng giác BCC ' B ' 6a a) Tính theo a thể tích hình lăng trụ cho  ABC  b) Tính theo a thể tích hình trụ nhỏ có hai đáy nằm hai mặt phẳng , Câu 5:  A ' B ' C ' chứa toàn trụ cho bên (3 điểm) a, b, c   1;  10 thỏa mãn a b log a b  log b c  5log c a 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 log a c  5log c b  10log b a Cho số thực HẾT TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 TOÁN HỌC VD - VDC HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – TP -HCM - NĂM HỌC 2020-2021 HỌC HỎI -C HỎI -I - CHIA SẺ KIẾNN THỨCC Câu 1: Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) (4 điểm) Giải phương trình log  x    log3 x log 2018  x  2015   log 2019  x  2016  Lời giải  ĐK: x   Ta có: log  x    log x log 2018  x  2015   log 2019  x  2016   log  x    log x  log 2018  x  2015   log 2019  x  2016  0 Đặt f  x  log  x    log x  log 2018  x  2015   log 2019  x  2016  D  0;    Tập xác định 1 1 f  x       x   ln  x  2016  ln 2019 x ln  x  2015  ln 2018  x  2016  ln 2019   x   ln   x  2015  ln 2018  x ln  0, x   x    x  2016  ln 2019.ln x  x  2015  ln 2018.ln  f  x  0;  đồng biến  Suy phương trình có tối đa nghiệm, mà  Vậy phương trình có nghiệm x 3 Câu 2: f  3 0 (4 điểm) Cho hàm số f  x  x  3x a  2018log2019 b hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 1 ; f  log 2018 a    f  log 2019 b  Tính log 2019  a  b  Lời giải  Xét hai số u  v 0 đặt u v  t với t  Ta có f  u   f  v  u  3u  v  3v  v  t   v  3t 3vt  3v 2t  t  3t 3vt  3v 2t  t  3t t  3t    t  1  t     Vì v 0 nên f u  f  v    Do ta ln có   đẳng thức xảy u 1, v 0 log 2019 b 1  log 2018 a  log 2019 b 0  Mà a  2018 Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HỌC VD – VDC  Lại có f  log 2018 a    f  log 2019 b   f  log 2018 a   f  log 2019 b   log 2018 a 1   log 2019 b 0 Vậy Câu 3: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 suy a 2018  b 1 log 2019  a  b  1 (4 điểm) y  x  1 Cho hàm số có đồ thị  C  C  có hồnh độ Xét điểm M di chuyển m    1;1  C  M cắt  C  hai điểm A, B phân biệt khác M Tìm giá Tiếp tuyến trị lớn tung độ trung điểm I đoạn thẳng AB Lời giải   M m;  m2  1 , m    1;1 Ta có: 2 y 4 x  x  1  y m  4m  m  1 y 4m  m  1  x  m    m  1 C   M Phương trình tiếp tuyến là:  y 4m  m2  1 x  3m4  2m   C : Xét phương trình hồnh độ giao điểm  x 2  1 4m  m  1 x  3m  2m   x  x  4m  m  1 x  3m  2m2 0   x  m  Ta có: x  x m  2mx  3m   0   2  x  2mx  3m  0  *  ' *  2m   0, m    1;1 m  2m.m  3m  0  2m  0, m    1;1  Đồng thời:  Với m    1;1 , phương trình  * ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác m  Khi đó, giả sử    A x1 ;  x12  1 , B x2 ;  x22  1   x1  x2 2m  x x 3m   Theo Vi – et:   Tung độ trung điểm I đoạn thẳng AB 2 1 k    x12  1   x22  1    x14  x24    x12  x22    2  2  k    x12  x22   x12 x22     x1  x2   x1.x2         2 2  k    x1  x2   x1.x2  x12 x22     x1  x2   x1.x2     2   TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI  Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021  k   4m   3m      TOÁN HỌC VD - VDC   3m      4m   3m2       k  m  6m  1, m    1;1  m 0 k   28m  12m 0    m   Có  Bảng biến thiên Câu 4:   16 max k k       1;1 7   Vậy (5 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân A với BC 2a  ABC  trùng với trung điểm BC Biết diện tích tứ hình chiếu A ' lên mặt phẳng giác BCC ' B ' 6a a) Tính theo a thể tích hình lăng trụ cho  ABC  b) Tính theo a thể tích hình trụ nhỏ có hai đáy nằm hai mặt phẳng ,  A ' B ' C ' chứa toàn trụ cho bên Lời giải a) Tính theo a thể tích hình lăng trụ cho Trang TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎI TỐN HỌC VD – VDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021  Gọi M trung điểm BC  MA MB MC  BC a  ABC   Suy M hình chiếu A ' lên mặt phẳng  A ' M   ABC   A ' M  BC Mà AM  BC ( ABC tam giác vuông cân A )   AA ' M   BC  AA '  BC  AA '/ / BB ' nên BB '  BC  BCC ' B ' hình chữ nhật  Diện tích hình chữ nhật BCC ' B ' 6a  S BCC ' B ' BB '.BC  BB '.2a 6a  BB ' 3a  AA ' BB ' CC ' 3a  Ta có: A ' M   ABC   A ' M  AM  AA ' M vuông M  A ' M  AA '2  AM   3a   a 2 2a  ABC tam giác vuông cân A với BC 2a  AB  AC a  S ABC a  Thể tích lăng trụ là:  VABC A' B ' C ' S ABC A ' M a 2a 2 2a b) Tính theo a thể tích hình trụ nhỏ có hai đáy nằm hai mặt phẳng  ABC  ,  A ' B ' C ' chứa toàn trụ cho bên TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 TOÁN HỌC VD - VDC  ABC  suy ABC A ' B ' C ' MNP Gọi N , P hình chiếu B ', C ' lên mặt phẳng NP a  Gọi I trung điểm NP ; AI  AM  MI 2a  ABC  ,  A ' B ' C ' chứa tồn * Hình trụ nhỏ có hai đáy nằm hai mặt phẳng trụ cho bên mặt đáy hình trịn qua tam giác ANP  IM IN IP   Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP  O  AI  NP  Đặt OA x  OI 2a  x OA2 ON  x a   2a  x   5a  4ax 0  x  5a 25 a  5a     16  Diện tích đường trịn đáy là:    Thể tích hình trụ là: Câu 5: S O  A ' M  25 a 25 2 a3 2a  16 (3 điểm) a, b, c   1;  10 thỏa mãn a b log a b  log b c  5log c a 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 log a c  5log c b  10log b a Cho số thực Lời giải  Đặt x log a b; y log bc; z log c a  Nhận xét: a, b, c   1;  Vì suy x, y , z  (1) x y.z log a b.log b c.log c a  x y.z log a a  x y.z 1 (2) 10 10 Vì  a b suy x log a b log a a  x 10 (3) log a b  log b c  5log c a 12  x  y  z 12 (4) 10 100 90 P       z y x z y x x  Ta có:  100   , ,   Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương  z y x  ta có: 100 1000 100   3    30 z y x xyz z y x (theo nhận xét (2)) x 10   Mặt khác theo (3): Suy ra: P 30   P 21  Vậy Pmin 21 Trang 90 90 9    x x TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HỌC VD – VDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021  x y.z 1   100     x z y  x  y  z 12  Dấu " " xảy  log a b 10   10 log b c   b c a   log c a   Suy   x 10   y     z  HẾT TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang