SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 150 phút x 1 xy x xy x x 1 1 : Câu Cho biểu thức P xy 1 xy xy xy Với x, y 0, xy a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x y x Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : m 1 x y 3m d ' : x m 1 y m Tìm m để (d) cắt d ' điểm M cho MOx 300 Câu a) Giải phương trình 3x x 3x2 14 x x3 x x y x y b) Giải hệ phương trình: x xy x 3x y Câu Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 3a2 3b2 3c2 4abc 13 Câu Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường cao BE AD Gọi H trực tâm G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh HG / / BC tan B.tan C b) Chứng minh t anA.tan B.tan C tan A tan B tanC Câu Cho ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, J, K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ABH , ACH Gọi giao điểm đường thẳng AJ , AK với cạnh BC E F a) Chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiếp AEF b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK đường tròn ngoại tiếp ABC có bán kính Câu Tìm tất số nguyên dương x; y; z cho x y z số nguyên tố x y 2019 số hữu tỉ y z 2019 ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: P x 1 xy xy x xy xy 1 xy 1 xy xy xy x 1 xy x 11 : 1 xy 1 xy b) Ta có: x3 3 xy 22 x x y xy x 1 xy x 1 6x x. x xy P Câu Từ m 1 x y 3m y 1 m x 3m vào phương trình đường thắng d ' ta có: x m 1 x m 1 3m m m m x m 3m (*) Để (d) (d’) cắt M phương trình (*) có nghiệm nhất, suy m 0, m 3m 1 m 3m 3m m Do M 3m ; m y m m m m m MH m2 tan 300 Kẻ MH vuông góc với Ox Do MOx 300 nên tan MOx OH 3m Khi x m2 m2 m m thỏa mãn 3 3m 3m Câu a)ĐKXĐ: x Phương trình 3x x 3x 14 x xy 3x 15 5 x x 5 3x 1 x 5 3x 1 3x x 1 x 1 3x 1 3x Do x nên 3x x 1 Do x nghiệm phương trình b) ĐKXĐ: 3x y Từ phương trình thứ ta có x x y Vì x2 nên x y x vào phương trình (2) ta được: x x x x 3x x x x x x x 12 x x 11 x 3 Đặt x 2t 3, ta có hệ phương trình: t x 2 2t 3 x t x x t t x t x t x x 3 4t x2 x x Xét t x x x (TMDK ) x y x2 x x Xét t x x x (TMDK ) y 1 x Vậy hệ phương trình cho x; y 3; ; 2;1 Câu Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên a b c c c 2c Đặt 2 P 3a 3b2 3c 4abc a b 2ab 3c 4abc 3 c 3c 2ab 2c 2 c 2c a b 3c Lại có: ab 2ab 2c Do đó: P c 3c 2 c 2c c 6c 2c 2c 3c 27 3c 2 2 c3 2c c c 2c 1 26 2 2c c 1 c 1 13 13 2 Dấu " " xảy a b c 2 Câu A E N H B D G C M a) Gọi M trung điểm BC Ta có: tan B.tan C tan ABD.tan ACB AD AD BD CD Xét BDH ADC có: BDH ADC 900 ; HBD HAE nên BDH AD BD.CD AD.DH tan B.tan C DH AD AM tan B.tan C Vì HG / / BC nên DH GM ADC b) Ta có tan B.tan C AD S S BHC Tương tự ta có CHA ; DH tan B.tan C S ABC tan C.tan A S ABC S AHB tan A.tan B S ABC Do đó: 1 S S BHC SCHA AHB 1 tan A.tan B tan B.tan C tan C.tan A S ABC Suy tan A tan B tan C tan A.tan B.tan C Câu A I K J B E HM F C a) Ta có AEC EAH CAE EAB 900 mà EAH EAB AEC CAE ACE cân Tương tự ta có BI trung trực AF suy I tâm đường tròn ngoai tiếp AEF b) Kẻ IM BC M ME MF Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp ABC IM r Ta có ABF cân B, ACE cân C nên EF AB AC BC Ta dễ dàng chứng minh AB AC BC 2r suy EF 2r Vì CI trung trực AE nên KEC KAC mà KAH KAC; KAH KFE 900 KEC KFE 900 EF r MJ MI MK r Hay KEF vuông K MK Câu Đặt x y 2019 a với a, b * a, b Ta có: b x y 2019 a y z 2019 y z 2019 b bx ay x y a bx ay az by 2019 zx y y z b az by Do x2 y z x z zx y x z y x y z x z y 2 Vì x, y, z nguyên dương nên x y z Vậy x y z số nguyên tố thi x2 y z x y z x y 2019 x y z x y z Khi y z 2019 x z y ... x y z x z y 2 Vì x, y, z nguyên dương nên x y z Vậy x y z số nguyên tố thi x2 y z x y z x y 2019 x y z x y z Khi y z 2019 x z y