SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH SƠN LA ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 18/03/2019 Câu (3,0 điểm) 3x 3x3 3x 3x Cho biểu thức Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu (4,0 điểm) (1) Cho phương trình x m 1 x 3m 0 A 6x a) Tìm m cho phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn biểu 2 thức M x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ b) Xác định m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt lớn Câu (5,0 điểm) 2x 13 x 6 a) Giải phương trình: x x x x 3 x xy 12 y 0 b) Giải hệ phương trình: 8 y x 12 Câu (6,0 điểm) Cho điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường trịn tâm O thay đổi ln qua B C(O không nằm đường thẳng d ) Kẻ AM , AN tiếp tuyến đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC , AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q( P nằm A O), BC cắt MN K a) Chứng minh điểm O, M , N , I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi c) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Câu (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn: đường thẳng cắt hai cạnh đố hình vng chia hình vng thành phần có tỷ số diện tích Chứng minh rằng: 2019 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy ĐÁP ÁN Câu Ta có: Nên điều kiện để A có nghĩa 3x x x 0; x 0 3x 8 3x 3x 3x 0; x 0 x 0 x 3x 0 6x 3x A 3 x 23 x x x 3x A 3x 2 3x 3x 6x A 3x 3x 3x 3x 3x 4 x 3 3x Với x nguyên dương, để biểu thức A nhận giá trị nguyên x 3 3x 3 x 9 x 1 x x x đó: Vì x nguyên dương nên x 3 , A 1 Vậy x 3 Câu ' m 5m a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt Với ĐK (*) phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Ta có: x1 x2 2 m 1 x1 x2 3m 2 M x12 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 4 m 1 3m 3 81 81 M 4m m 2m 16 16 x nguyên Khi m 1 (*) m 4 (thỏa mãn điều kiện (*)) Dấu " " xảy 81 MinM m 16 Vậy (*) b) ĐK: ' m 5m Đặt x t x t thay vào phương trình (1) ta được: m t 1 m 1 t 1 3m 0 t m t m 0 (2) Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x lớn PT (2) có hai nghiệm phân biệt t lớn ' m 5m m 1 m m m P m m m m 4(tmdk ) S 2m 2m m Vậy m Câu a) Với x 0, phương trình (1) có dạng 6 (vơ lý) Vậy x 0 khơng nghiệm phương trình (1) 13 6 1 3 2x 2x 1 x 0, ta có: x x 13 x t , 6 x Đặt PT (1) trở thành: t t t 1 6t 39t 33 0 11 t x 1 x x 0 x +)Với t 1 ta có PT , có nên phương trình VN x 2 11 2 x x 11x 0 11 x x t ta có PT +)Với 3 S 2; 4 Vậy x3 xy 12 y 0 (1) (2) b) Giải hệ phương trình: 8 y x 12 2 Thế (2) vào PT (1) ta được: x x y xy y 0 (3) Nếu y 0 từ (1) suy x 0 khơng thỏa mãn phương trình (2) x x x 0 y y y Xét y 0 , PT (3) x t y Đặt ta được: t t 2t 0 t t t t 0 t t t 0( VN ) y 1 x y 1 y x 2 Với t x y, thay vào (2) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 2;1 ; 2; 1 Câu M H P A B E K I N Q OD C a) I trung điểm BC (dây BC không qua O) OI BC OIA 90 Ta có: AMO 90 (do AM tiếp tuyến (O)) ANO 900 (do AN tiếp tuyến (O)) Suy điểm O, M , N , I thuộc đường trịn đường kính OA b) Ta có AM , AN hai tiếp tuyến với (O) cắt A nên OA tia phân giác MON mà OMN cân O nên OA MN ABN ANC ANB ACN sd NB & CAN chung AB AN AB AC AN (1) AN AC +) ANO vuông N đường cao NH nên ta có AH AO AN (2) Từ (1) (2) suy AB AC AH AO (3) chung AHK AIO AHK AIO 900 & OAI AH AK AK AI AH AO (4) AI AO AI AK AB AC AK AB AC AI Từ (3) (4) suy Mà A, B, C cố định nên I cố định suy AK cố định, K giao điểm dây BC dây MN nên K thuộc tia AB suy K cố định c) Ta có PMQ 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét MHE QDM có MEH DMQ (cùng phụ với DMP ), EMH MQD (cùng phụ với MPO ) ME MH * MQ DQ PMH MQH MHP QHM 900 ; PMH MQH MHE QDM ( g.g ) MP MH MH (**) MQ HQ DQ MP ME ME 2 MP P MQ MQ Từ (*) (**) suy trung điểm ME Câu A A1 E B H M I J N K D B1 F C Gọi MN , EF đường nối trung điểm hai cạnh đối hình vng (hình vẽ) Giả sử đường thẳng d1 cắt cạnh AB A1 cắt MN I cắt cạnh CD B1 Ta có tứ giác AA1B1D BCB1 A1 hình thang có MI , NI đường trung bình hai hình thang Khi đó: SAA1B1D AD AA1 DB1 IM IM S A1BCB1 BC A B B C IN IN 1 MI 1 MI MN Suy MN nên , điểm I cố định Lập luận tương tự ta tìm điểm H , J , K cố định ( I , J , H , K chia đoạn thẳng cố định MN , NM , EF , FE theo tỉ số 1: 2) Có điểm cố định mà có 2019 đường thẳng qua nên theo ngun lý Dirichle phải có 505 đường thẳng đồng quy