NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 ĐỀ THI HSG TỐN 12 –SỞ TPHCM – NĂM 2020-2021 Mơn: Tốn Lớp 12 (Bảng thường) HỌC HỎI -C HỎI -I - CHIA SẺ KIẾNN THỨCC Câu (4,0 điểm) Giải phương trình Câu Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) x x x 1 x x (4,0 điểm) P Cho hàm số y x x 2021,5 có đồ thị Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng mà P từ M kẻ hai tiếp tuyến vng góc đến Câu (5,0 điểm) O Trong hình nón, người ta đặt hình chóp Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn D ABC có đáy ABC tam giác cân A , nội tiếp đường tròn O BAC 120o Đỉnh D nằm mặt xung quanh hình nón, mặt bên hình chóp tạo với đáy góc a) Chứng minh D thuộc đường thẳng SA b) Tính thể tích khối nón thể tích khối chóp Câu (4,0 điểm) Cho X n | n 5 f x f x ax bx c tập hợp hàm số có a, b, c X f x có điểm cực trị Chọn ngẫu nhiên từ , tính xác suất để gốc tọa độ O nằm hoàn toàn tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị đồ thị Câu f x (3,0 điểm) Cm : y x3 m x m2 4m 3 x m3 6m2 9m Chứng minh đường cong tiếp xúc với đường thẳng cố định HẾT TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA Trang NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 ĐỀ THI HSG TOÁN 12 –SỞ TPHCM – NĂM 2020-2021 Mơn: Tốn Lớp 12 (Bảng thường) HỌC HỎI -C HỎI -I - CHIA SẺ KIẾNN THỨCC Câu Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) (4,0 điểm) Giải phương trình x x x 1 x x Lời giải x x ● Đặt t x 0 x 2 t Phương trình cho trở thành x x 2 t x 1 t x x x x 1 t t t 1 x 1 t t 0 t L 2x 1 x ● Với t 1 Xét hàm số Ta có x x x 1 x x 0 f x 2 x x 1, x f x 2 x ln 1, f x 0 x f log ln 2 log ln Ta tính Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị Phương trình Dễ thấy f x 0 f f 1 0 log ln y f x log ln ln cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hai nghiệm f x 0 có hai nghiệm x 0 x 1 Vậy tập nghiệm phương trình cho Câu x log ln ln S 0;1 (4,0 điểm) P Cho hàm số y x x 2021,5 có đồ thị Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng mà P từ M kẻ hai tiếp tuyến vng góc đến Lời giải Xét M a; b TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 y k x a b Theo giả thiết , giả sử phương trình đường thẳng qua M có dạng x x 2021, k x a b x k tiếp tuyến P hệ có nghiệm 2 x x 2021,5 x 1 x a b x 2ax a b 2021,5 0 * Từ hệ suy P Mà từ M kẻ hai tiếp tuyến đến nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt a a b 2021,5 1 8085 a b 0 2 (*) k k Gọi , hệ số góc hai tiếp tuyến vng góc Ta có: k1 k2 x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 0 2a 2b 4043 2a 0 2b 4042 b 2021 1 a a 2 Với b 2021 thay vào điều kiện ( *) ta có: Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường thẳng y 2021 Câu (5,0 điểm) O Trong hình nón, người ta đặt hình chóp Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn D ABC có đáy ABC tam giác cân A , nội tiếp đường tròn O BAC 120o Đỉnh D nằm mặt xung quanh hình nón, mặt bên hình chóp tạo với đáy góc a) Chứng minh D thuộc đường thẳng SA b) Tính thể tích khối nón thể tích khối