Đề thi hsg toán 12 tp hcm (1) năm học 2019 2020

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ n nt năm 2019-Tổ 1 ĐỀ HSG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN (NGÀY THI THỨ NHẤT) TIME: 180 PHÚT Câu Bài  an  xác định a1 3 , a2 7 an 2 3an 1  an với n 1, 2,3, a 142 a12 a22    nn  , n 1, 2,3, a) Chứng minh 7 1 bn     a1a2 a2 a3 an an 1 Chứng minh dãy số  bn  có giới hạn b) Với n 1 , đặt hữu hạn n   tìm giới hạn P  x  x  3x Cho đa thức bậc ba a) Chứng minh tồn số thực a, b, c đôi phân biệt cho (5 điểm) Xét dãy số P  a  b, P  b  c, P  c  a b) Giả sử tồn số thực P   bi , P  bi  ci , P  ci  ai Bài  , bi , ci  với i 1,3 gồm số đôi phân biệt cho với i 1, Đặt Si ai  bi  ci với i 1, 2 Chứng minh S1  S2  S3 S1.S  S2 S3  S3 S1 ( điểm)  O  cố định Gọi M trung Cho AB dây cố định khác đường kính đường trịn  O thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng AB tiếp xúc điểm cung nhỏ AB Xét đường tròn  O  ( cho O khác phía với M so với đường thẳng AB ) Các đường thẳng qua với M vng góc với OA , OB cắt đường thẳng AB điểm C , D a) Chứng minh AB 2CD  O cho ATB 90 Tiếp tuyến  O T cắt đoạn AB b) Gọi T điểm thuộc  O  K khác M Vẽ đường tròn qua M , K tiếp xúc N đường thẳng MN cắt với  O  O S Chứng minh điểm S di động đường tròn cố định thay đổi Câu Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, hai điểm nguyên (hoành độ   tung độ số A , B A , B nguyên) gọi “thân thiết” với khác O  OA OB 1 với O gốc tọa độ x 19, y 19 a) Hỏi có tất điểm nguyên M ( x, y ) với thỏa mãn điểm M điểm N (3; 7) “thân thiết” với nhau? b) Hỏi có nhiều điểm nguyên đôi “thân thiết” với nhau? Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ n nt năm 2019-Tổ 1  HẾT  GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN(NGÀY THI THỨ NHẤT) TIME: 180 PHÚT Câu (5 điểm) Xét dãy số  an  xác định a1 3 , a2 7 an 2 3an 1  an với n 1, 2,3, a 142 a12 a22    nn  , n 1, 2,3, a) Chứng minh 7 1    a1a2 a2 a3 an an 1 Chứng minh dãy số  bn  có giới hạn b) Với n 1 , đặt hữu hạn n   tìm giới hạn bn  Lời giải Tác giả: Hà Lê , Phạm Thị Phương Thúy; Fb: Ha Le , thuypham Kiến thức sử dụng: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân dạng: u1  , u2  , aun 1  bun  cun  f  n  với n  * Nếu 1 , 2 hai nghiệm thực khác n n un  A1  B2 , A, B xác định biết u1 , u2 Ta có: an 2 3an 1  an  an2  3an 1  an 0 a  Xét phương trình đặc trưng dãy n x 2  x  3x  0 với hai nghiệm x 1  3 , 3 thỏa mãn 1  2 3 , 12 1 n n Khi ta có an  A1  B2 a  A1  B2  A1  B2 3 Với n 1 ta có  1 a  A12  B22  A12  B22 7 Với n 2 ta có  2 n n Từ (1) (2) suy A 1, B 1 an 1  2 n 1 n n n n  12   22  an2  1  2          n , n 1 n n 7     Ta có Đặt 1  12 2 an2 n n , 2       , n 1     1,    2 n  ,   0;1 7 Có   49 , 7n Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ n nt năm 2019-Tổ 1 n n 2 a a a  2     1  12   1n       22    2n       n  7  7 Ta có 7     142        1  1    1   3 1 n 1 (đpcm) b) Trước hết ta chứng minh an an 2  an 1 5 với n 1 (bằng phương pháp quy nạp) Với n 1 mệnh đề Giả sử mệnh đề cho với n k  k  , k  1 , ta có ak ak 2  ak21 5 Ta chứng minh mệnh đề với n k  Thật vậy: ak 1ak 3  ak22 ak 1  3ak 2  ak 1   ak22 ak 2  3ak 1  ak 2   ak21 ak 2 ak  ak21 5 (đpcm) 1 ai 2  ai21  ai 1       , i 1 1ai 2 1ai 2  1 2  Ta có Ta định nghĩa thêm a0 2 dãy số thỏa mãn hệ thức truy hồi n Từ bn  i 0 a  1 a a  1 n  a    i  i 1     n  , n 1 1ai 2 i 0  1 2   a1 an 1  an 3   n   a 3 n 1 Theo câu a) ta có an    , n Suy n lim n  3   53 lim bn     n   5  30 Vậy (đpcm) Bài Cho đa thức bậc ba P  x  x  3x a) Chứng minh tồn số thực P  a  b, P  b  c, P  c  a a, b, c đôi phân biệt cho b) Giả sử tồn số thực P   bi , P  bi  ci , P  ci  ai  , bi , ci  với i 1,3 gồm số đôi phân biệt cho với i 1, Đặt Si ai  bi  ci với i 1, 2 Chứng minh S1  S2  S3 S1.S  S2 S3  S3 S1 Lời giải P  a  b, P  b  c, P  c  a a) Giả sử a, b, c số thực đôi phân biệt thỏa mãn    0;   b P  a  P  cos   8cos3   cos  2 cos 3 Xét a 2 cos  với Tương tự, c P  b  P  cos 3  2 cos 9 a P  c  P  cos 9  2 cos 27 , Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ n nt năm 2019-Tổ 1 k     13  k Z    k  14 Từ ta cần có cos  2 cos 27   27  k 2 a 2 cos Vậy chọn  3 9 b 2 cos c 2 cos 13 13 , 13 ta số thực a, b, c đôi phân biệt thỏa mãn toán  , bi , ci  b) Giả sử tồn số thực P   bi , P  bi  ci , P  ci  ai với i 1,3 gồm số đôi phân biệt cho với i 1,3 Đặt Si ai  bi  ci với i 1,3 2 Chứng minh S1  S2  S3 S1.S  S2 S3  S3 S1 2 Giả sử S1  S2  S3 S1.S2  S S3  S3 S1  S1 S S3 d Q  x  x  P  x   P  P  x    d Xét đa thức Ta có: suy Q  x đa thức bậc Q  a1  a1  P  a1   P  P  a1    d a1  b1  P  b1   d a1  b1  c1  d S1  d 0 Q  b1  b1  P  b1   P  P  b1    d b1  c1  a1  d S1  d 0 Q  c1  c1  P  c1   P  P  c1    d c1  a1  b1  d S1  d 0 Q  x  0 Suy a1 , b1 , c1 nghiệm phân biệt phương trình Q  x  0 Tương tự, a2 , b2 , c2 a3 , b3 , c3 nghiệm phân biệt phương trình hay phương trình Q  x  0 có nghiệm thực phân biệt có tổng 3d Mặt khác, suy Q  x   x  x3  3x   x  3x    x3  3x  Q  x hay Q  x   x9  x  27 x5  29 x  x Q  x  0 không chứa x nên theo định lí viét phương trình có tổng  Q  x  0 P   0 nghiệm hay 3d 0  d 0 có nghiệm 0, mà mâu thuẫn với giả thiết Bài P   bi , P  bi  ci , P  ci  ai 2 Vậy S1  S  S3 S1.S  S S3  S3 S1 ( điểm)  O  cố định Gọi M trung Cho AB dây cố định khác đường kính đường trịn  O thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng AB tiếp xúc điểm cung nhỏ AB Xét đường tròn  O  ( cho O khác phía với M so với đường thẳng AB ) Các đường thẳng qua M vng góc với OA , OB cắt đường thẳng AB điểm C , D với a) Chứng minh AB 2CD Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ n nt năm 2019-Tổ 1  O cho ATB 90 Tiếp tuyến  O T cắt đoạn AB b) Gọi T điểm thuộc  O  K khác M Vẽ đường tròn qua M , K tiếp xúc N đường thẳng MN cắt với  O  O S Chứng minh điểm S ln di động đường trịn cố định thay đổi Lời giải E T O' y O K S' A C F D x N B M Lời giải  O với  O  AB a) Gọi E , F tiếp điểm Cách 1: Ta chứng minh EF qua M   Cách 1.1 Do OM // OF nên EOM EOF Do    EF 180  EOF 180  EOM OEM  O 2 Suy EF qua M Cách 1.2 Giả sử EA, EB cắt O X , Y 2 Khi đó, dễ thấy XY //AB Ta có AF  AX AE , BF BY BE nên 2 AX AE  AE  AF AE  AF         BY BE  BE  BF BE  BF  Do đó, EF phân giác AEB nên EF qua M AM FM