ĐỀ SỐ 04 (Đề thi HSG lớp 10, TP Đà Nẵng, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (1,5 điểm) Xác định tính chẵn – lẻ hàm số y x 10 x x 10 x Cho nửa khoảng A a; a 1 , B b; b Đặt C A B Với điều kiện số thực a b C đoạn? Tính độ dài đoạn C Câu (2,0 điểm) Tìm m để phương trình x m m có bốn nghiệm phân biệt Giải biện luận (theo tham số m) bất phương trình: m 1 x m x Câu (2,5 điểm) Giải phương trình x x 2 x x y x y 5 Giải hệ phương trình x y x y 1 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB c, AC b BAC 60 Các điểm M, N xác định MC 2MB NB NA Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vuông góc với Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA AB tam giác đó, lấy điểm A ', B ' C ' Gọi S a , Sb , Sc S tương ứng diện tích tam giác AB ' C ' , BC ' A ', CA ' B ' ABC Chứng minh bất đẳng thức S a Sb S c S Dấu đẳng thức xảy nào? Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn tâm O bán kính R ( R , R không đổi) Gọi A B điểm di động trục hoành trục tung cho đường thẳng AB tiếp xúc vưới đường trịn Hãy xác định tọa độ điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word ĐỀ SỐ 04 Câu 1 Hàm số y có tập xác định D 10;10 tập đối xứng qua điểm x 0 Kiểm tra: x D, f x f x f chẵn, f khơng lẻ (vì khơng đồng D) C b; b a; a 1 đoạn b a b a b a b Khi đó, C b; b a; a 1 b; a 1 đoạn có độ dài a b Câu Ta có: m4 m2 x m4 m2 Phương trình 2 2 x m m m m (1) (2) Từ (1) có nghiệm phân biệt với m m4 m2 Từ (2) có nghiệm phân biệt m 0 m m 1;1 \ 0 Phương trình có nghiệm phân biệt m 1;1 \ 0 m4 m2 m m m 1;1 \ 0 m4 m 0 m 1;1 \ 0 , kết luận Bất phương trình m 1 x m x x 2 0 x m 2 x 0 +) Nếu m 0 bất phương trình nghiệm với x 2 +) Nếu m0 m22 nên bất phương trình nghiệm với m22 nên bất phương trình nghiệm với x ;2 m 2; +) Nếu m0 x ; m 2; Câu Điều kiện: x 0 Phương trình x x x 0 x 1 x 1 x x x x x 0 x x x x x 16 0 x x x x x x 0 x 0 x x 0 x 0 x 1 17 17 x 7 x y 0 2 x y 0 Điều kiện http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word u x y 0 Đặt v x y 0 u v2 7v 2u u 7 x y x ; y 5 v 2 x y u v 5 u v 5 2 u v 7v 2u 5v 5 3u 8v 5v 0 Hệ phương trình trở thành: u 5 v 2 3 v 8v 5v 0 2 u 5 v 5v 25v 70 0 u 5 v (*) v 5v 14 0 u 3 v 2 Từ (*) v 2 (nhận) v (loại); nên hệ phương trình 7 x y 9 x 1 (phù hợp) 2 x y 4 y 2 MC MB AC AM AB AM AM 2 AB AC Câu Ta có: Tương tự ta có: 3CN 2CA CB AM CN AM CN AB AC 2CA CB 0 Vậy: AB AC AB AC 0 AB AC AB AC 0 Do hệ phương trình cho trở thành 2c 3b 5bc 0 4c 6b 5bc 0 2 Ta có cơng thức tính diện tích: 2Sa AC ' AB 'sin A;2 S AB AC sin A Sa AC ' AB ' AC ' AB ' (Bất đẳng thức Cauchy) S AB AC AB AC Tương tự ta có: Do đó: Sb BA ' BC ' S BC BA Sc CB ' CA ' S CA CB Sa S S AC ' BC ' BA ' CA ' CB ' AB ' b c (đpcm) S S S AB BA BC CB CA AC AC ' AB ' AB AC BA ' BC ' Dấu xảy BC BA CB ' CA ' CA CB C ' B ' || BC A ' C ' || CA B ' A ' || AB A ', B ', C ' trung điểm BC, CA, AB Câu Dựa vào tính đối xứng, ta giả sử A a;0 , B 0; b với a 0, b (*) SOAB ab http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word Mà 1 1 a b2 2 a 2b R a b 2 R ab (**) a b2 R R2 ab SOAB ab R không đổi (dấu xảy a b ) Kết hợp với (*) (**): dấu xảy a b R Vậy A R 2;0 ; B 0; R (4 cặp điểm) http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word