STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 SỞ GD &ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI HSG KHỐI 12 (Đề gồm 01 trang) NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút Họ tên: SBD: Câu (4 điểm) Cho hàm số y x x có đồ thị C đường thẳng d có phương trình y x m , m tham số Tìm m để d cắt C hai điểm phân biệt A B cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với C A B lớn Câu (5 điểm) 1) Giải phương trình cos x 1 x 2 x y xy x y 0 x y 2 x y 2) Giải hệ phương trình Câu (3 điểm) Cho dãy số an a) Chứng minh dãy số a2 a1 , an1 n ;n ¥* an an xác định an dãy số giảm lim bn b) Với số nguyên dương n , đặt bn a1 a2 an Tính x Câu (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I , có đường cao AH Gọi E hình chiếu B lên tia AI , HE cắt AC P Tìm tọa độ đỉnh H 6; ; P 11;1 M 10; tam giác ABC biết trung điểm BC 2) Cho hình lập phương ABCD ABC D Một mặt phẳng AC M , N , P , Q 1 a) Chứng minh rằng: AQ AM AN AP P cắt tia AB , AD , AA , P Chứng minh AQ AH b) Gọi H hình chiếu A lên 2 Câu (2 điểm) Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P a b c 4abc ****** Hết****** Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Câu ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT HSG 12 HÀ NỘI 2018-2019 x y x có đồ thị C đường thẳng d có phương trình y x m , m Cho hàm số C hai điểm phân biệt A B cho tổng hệ số góc tham số Tìm m để d cắt tiếp tuyến với C A B lớn Lời giải Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy 1 x y D \ y x 1 Ta có x 1 Tập xác định x x m g x 2 x m 1 x m 0 (1) Phương trình hồnh độ giao điểm x m 2m 2m m2 0, m 1 g 0, m C hai Ta có: nên đường thẳng d cắt đồ thị điểm phân biệt A , B với giá trị thực m Gọi x1 , x2 hoành độ điểm A B x1 , x2 nghiệm phương trình (1) S x1 x2 m 1 m P x1 x2 Suy tổng hệ số góc tiếp tuyến với C A x1 ; y1 B x2 ; y2 1 4S 8P S K 4m 2 x2 1 P 2S 1 x1 1 Vậy tổng hệ số góc lớn tiếp tuyến với m 0 C A B đạt Câu 2 1) Giải phương trình cos x 1 x Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang Xét hàm số f x cos x x f x sin x x f x cos x với x Ta có , f x x f x f 0 Vì đồng biến Mà suy phương trình f x 0 có nghiệm x 0 Bảng biến thiên: Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Từ bảng biến thiên suy ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 f x 0 x 0 Vậy phương trình cho có nghiệm x 0 x y xy x y 0 1 x y 2 x y 2 2) Giải hệ phương trình Lời giải Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh Điều kiện: y Từ 1 2 ta có: x y xy x y 0 x y 3 x y 3 y y 0 x y 3 y y 0 y y 0 y 1 Từ 2 x ta lại có: y 3 x y 2 x y x x y y y 0 y 0 y 0 y 1 Từ 3 3 4 4 y 1 Thay y 1 vào hệ x 2 x 2 Vậy hệ có nghiệm y 1 (thỏa mãn điều kiện) Câu Cho dãy số an a2 a1 , an1 n ;n ¥* a a n n xác định a) Chứng minh dãy số an dãy số giảm lim bn b) Với số nguyên dương n , đặt bn a1 a2 an Tính x Lời giải Tác giả: Công Phương; Fb: Nguyễn Công Phương Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 a a 1 a2 an 1 an n an 2n n a a a a n n n n a) Xét hiệu a 0, n ¥ * an2 an 1 an 1 an 0, n * Từ cách xác định dãy số ta có n Vậy an dãy số giảm an2 an 1 an a 1 an 1 1 n an an an a n b) Ta có a 1 a an 1 an 1 n n an an an an 1 an an an Suy 1 an 1 an bn a1 a2 an Lại có: Dãy số Giả sử dãy số giảm, bị chặn nên có giới hạn lim an a lim an 1 a a x 1 x a2 a 0 lim an 0 2 a2 a hay x lim bn 1 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm I , có đường cao AH Gọi E hình chiếu B lên tia AI , HE cắt AC P Tìm tọa độ đỉnh Từ Câu an 1 an 1 a1 an 1 1 2 ta có x H 6; ; P 11;1 M 10; tam giác ABC biết trung điểm BC Lời giải Tác giả: Bui Bai; Fb: Bui Bai Nhận xét: Theo giả thiết H khơng thể trùng với M ABC tam giác thường I ACF vuông C Kẻ đường kính AF đường trịn Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 Xét tứ giác AEHB có AEB AHB 90 nhìn cạnh AB Tứ giác AEHB nội tiếp đường trịn có tâm trung điểm AB ABH AEP Mà AFC ABH (cùng nhìn cạnh AC ) AFC AEP HP FC Lại có FC AC HP AC HP 5;5 5 1;1 nAC 1;1 Có Chọn P 11;1 AC AC : x y 12 0 HM 4;0 nBC 0;1 Do đường thẳng BC chứa H , M H 6; BC BC : y 0 Có C BC AC tọa độ C nghiệm hệ phương trình x y 12 0 y 0 Lại có Có M 10; x 16 C 16; y B 4; trung điểm BC AH BC nAH 1;0 H 6; AH AH : x 0 Có A AH AC tọa độ A nghiệm hệ phương trình x y 12 0 x 0 Vậy x 6 A 6;6 y 6 A 6;6 ; B 4; ; C 16; 2) Cho hình lập phương ABCD ABC D Một mặt phẳng AC M , N , P , Q 1 a) Chứng minh rằng: AQ AM AN AP P cắt tia AB , AD , AA , P Chứng minh AQ AH b) Gọi H hình chiếu A lên Lời giải Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu a) Theo quy tắc hình hộp ta có: AD AC AB AA AQ AM AN AP AQ AM AN AP AC AB AD AA Ta có AC đường chéo hình lập phương ABCD ABC D AB AD AA AC AC AB AD AA 1 AQ AM AN AP Mà M , N , P , Q đồng phẳng nên AQ AM AN AP b) Ta có AMNP tứ diện vuông 1 1 2 AH AM AN AP 1 1 2 AN AP AM AN AP Mà AM Câu 1 1 AQ AH AH AM AN AP AH AQ 2 Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P a b c 4abc Lời giải Khơng tính tổng qt giả sử a b c từ Mặt khác: 2bc b c 1 a 2bc 1 a b c 3a a bc 3 Ta có: 2 2 P a 4bc b c 1 a b c 4bc 1 2bc 4bc 1 a b c * Dấu xảy bc Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC – TỔ 10 Đặt t bc t ĐỀ THI HSG 12 – HÀ NỘI 2018-2019 2 3 Suy P 2t 16t 8t 32t 4t t 1 12 f t 32t 4t 2, t 0; ; f t 96t 0 3 l t 12 Xét hàm số 50 f 2; f ; f 27 6 1, 4556 12 b 0 t 0 c 0 * Suy GTLN f t 2 a c a b 2 a b Kết luận: max P , đạt c 0 , hốn vị Địa truy cập https://facebook.com/groups/900248096852019?ref=share Trang