Đề thi hsg toán 12 tp hcm (1) năm học 2020 2021

NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 ĐỀ THI HSG TỐN 12 –SỞ TPHCM – NĂM 2020-2021 Mơn: Tốn Lớp 12 (Bảng thường) HỌC HỎI -C HỎI -I - CHIA SẺ KIẾNN THỨCC Câu (4,0 điểm) Giải phương trình Câu Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) x x  x  1  x  x (4,0 điểm) P Cho hàm số y  x  x  2021,5 có đồ thị   Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng mà P từ M kẻ hai tiếp tuyến vng góc đến   Câu (5,0 điểm)  O  Trong hình nón, người ta đặt hình chóp Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn  D ABC có đáy ABC tam giác cân A , nội tiếp đường tròn  O  BAC 120o Đỉnh D nằm mặt xung quanh hình nón, mặt bên hình chóp tạo với đáy góc a) Chứng minh D thuộc đường thẳng SA b) Tính thể tích khối nón thể tích khối chóp Câu (4,0 điểm) Cho X  n   |  n 5 f  x f  x  ax  bx  c  tập hợp hàm số có a, b, c  X f  x có điểm cực trị Chọn ngẫu nhiên từ  , tính xác suất để gốc tọa độ O nằm hoàn toàn tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị đồ thị Câu f  x (3,0 điểm)  Cm  : y x3   m   x   m2  4m  3 x  m3  6m2  9m  Chứng minh đường cong tiếp xúc với đường thẳng cố định HẾT TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA Trang NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 ĐỀ THI HSG TOÁN 12 –SỞ TPHCM – NĂM 2020-2021 Mơn: Tốn Lớp 12 (Bảng thường) HỌC HỎI -C HỎI -I - CHIA SẺ KIẾNN THỨCC Câu Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) (4,0 điểm) Giải phương trình x x  x  1  x  x Lời giải x x ● Đặt t   x 0  x 2  t Phương trình cho trở thành x    x 2  t   x  1  t   x   x   x   x  1 t  t  t 1 x    1 t  t  0    t   L   2x 1 x ● Với t 1  Xét hàm số Ta có x x  x 1  x  x  0 f  x  2 x  x  1, x   f  x  2 x ln  1, f  x  0  x  f   log  ln   2  log  ln  Ta tính Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị  Phương trình Dễ thấy f  x  0 f    f  1 0  log  ln    y  f  x  log  ln    ln cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hai nghiệm  f  x  0 có hai nghiệm x 0 x 1 Vậy tập nghiệm phương trình cho Câu  x  log  ln  ln S  0;1 (4,0 điểm) P Cho hàm số y  x  x  2021,5 có đồ thị   Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng mà P từ M kẻ hai tiếp tuyến vng góc đến   Lời giải Xét M  a; b  TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 y k  x  a   b Theo giả thiết , giả sử phương trình đường thẳng  qua M có dạng   x  x  2021, k  x  a   b   x  k  tiếp tuyến  P   hệ  có nghiệm 2 x  x  2021,5  x  1  x  a   b  x  2ax  a  b  2021,5 0  * Từ hệ suy P Mà từ M kẻ hai tiếp tuyến đến   nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt      a  a  b  2021,5  1 8085   a   b 0 2  (*) k k Gọi , hệ số góc hai tiếp tuyến vng góc Ta có: k1 k2    x1  1  x2  1   x1 x2  x1  x2  0   2a  2b  4043  2a  0  2b 4042  b 2021 1  a      a 2 Với b 2021 thay vào điều kiện ( *) ta có:  Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường thẳng y 2021 Câu (5,0 điểm)  O  Trong hình nón, người ta đặt hình chóp Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn  D ABC có đáy ABC tam giác cân A , nội tiếp đường tròn  O  BAC 120o Đỉnh D nằm mặt xung quanh hình nón, mặt bên hình chóp tạo với đáy góc a) Chứng minh D thuộc đường thẳng SA b) Tính thể tích khối nón thể tích khối chóp Lời giải S m h O D R BC R B M C M H n A O H A CB a) Chứng minh D thuộc đường thẳng SA  Chóp D ABC có