SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LONG AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MON THI: TOÁN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu A 3 11 2 10 a) Rút gọn biểu thức : b) Cho ba số dương x, y , z thỏa mãn điều kiện: xy yz zx 673 Chứng minh x y z x yz 2019 y zx 2019 z xy 2019 x y z Câu a) Do bị bệnh bại não nên tay chân Cảnh (11 tuổi, Tà Ọt, xã Châu Hạnh, huyện Quỳnh Châu, tỉnh Nghệ An) bị co quắp, lại từ lúc chào đời Lên tuổi, nhìn bạn bè cắp sách đến trường em muốn mẹ cho học Thương ham học, ngày đầu Cản người thân cõng đến trường Ít ngày sau, chứng kiến cảnh người thân bạn phải vất vả bỏ bê công việc, Khanh định cõng bạn vượt qua đường dài 1,8km nhiều sỏi đá để tới trường Lúc về, quãng đường dài 1,8km , trời nắng, Khanh cõng bạn với vận tốc lúc 0,2m / s Do đó, thời gian cõng bạn lúc Khanh chậm lúc 12 phút 30 giây Tính vận tốc lúc cõng bạn Khanh x 2 x y b) Giải hệ phương trình: y 2 y x Câu 3.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC nội tiếp đường tròn O; R Vẽ đường trịn tâm K đường kính BC cắt cạnh AB, AC điểm F , E Gọi H giao điểm BE CF a) Chứng minh OA EF b) Từ A dựng tiếp tuyến AM , AN với đường tròn K ,( M , N tiếp điểm N thuộc cung nhỏ EC ) Chứng minh M , H , N thẳng hàng Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O; R) điểm M di động cung nhỏ BC Xác định vị trí M để S MA MB MC đạt giá trị lớn tính S Câu Cho đường trịn O đường kính AB Từ điểm C thuộc đường tròn O kẻ CH AB C A; B, H BC Đường tròn tâm C bán kính CH cắt đường trịn O D E Chứng minh DE qua trung điểm CH ĐÁP ÁN Câu a) A 3 2 3 2 11 3 10 3 1 2 3 2 2 1 3 5 2 2 2 1 3 3 3 1 a b2 a b x , y x y xy a , b b) Với ta có: 2 (**) a y b x x y xy a b bx ay 0 (luôn đúng) a b2 c a b c2 a b c (**) x y z x y z xyz Áp dụng bất đẳng thức ta có: xy yz zx 673 x x yz 2019 x x xy zx 1346 Vì Tương tự: y y zx 2019 z z xy 2019 Áp dụng BĐT (*) ta có: x y z x yz 2019 y zx 2019 z xy 2019 x2 y2 z2 x x yz 2019 y y zx 2019 z z xy 2019 x y z x3 y z xyz 2019 x y z Biến đổi: (1) x3 y z 3xyz x y xy x y z 3xyz x y z x y x y z z 3xy x y z x y z x y z xy yz zx x3 y z 3xyz 2019 x y z x y z x y z xy yz zx 3.673 x y z x y z xy yz xz 3 xy yz zx x y z x y z x y z (2) Từ (1) (2) suy ra: x y z x yz 2019 y zx 2019 z xy 2019 2 x y z (dfcm) x y z x y z Câu a) Gọi x m / s vận tốc lúc cõng bạn Khanh, điều kiện x 0,2 Vận tốc lúc cõng bạn Khanh x 0,2 Theo ta có phương trình: x 0,8(tm) 1800 1800 750 750 x 150 x 360 0 x 0,2 x x 0,6(ktm) Vậy vận tốc lúc cõng bạn Khanh 0,8(m / s) x3 y x y x 2 x y x y 3 x y y y x b) Ta có: x y x xy y x y x y x xy y 1 0 2 2 x y x xy y 3 x y x y x xy y 3 0 x y 0 x 0 Th1: x y 0 y 0 x y 0 Th : x xy y x y x x 3, y x 3, y x xy y 0 x y x 1; y Th3: x 1; y 1 x y 0 x 0 2 x xy y 0 S x y Th : S P 0 x xy y 0 Đặt P xy Ta có hệ phương trình: S P 0 P x y 0 x 1; y S 3P 0 S 0 xy x 1; y 1 Vậy x; y 0;0 ; 3; ; 3; ; 1; 1 ; 1;1 Câu A x E F M H B S N O K C a) Dựng tiếp tuyến Ax O Ta có: ) ACB BAx (cùng chắn cung AB) ACB AFE (cùng bù với BFE , tứ giác BFEC nội tiếp) BAx AFE Ax / / EF mà OA Ax OA / / EF b) ABC có BE , CF hai đường cao H trực tâm Kẻ đường cao thứ AS ABC M , N , S thuộc đường trịn đường kính AK AMS ASN (góc nội tiếp chắn AN ) Mà AMN ANM ( AMN cân AM AN tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do ANM ASN (1) Ta có: ANE ACN g.g AN AE.AC AEH ASC g g AH AS AE AC AN AS ASN ANH c.g c ANH ASN 2 AH AN Từ (1) (2) ANM ANH M , H , N thẳng hàng AN AH AS Câu A O C B M D Trên tia đối tia MB lấy điểm D cho MD MC BAC 600 ( ABC đều) BMC 1200 CMD 600 MCD CM CD ACM BCD(c.g c) AM BD Mà BD MB MD MB MC S MA MB MC 2MA Mà AM 2 R Vậy S đạt giá trị lớn MA đường kính M điểm cung nhỏ BC Khi đó, S 2.2 R 4 R Câu C D A N E I H O B M Vẽ đường kính CM đường tròn (O) Gọi N, I giao điểm DE với CH CM O C cắt D, E OC DE CEM vuông E, EI đường cao nên CE CI CM CH CI CO Mà CM 2CO CE CH nên CH 2CI CO hay (1) CIN CHO( g g ) CI CN CN CH CI CO(2) CH CO Từ (1), (2) suy CH 2CN N trung điểm CH Vậy DE qua trung điểm CH