chóp Lời giải S m h O D R BC R B M C M H n A O H A CB a) Chứng minh D thuộc đường thẳng SA Chóp D ABC có mặt bên tạo với đáy góc nhau, nên chân đường cao H chóp trùng với tâm đường tròn nội tiếp ABC TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA Trang NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 O A, H , O thẳng hàng Theo giả thiết ABC cân A nội tiếp đường tròn SO ABC SOA ABC Ta có: H SOA DH ABC DH SOA Do đó: DH SA hai đường thẳng cắt Mà theo giả thiết D thuộc đường sinh S; O S; O khối nón Nên suy ra: D thuộc đường sinh SA khối nón b) Tính thể tích khối nón O SO h Đặt R bán kính đường trịn o o o o BAC 120 BmC 240 BnC 120 BOC 120 Do đó: ABC OBC (g.c.g) OB OC AB AC ABOC hình thoi 1 SABC SOBC AB AC.sin BAC R.R.sin120o R 2 MH MB AM AO sin BAM sin 60o 2 AB AH Xét ABM : AH AH AH AH DH DH SO h h AO SOA AO SO Xét : VD ABC Vkhèi nãn S ;( O ) Câu SABC DH R 2 h 3 3 R h 4 R h Vkhèi nãn S ;( O ) VD ABC 4 4 3 12 3 3 (4,0 điểm) Cho X n | n 5 f x f x ax bx c tập hợp hàm số có a, b, c X f x có điểm cực trị Chọn ngẫu nhiên từ , tính xác suất để gốc tọa độ O nằm hoàn toàn tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị đồ thị Lời giải f x ax bx c f x 4ax 2bx x 4ax 2b f x ax bx c f x 0;c cắt Oy a f x b có điểm cực trị a b a Khi b , đồ thị hàm số có cực tiểu b b2 b b2 ; c ; ; c a 4a 2a 4a cực đại 0; c TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA Trang NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Để gốc tọa độ O nằm hoàn toàn tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị đồ thị c c b2 c b 4ac f x 4a Vì a, b, c X nên: b ac a, c b ac a, c b ac a, c 1;1 , 1; , 2;1 b ac a, c 1;1 , 1; , 2;1 , 1;3 , 3;1 b 1;1 , 1; , 2;1 , 2; , 1;3 , 3;1 , 1; , 4;1 , 25 ac a, c 1;5 , 5;1 , 2;3 , 3; a , b, c Suy có: 20 số a Khi b , đồ thị hàm số có cực đại b b2 b b2 ; c ; ; c 2a 4a 2a a cực tiểu 0; c Để gốc tọa độ O nằm hoàn toàn tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị đồ thị c b2 c f x 4a c b 4ac Vì a, b, c X nên: b 1 ac a, c 1; 2; 3; 4; 5 b 2 ac a, c 1; 2; 3; 4; 5 \ 1; 1 b 3 ac a, c 1; 2; 3; 4; 5 \ 1; 1 , 1; , 2; 1 TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 1; 1 , 1; , 2; 1 , 2; , 1; 3 , b 4 ac a, c 1; 2; 3; 4; 5 \ 3; 1 , 1; , 4; 1 25 b 5 ac a, c 2; 3; 4; 5 \ 2; , 2; 3 , 3; Suy có: 101 số a , b, c f x Gọi không gian mẫu chọn ngẫu nhiên từ : n 113 1331 Xác suất để chọn f x từ cho gốc tọa độ O nằm hoàn toàn tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị đồ thị 20 101 121 P 1331 1331 Câu f x là: (3,0 điểm) Cm : y x3 m x m 4m 3 x m3 6m 9m Chứng minh đường cong tiếp xúc với đường thẳng cố định Lời giải Cm phương trình Như ta biết phương trình đường thẳng y kx b tiếp xúc với y kx b 0 có nghiệm kép Ta có : y ' 3 x m 1 x m 3 Do y ' 0 ln có nghiệm x1 m x2 m Nên cần biến đổi y x m 1 x Ta có: Và y x m x m 3 y x m 1 Vậy Cm x m 4 Cm tiếp xúc với đường thẳng y 2 Cm tiếp xúc với đường thẳng y tiếp xúc với đường thẳng cố định y 2 y TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang