SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÀ RỊA – VŨNG TÀU KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN Câu 1) Rút gọn biểu thức : x x x 1 x x x 0 P : x x x x x x x 4 2) Tìm giá trị biểu thức M x x 2021 với x 12 13 12 13 Câu 2 1) Giải phương trình : x x x x 9 x 3 x xy 12 y 0 2 2) Giải hệ phương trình : 8 y x 12 Câu 1) Tìm tất số phương có ba chữ số chia hết cho 56 2) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình x y xy y 0 Câu 3 1) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 x1 x2 y2 x2 x1 , x1 , x2 nghiệm phương trình x x 0 2) Cho số thực dương a, b thỏa mãn a 1 b 1 4ab Tìm giá trị lớn 1 P 3a 3b biểu thức Câu Cho tam giác ABC có BAC 60 Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB điểm M , N , P Đường thẳng IM cắt NP K, đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự E , F Gọi G trung điểm BC 1) Chứng minh AEIF tứ giác nơi tiếp đường trịn 2) Chứng minh ba điểm A, K , G thẳng hàng 3) Gọi S1 diện tích tứ giác INAP S2 diện tích tam giác IEF Chứng minh S1 4S Câu Cho đường trịn O có hai đường kính AB, CD vng góc với Lấy điểm E cung nhỏ AD E A, E D Gọi M giao điểm EC OM ON OA, N giao điểm EB, OD Chứng minh AM DN Đẳng thức AD ? xảy E vị trí cung nhỏ ĐÁP ÁN Câu 1) Với x 0, x 4 , ta có : x x x 1 x x P : x x x x 1 x x x x x 1 x x x 1 x 2) x : x 4 x 5 x 1 x x 1 x Áp dụng công thức a b x 1 3 x a b3 3ab a b 3 M x x 2021 12 13 12 13 9 12 13 12 13 2021 12 13 12 13 3 144 117 12 13 12 13 9 12 13 12 13 2021 24 3.3 12 13 12 13 12 13 12 13 2021 2045 Câu 2 1) Giải phương trình x x x x 9 x 4 x x 0 x 4 I x x x ĐK: x x x x 9 x 9x x 5x x x 9 x x 5x x2 x 2 x 5x x x 9 x x (tm) x 3 1 0 2 4x 5x x x 1 * x x x x * 2 x x x x 1 VT * 2 Vậy x 1 x x x 1 2 PT (*) VN 3 x xy 12 y 0 2 2) Giải hệ phương trình : 8 y x 12 Thay x 0, y 0 vào hệ phương trình khơng thỏa mãn, nên x 0, y 0 khơng nghiệm hệ phương trình Đặt y tx, t \ 0 hệ cho có dạng : x x t 12 xt 0 x 2t 12t 22 2 8 x t x 12 x 8t 1 12 3 12t x 2t x 12t 8t t 8t 2t t 0 2t 1 4t t 1 0 2 2t 8t 1 2t 0 t (tm) 4t t 0 PTVN x 2 x 4 y t x 2 y x y 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 2; 1 ; 2;1 Câu 1) Tìm tất số phương có ba chữ số chia hết cho 56 n 56 n 23.7 n4, n7 n 100 n 999 Giả sử số cần tìm với Ta có : n28 4;7 1 Đặt n 28k , k Theo giả thiết ta có : 100 28k 999 100 784k 999 k 1 Vậy có số cần tìm 784 2) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình x y xy y 0 Từ giả thiết, ta có : x y x y 2 y y 0 25 2 y 0 x y y 25 x y 25 2 Mà x y số phương chẵn x y 0 y 3 25 2 x y 4 y 21(ktm) x y 16 y 9 x y 4 x y 0 Th1: y 5 y 3 25 y x y 1 x y 4 x y 16 y 0 y 0 Th2 : hoac x 2 x y 3 9 2 x y x x *) hoac y x y 4 y Vậy có cặp số nguyên x; y thỏa mãn yêu cầu : 1;1 ; 4; , 2;0 , 2;0 , 1; 3 , 5; 3 Câu 3 1) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 x1 x2 y2 x2 x1 , x1 , x2 nghiệm phương trình x x 0 x x 0 có 1. nên phương trình có nghiệm phân biệt Áp dụng định x1 x2 1 x x lý Viet : y1 y2 x13 x2 x23 x1 x1 x2 3x1x2 x1 x2 x1 x2 14 y1 y2 x13 x2 x23 x1 x1 x2 x14 x24 x1x2 161 y1; y2 hai nghiệm phương trình y 14 y 161 0 2) Cho số thực dương a, b thỏa mãn a 1 b 1 4ab Tìm giá trị lớn P 3a biểu thức Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 3a a 1.1 3a 3b 3a 3a 3a 2 a 6b P 3b 3a 3b 3a 1 3b 1 Tương tự : 3b Từ giả thiết ab a b 3ab a b 3ab 6a 6b 18ab 18ab 3a 1 3b 1 9ab 3a 3b 18ab Khi : Do : P 1 Dấu " " xảy a b 1 Vậy Max P 1 a b 1 3a Câu A E P B N K F I M G C 1) Chứng minh AEIF tứ giác nội tiếp đường tròn Chứng minh APN đều, ta có EF / / BC , KM BC EF KM Suy tứ giác EKIP, KNFI nội tiếp Suy EPK EIK 60 ; KIF KNA 60 EIF 60 Tứ giác AEIF có EAF EIF 60 120 180 nên tứ giác AEIF nội tiếp 2) Chứng minh ba điểm A, K , G thẳng hàng Từ suy IEF cân I (vì IK đường phân giác đồng thời đường cao) Suy IK đồng thời đường trung tuyến Vậy K trung điểm EF Theo bổ đề hình thang A, K , G thẳng hàng 3) Chứng minh S1 4S 1 S1 AN IN 3IN ;4S IK EF 4 IF 2 Ta có: Mà IN IF S1 4S 3.IF 3IF Câu C A M B O N E D Gọi bán kính đường trịn R Ta có : ; CBN sdCE sd AC sd AE CMB sd AE sdCB 2 Mà sd AC sdCB CMB CBN Xét tam giác CMB NBC ta có : CMB CBN ; CBM BCN ABD ∽ AMD( g.g ) BM CB BM CN CB OB OC 2 R Từ suy CB CN Lại có: OM ON OA AM OD DN R AM R DN R AM DN AM DN AM DN AM DN Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có : 1 AM DN AM DN AB BM CD CN 2 R BM CN R BM CN 2R BM R CN 2 R R R BM CN BM CN 2R Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có : BM CN 2 BM CN 2 R R.2 BM CN 2 R Từ ta : OM ON 2R 2R 2 2 AM DN R 2 6R2 2R2 Đẳng thức xảy AM DN BM CN R Khi CBM cân B tức E điểm cung AD