055 đề thi hsg toán 9 tỉnh nghệ an 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút Câu a) b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y  xy  x  y  0 2n n Chứng minh rằng: A 2   16 chia hết cho với số nguyên dương n Câu x3  x 2x   2x  a) Giải phương trình:  x  1   y  3 1   x  1  y  3  x  y  b) Giải hệ phương trình :  Câu Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4  a   b   c  P        a b   b c   c a  Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  Gọi D, E , F chân đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C tam giác Đường thẳng EF cắt đường tròn  O  điểm thứ M ( M khác phía với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM cắt đường thẳng DF N Chứng minh rằng: a) EF  OA b) AM  AN   Cho tam giác nhọn ABC , D điểm tam giác cho ADB  ACB  90 AB.CD  AC.BD  AD.BC Chứng minh: AC.BD Câu Trong hình vng cạnh có 2019 điểm phân biệt Chứng minh tồn tạo hình trịn bán kính 91 nằm hình vng mà khơng chứa điểm 2019 điểm cho ĐÁP ÁN Câu 2 a) Ta có: y  xy  x  y  0  x  y  1 2 y  y  5  x 2 y  y  ( y 1 không thỏa mãn phương trình) Vì x, y số nguyên nên y  1U    1; 5 Th1: y  1  y 2  x 9 Th : y    y 0  x  Th3: y  5  y 6  x 13 Th : y    y   x   n b) Ta có: n  A 22  4n  16  22    4n  1  18 n n 2k 2k k Đặt 2  k   *   2  4  13 n n Do với n nguyên dương ta có:  13,4  13;183 n  A 22  4n  163 Câu x 3 a) ĐKXĐ: x3  x 2x     x   x  8 x  x 2x     3 x   2 x   x   2.2 x Đặt a  x  0, b 2 x Ta có:   b  3b 3 a  2a b  2b   a  b    a      0  a b 2    2 x 0  13  x  2 x    x 2 x  4 x b) Hệ phương trình cho tương đương với  x  1   y  3 1   x  1  y  3  x  1   y  3  Đặt a x  1, b  y  , ta hệ phương trình: a  b 1   ab  a  b    a  b   2ab 1  ab a  b  Đặt S a  b, P ab, điều kiện S 4 P Hệ trở thành:   S  (tm)   S  P 1   P 0     S 3  P S   (ktm)   P 4  a    S  a  b   b 0      a 0  P 0 ab 0   b    x      y  0    x  0    y   Vậy hệ cho có hai nghiệm  0;3 ;  1;2  Câu P Ta có:  b 1    a  c  1    b   a 1   c  b c a x  ; y  , z   x, y, z  0, xyz 1 a b c Đặt   x 0    y 3   x 1    y 2  P 1  x  1  y  1  z  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có: 1 1  P        x    y    z   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có: 1    x  y      x   y    x    xy   x  y     xy          Tương tự: 1  y   x   xy   x  y  Từ bất đẳng thức ta có: 1  x  1 y   xy Dấu xảy x  y 1 1 z Tương tự :   1  x   1  y  1 1     2   1  z   z   z  1  z  1 z 1         xy  z  z  z 4 3 P  , P   x  y z 1  a b c 16 16 Ta có: 16 P Vậy giá trị nhỏ Câu 1) y N A P x E F M O Q B D C a) Qua điểm A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn  O  suy OA  xy 0   Xét tứ giác BCEF có BEC 90 ( gt ); BFC 90 ( gt )  BCEF tứ giác nội tiếp   nên ACB  AFE (1)   BAx  sd AB Mặt khác (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) ACB  sd AB   (2) (góc nội tiếp )  BAx  ACB   Từ (1) (2) suy AFE BAx vị trí so le nên EF / / xy  EF  OA b) Đường thẳng EF cắt (O) điểm thứ hai P, BP cắt DF Q AD, BE , CF đường cao tam giác ABC nên BCEF , ACDF nội tiếp, ACB  AFP ACB  sd AB  sd BM   MA     AP  ; AFP  sd BM 2 Mặt khác    Do sd AM sd AP  BA tia phân giác MBQ nên AM  AP(1)     Tứ giác BCEF nội tiếp  ACB BFM , tứ giác ACDF nội tiếp nên ACB BFQ     Do BFQ BFM  ACB suy FB tia phân giác MFQ MFB QFB  MB QB  BMP BQN  BP BN     Do ABN ABP  AN  AP   Từ (1) (2) suy AM  AN 2) E A D B C Dựng tam giác vuông cân BDE D cho E thuộc nửa mặt phẳng có bờ BD khơng chứa C   Ta có: ADE  ACB DE DB , từ giả thiết AC.BD  AD.BC AD BD DE AB AC     ADE ACB   AC BC BC AE AD     Mặt khác, BAC EAD , suy CAD BAE , đó: CAD BAE  AC CD CD AB.CD     AB BE BD AC BD Câu Chia hình vng cho thành 2025 hình vng nhỏ có cạnh 45 Gọi  C1  ,  C2  , ,  C2025  hình trịn nội tiếp hình vng nhỏ trên, chúng có bán kính 90 Gọi / / / 2025  C  ,  C  , ,  C  hình trịn đồng tâm với hình trịn có 91 bán kính Khi hình trịn nằm hình vng đơi khơng có điểm chung (rời nhau) / / / 2025  C  ,  C  , ,  C  có 2019 điểm Trong hình vng cho có hình trịn rời nên tồn hình trịn hình trịn khơng chứa điểm 2019 điểm cho