AFM EAM    MA2 ME.MF FAM EAM  EM AM Tiếp theo, nên  O từ đẳng thức trên, ta thấy M có phương tích đến Xét đường trịn điểm A đường tròn hai đường tròn Suy MC trục đẳng phương đường trịn điểm A đường tròn  O Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ n nt năm 2019-Tổ 1 Do đó, CA CF nên CA CF Tương tự DB DF nên AB 2CD Cách 2: Ta có   CD  NC  ND NM tan NMC  NM tan NMD  AB  tan O  BA MN  OF  OF  MN tan O    FA FB  OF AB OM AB EF AB MN MO AB MN MN   FA.FB FE.FN EM ME.MF   2 b) Ta chứng minh M , S , T thằng hàng MS MT MA MB  O , S  T Cách Gọi S  giao điểm đường thẳng TM với Lúc MS .MT MF ME MA MN MK nên tứ giác NKTS  nội tiếp  O S  , ta có  xy, S M  S TN S KM suy xy tiếp Gọi xS y tiếp tuyến tuyến đường trịn  MKS  Do  MKS  tiếp xúc với  O 2 Suy S  S Suy M , S , T thẳng hàng MS MT MA MB Cách Ta thấy với điểm tương tự trên, ta có Eo   O  ; Fo  AB (2 điểm) cho Eo Fo qua M chứng minh MA2 = MB = ME o.MFo Xét phép nghịch đảo  tâm M , phương tích MA thì: AB   O  ,  O   O  O Chú ý Ảnh TN qua  đường qua M tiếp xúc với  : N  K nên ảnh TN  MSK  Suy S  T hay M , S , T thẳng hàng MS MT MA2 MB (2 điểm)     Tiếp theo, cách xét tam giác đồng giác, ta có SAM  ATS , SBM BTS nên   SAM  SBM 90       Xét tứ giác AMBS có AMB  khơng đổi tổng SAM  SBM 90 nên ASB 270   ,  chứng tỏ S thuộc cung chứa góc 270   dựng AB Ta có đpcm (1 điểm) Câu Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, hai điểm ngun (hồnh độ tung độ số   nguyên) A, B gọi “thân thiết” với A, B khác O  OA OB 1 với O gốc tọa độ x 19, y 19 a) Hỏi có tất điểm nguyên M ( x, y ) với thỏa mãn điểm M điểm N (3; 7) “thân thiết” với nhau? Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ n nt năm 2019-Tổ 1 b) Hỏi có nhiều điểm nguyên đôi “thân thiết” với nhau? Lời giải a) Ta có điều kiện  3 x  y 1 nên có ba trường hợp: (1) Nếu x  y 0 ( x, y ) (  7t ,3t ) với t   thỏa mãn Xét hệ ràng buộc sau   19  7t 19   t 2    19 3t 19 t 0 nên có tất điểm (2) Nếu 3x  y 1 ( x, y ) (   7t ,1  3t ) với t   thỏa mãn Xét hệ ràng buộc   19   7t 19   t 3    19 1  3t 19 nên có tất điểm (3) Nếu x  y  ( x, y ) (2  7t ,   3t ) với t   thỏa mãn Xét hệ ràng buộc  19 2  7t 19   t 2   19   3t 19 nên có tất điểm Vậy tổng số điểm nguyên thỏa mãn   16 2 b) Gọi điểm cho Ai ( ; bi ) với , bi  , i 1, n  bi  Ta có ak  bi bk 1 với i k Ta thấy rằng: - Có tối đa hai điểm thuộc trục Ox (1; 0) (  1;0) - Có tối đa hai điểm thuộc trục Oy (0;1), (0;  1) Ta chứng minh có khơng q điểm khơng thuộc Ox, Oy Giả sử ngược lại có ba điểm thỏa mãn đề A1 (a1 , b1 ), A2 (a2 , b2 ), A3 (a3 , b3 ) Ta có hai trường hợp: (1) Nếu có hai điểm thuộc góc phần tư, giả sử A1 , A2 số a1 , a2 dấu, số b1 , b2 dấu nên a1a2  0, b1b2   a1a2  b1b2 2 , loại (2) Nếu điểm thuộc góc phần tư phải có hai điểm thuộc hai góc phần tư đối nhau, giả sử A1 , A2 số a1 , a2 trái dấu, số b1 , b2 trái dấu nên a1a2  0, b1b2   a1a2  b1b2  , không thỏa Do đó, điều giả sử sai, tức tổng cộng có khơng q điểm thỏa mãn đề Ta có A1 (0;1), A2 (0;  1), A3 (1;0), A4 (  1; 0), A5 (1;1), A6 (  1;1) đôi “thân thiết”  HẾT  Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang