111Equation Chapter Section 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN – BẢNG B Thời gian : 150 phút (khơng kể giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (3,0 điểm) 2 a) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y 6 x b) Chứng minh với số tự nhiên n * n 5n chia hết cho Câu (6,5 điểm) a) Giải phương trình : x x x x x y y b) Giải hệ phương trình x y 2 Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y x3 y x y z 3xy Chứng minh y z x z 16 z Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có D, E , F chân đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C tam giác Gọi H trực tâm tam giác ABC K trung điểm HC a) Chứng minh điểm E , K , D, F thuộc đường tròn b) Đường thẳng qua K song song với BC cắt DF M Trên tia DE lấy điểm P cho MAP BAC Chứng minh MA phân giác FMP Câu (3,0 điểm) a) Cho hình thoi ABCD có AB a Gọi R1 , R2 bán kính đường trịn 1 2 2 ngoại tiếp tam giác ABC , ABD Chứng minh R1 R2 a b) Cho đa giác có 2021 đỉnh, cho đỉnh đa giác tô hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn đỉnh đa giác cho đỉnh tam giác cân mà đỉnh tơ màu ĐÁP ÁN Câu a) Ta có : x y 6 x x x y 17 x 3 y 17 x y x y 17 Do 17 số nguyên tố nên ta có trường hợp sau : x y 17 x 12 x y 17 Th1: Th : x y 1 y x y x y 8 x y x Th : x y 17 y x y 1 Th3: x y 17 x 12 y 8 Vậy cặp số nguyên x; y thỏa mãn yêu cầu toán : 12; 8 ; 6;8 ; 12;8 ; 6; n3 5n n3 n 6n n n 1 n 1 6n6 b) Ta có : Câu a) Điều kiện x 6 Phương trình cho tương đương với x x x 5 x 5 x 1 x 0 x 0 x x 0 x 1 x x 5(tm) 1 1 0(VN ) x 1 x Vậy x 5 3 b) Ta có : x x y y có dạng f x f y x y , thay vào pt (2) x 1 x y 1 x x 0 x 2(ktm) x y Câu 2 Ta có : 3xy x y z 2 xy z xy z Suy 2 x y x y x y xy x y xy x y ) (1) 16 z 16 z 16 z 16 2 x y x2 y2 x y x y ) 2 y z x z xy xz xy yz xy z x y xy x y x y Từ (1) (2) ta có : xy x y2 P P x y 2 16 x y 16 2 x y2 1 7 1 Min P x y2 16 8 8 x y 3 z 9 Câu A P E F H K B M N D C a) Chứng minh điểm E , K , D, F thuộc đường tròn Do EK trung tuyến tam giác vuông EHC KE KC KEC ECK EKF KCE KEC 2ECK 1 Do tứ giác HDCE nội tiếp ECK EDH Do tứ giác FECB nội tiếp ECK FBH Do tứ giác FBDH nội tiếp FBH FDH Từ suy FDE FDH EDH 2HDE 2ECK Từ 1 , EKF FDE tứ giác FDKE nội tiếp hay điểm F , D, K , E thuộc đường tròn b) Chứng minh MA phân giác FMP Gọi N giao điểm MK DE Do MN / / BC BDN MNE Do ABDE tứ giác nội tiếp BDE BAE 180 Theo ra, BAC MAP , nên từ (4), (5) MNP MAP 180 MNPA tứ giác nôi tiếp AMP ANP Lại có AMD AND(c.g c) AMD AND 180 AMD 180 AND AMF ANP Từ (6) (7) suy AMP AMF MA phân giác FMP Câu B M A C I J D a) Gọi M trung điểm AB Đường trung trực AB cắt đường AC , BD I, J Khi I , J tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD ABC MAI ∽ MJB ( g g ) MA MJ AI JB Dễ thấy MA MJ MA2 MJ MA2 JB MB R2 R1 R22 R12 R22 R12 MA2 R12 MB MA2 MB 1 R22 R12 R22 R1 a2 a2 1 R12 R22 R12 R22 a b) E A B F Đa giác cho đa giác nên đa giác nội tiếp đường trịn tâm O Do 2021 số lẻ nên tồn đỉnh kề tơ màu Giả sử hai đỉnh A, B tô màu đỏ Cũng đa giác cho có số đinh lẻ nên tồn đỉnh M đa giác nằm đường trung trực đoạn AB MAB cân Ta xét khả xảy : +) Khả 1: Nếu M tô màu đỏ dfcm +)Khả 2: M tô màu xanh Gọi E , F đỉnh kề A B, có : EA AB BF EF / / AB MEF cân M.Khi đó, - Nếu E , F màu xanh MEF cân thỏa mãn toán - Nếu hai đỉnh E, F màu đỏ, giả sử E màu đỏ EAB thỏa mãn yêu cầu toán Vậy tồn đỉnh đa giác cho lập nên tam giác cân có đỉnh màu