SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH SƠN LA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2019-2019 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 18/3/2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC A Câu Cho biểu thức 6x 3x3 3x 3x 3x Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu Cho phương trình x m 1 x 3m 0 (1) a) Tìm m cho phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn biểu 2 thức M x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ b) Xác định m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt lớn Câu 2x 13 x 6 2 a) Giải phương trình: x x x x 3 x xy 12 y 0 2 b) Giải hệ phương trình: 8 y x 12 Câu Cho điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi qua B C (O không nằm đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn O M N Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K a) Chứng minh điểm O, M , N , I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi c) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thắng Câu Cho hình vng ABCD 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn: đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng chia hình vng thành phần có tỉ số diện tích Chứng minh 2019 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy ĐÁP ÁN Câu 3x x x 0, x 0 Ta có: Nên điều kiện để A có nghĩa 3x 8 3x 3x 3x 0; x 0 x 0 x 3x 0 A 6x 3x 8 3x 3x 3x 3x 3x 3x 2 3x 3x 4 6x 3x x 3x x x 4 x 3 3x Với x nguyên dương, để biểu thức A nhận giá trị nguyên 3x 3 x 3(tm) 3x 1 x (ktm) 3x 1 đó: Vậy x 3 x nguyên Khi Câu 2 a) Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt ' m 5m * Hay m m Với điều kiện (*) phương trình có hai nghiệm x1 , x2 x1 x2 2 m 1 x x 3m Ta có: 2 M x12 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 4 m 1 3m 3 81 81 M 4m m 2m 16 16 m tm DK (*) Dấu " " xảy 81 Min M m 16 Vậy b) ĐK: ' m 5m * Đặt x t x t thay vào phương trình (1) ta được: t 1 m 1 t 1 3m 0 t m t m 0 (2) PT (1) có hai nghiệm phân biệt x lớn PT (2) có hai nghiệm phân biệt t lớn ' m 5m m 1 m P m m S 2m 2m m 1 m m m4 m (thỏa mãn ĐK (*)) Câu a) Với x 0 phương trình (1) có dạng 6 (vô lý) Vậy x 0 không nghiệm phương trình (1) 13 6 1 3 2x 2x 1 x 0, ta có: x x 13 x t , PT (1) 6 x Đặt trở thành t t t 1 6t 39t 33 0 11 t t 1 PT x 1 x x 0 x Với có nên phương trình vơ nghiệm 11 11 t PT x x 11x 0 x Với x 2, x thỏa mãn tốn Phương trình có nghiệm x3 xy 12 y 0 (1) 2 y x 12 (2) b) Giải hệ phương trình: 2 Thế (2) vào PT (1) ta được: x x y xy y 0 Nếu y 0 từ (1) x 0 khơng thỏa mãn phương trình (2) x x x PT 3 0 y y y Xét y 0 , x t y Đặt ta được: t t 2t 0 t 0 t t t 0 t t t y 1 x t x y y 1 y x 2 Với Vậy hệ cho có hai nghiệm 2;1 ; 2; 1 Câu M Q D P O H A B E K I N C d a) I trung điểm BC (dây BC không qua O) OI BC OIA 90 Ta có: AMO 90 (do AM tiếp tuyến (O)) ANO 900 (do AN tiếp tuyến (O)) Vậy điểm O, M , N , I thuộc đường tròn đường kính OA b) Ta có AM , AN hai tiếp tuyến với O cắt A nên OA tia phân giác MON mà OMN cân O nên OA MN ANB ACN 1 sd NB )ABN ANC CAN chung AB AN AB AC AN 1 AN AC )ANO vuông N đường cao NH nên ta có: AH AO AN Từ (1) (2) suy ra: AB AC AH AO (3) +) AHK AIO AHK AIO 90 OAI chung AH AK AI AK AH AO (4) AI AO AB AC AI AK AB AC AK AI Từ (3) (4) suy Mà A, B, C cố định nên I cố định, suy AK cố định, K giao điểm dây BC dây MN nên K AB K cố định PMQ 90 c) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét MHE QDM có: MEH DMQ (cùng phụ với DMP ), EMH MQD (cùng phụ với MPO ) ME MH * MQ DQ Vì MHP QHM 90 , PMH MQH PMH MQH MP MH MH ** MQ HQ DQ MP ME ME 2MP P MQ MQ Từ (*) (**) trung điểm ME MHE QDM ( g.g ) Câu A A1 E B H M I J N K D B1 F C Gọi MN , EF đường nối trung điểm hai cạnh đối hình vng Giả sử đường thẳng d1 cắt cạnh AB A1 cắt MN I cắt cạnh CD B1 Ta có tứ giác AA1B1D BCB1 A1 hình thang có MI , NI đường trung bình hai hình thang Khi đó: S AA1B1D S A1BCB1 AD. AA1 DB1 IM IM IN IN BC. A1B B1C MI 1 MI MN I Suy MN điểm cố định Lập luận tương tự ta tìm điểm H , J , K cố định ( I , J , H , K chia đoạn thẳng cố định MN , NM , EF , FE theo tỉ số 1: 2) Có điểm cố định mà có 2019 đường thẳng qua nên theo ngun lý Dirichle phải có 505 đường thẳng đồng quy.)