mặt bên tạo với đáy góc nhau, nên chân đường cao H chóp trùng với tâm đường tròn nội tiếp ABC TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA Trang NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020  O   A, H , O thẳng hàng Theo giả thiết ABC cân A nội tiếp đường tròn SO   ABC   SOA   ABC   Ta có:  H   SOA  DH   ABC  DH   SOA   Do đó: DH SA hai đường thẳng cắt Mà theo giả thiết D thuộc đường sinh S; O  S; O  khối nón  Nên suy ra: D thuộc đường sinh SA khối nón  b) Tính thể tích khối nón  O  SO h  Đặt R bán kính đường trịn o o o o      BAC 120  BmC 240  BnC 120  BOC 120 Do đó: ABC OBC (g.c.g)  OB OC  AB  AC  ABOC hình thoi 1  SABC SOBC  AB AC.sin BAC  R.R.sin120o  R 2 MH MB AM  AO   sin BAM sin 60o   2  AB  AH  Xét ABM : AH  AH AH AH DH DH  SO  h   h  AO   SOA AO SO Xét :   VD ABC Vkhèi nãn  S ;( O )    Câu  SABC DH R 2 h 3 3     R h 4  R h  Vkhèi nãn  S ;( O )  VD ABC  4 4 3  12   3 3   (4,0 điểm) Cho X  n   |  n 5 f  x f  x  ax  bx  c  tập hợp hàm số có a, b, c  X f  x có điểm cực trị Chọn ngẫu nhiên từ  , tính xác suất để gốc tọa độ O nằm hoàn toàn tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị đồ thị Lời giải f  x  ax  bx  c  f  x  4ax  2bx x  4ax  2b    f  x  ax  bx  c f  x  0;c  cắt Oy a   f  x b   có điểm cực trị a   b  a    Khi b  , đồ thị hàm số có cực tiểu        b b2   b b2 ;  c  ;  ;  c  a 4a   2a 4a  cực đại  0; c  TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA Trang NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Để gốc tọa độ O nằm hoàn toàn tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị đồ thị c  c     b2  c  b  4ac  f  x  4a Vì a, b, c  X nên: b    ac   a, c    b    ac   a, c   b    ac   a, c     1;1 ,  1;  ,  2;1  b    ac   a, c     1;1 ,  1;  ,  2;1 ,  1;3  ,  3;1  b    1;1 ,  1;  ,  2;1 ,  2;  ,  1;3  ,  3;1 ,  1;  ,  4;1 ,  25  ac   a, c      1;5  ,  5;1 ,  2;3  ,  3;    a , b, c  Suy có: 20 số a    Khi b  , đồ thị hàm số có cực đại        b b2   b b2 ;  c  ;  ;  c  2a 4a   2a a  cực tiểu  0; c  Để gốc tọa độ O nằm hoàn toàn tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị đồ thị c     b2  c   f  x  4a c   b  4ac Vì a, b, c  X nên: b 1   ac  a, c    1;  2;  3;  4;  5 b 2   ac  a, c    1;  2;  3;  4;  5 \   1;  1 b 3   ac  a, c    1;  2;  3;  4;  5 \    1;  1 ,   1;   ,   2;  1  TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020   1;  1 ,   1;   ,   2;  1 ,   2;   ,   1;  3 ,  b 4   ac  a, c    1;  2;  3;  4;  5 \     3;  1 ,   1;   ,   4;  1  25 b 5   ac  a, c    2;  3;  4;  5 \   2;   ,   2;  3 ,   3;     Suy có: 101 số  a , b, c  f  x  Gọi  không gian mẫu chọn ngẫu nhiên từ  :  n    113 1331  Xác suất để chọn f  x từ  cho gốc tọa độ O nằm hoàn toàn tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị đồ thị 20  101 121 P     1331 1331 Câu f  x là: (3,0 điểm)  Cm  : y x3   m   x   m  4m  3 x  m3  6m  9m  Chứng minh đường cong tiếp xúc với đường thẳng cố định Lời giải  Cm  phương trình Như ta biết phương trình đường thẳng y kx  b tiếp xúc với y  kx  b 0 có nghiệm kép Ta có : y ' 3  x  m  1  x  m  3 Do y ' 0 ln có nghiệm x1 m  x2 m  Nên cần biến đổi y  x  m  1  x     Ta có: Và y  x  m   x  m  3  y  x  m  1 Vậy  Cm   x  m  4   Cm  tiếp xúc với đường thẳng y 2  Cm  tiếp xúc với đường thẳng y  tiếp xúc với đường thẳng cố định y 2 y  TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang