PHỊNG GD VÀ ĐÀO TẠO QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2019-2020 MƠN TỐN Câu a 2 Tìm giá trị a 6a A 99 99.99 99 2020 cs 2020 cs b) Cho Hỏi A có chữ số a) Cho Câu 2 a) Giải phương trình x x x x x b) x x2 x ; y Tìm cặp số nguyên thỏa mãn x 12 y 27 Câu 3 3 a) Cho a, b, c ba số tự nhiên liên tiếp CMR: a b c chia hết cho 3 3 3 b) Cho biểu thức A 1 2019 2020 Tìm số dư chia A cho Câu Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh AB, BC lấy M, N tương ứng cho BM CN a) Chứng minh MON vuông cân b) AN cắt DC E , ON cắt BE F Tìm vị trí M , N để tứ giác ABEC , MBFN hình bình hành c) Chứng minh CF BE d) Tìm giá trị nhỏ chu vi tứ giác OMBN Câu Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A a b3 3ab a b2 ĐÁP ÁN Câu a)a 2 1 a 6a 2 1 61 2 2 3 6 10 10 b) A 99 99.99 99 10 000 99 99 10 000.99 99 2020 cs 99 99 2020 2020 cs 2020 cs 2020 cs 2020 cs 10 2020 10 99 99.00 00 99 99 99 99800 00 2020 cs 2020 cs 2020 cs 2020 cs 2019 cs Vậy A có 2019 2019 4020 chữ số Câu 1 DK : x 2 x x x x x a) Giải phương trình x x 1 x x x x 1 0 x x 1 x 1 0 x x 1 x 1 t 1 t 2x x t 0 Th1: x x 0 Đặt Phương trình cho có dạng : t 1 t 1 t t 2 t t 0 t 1 t t 1 0 t 1 t t 0 t t 0(VN ) Vậy t 1 x 1 x 1 Th2: x 1 x 1(tm) Vậy x 1 nghiệm phương trình b) x x2 x , y Tìm cặp số nguyên thỏa mãn x 12 y 27 x x x 12 y 27 x3 x 12 x y 27 x3 x 12 x y 19 x y 19 x y x x y y 19 y2 3y2 y 3y2 x 0 x x y y x 2. x 4 Ta có : 2 2 Do x, y số nguyên nên x y x x y y ước 19 Th1: x y 1 x y 2 2 x x y y 19 y y y y 19 x 5 x y y 2 x 0 y y 0 y Th2 : x y 19 2 x x y y 11 x y 19 2 y 19 y 19 y y 1 (không có giá trị y ngun) Câu a) Vì a, b, c số tự nhiên liên tiếp b a 1; c a a b3 c3 a a 1 a a a 3a 3a a 6a 12a 3a 9a 15a 3 a 3a 5a 1 3 Vậy a b c chia hết cho b) Theo phần a, 2 33 43 3; 53 63 3; .; 20183 20193 20203 3 Nên A chia cho dư Ta có : A 13 23 33 20193 20203 13 23 20203 33 20193 10103 10123 1 2022 22 2.2020 20202 2022. 22 3.2019 20192 2022 10102 1010.1012 10122 1 2022 22 2.2020 20202 22 3.2019 20192 10102 1010.1012 10122 Do 2022 chia hết A chia cho dư Câu A H O D M B N C F E a) Chứng minh MON vuông cân Ta có ABCD hình vng OB OC ; OBM OCN 45 , BOC 90 OBM OCN (c.g.c) OM ON , MOB NOC Ta có : MON MOB BON NOC BON BOC 90 Suy MON vuông cân O b) AN cắt DC E , ON cắt BE F Tìm vị trí M , N để tứ giác ABEC , MBFN hình bình hành *Tứ giác ABEC hình bình hành NB NC , NA NE +)Khi NB NC ABN CNE ( g c.g ) NA NE +)Khi NB NC ON đường trung bình BCD ON / / CD / / AB mà OM ON MON vuông O) OM AB M trung điểm AB Vậy M , N trung điểm AB, AC tứ giác ABEC hình bình hành *Tứ giác MBFN hình bình hành NF / / MB, NF MB +)Khi NF / / MB / / CD mà OB OD N trung điểm BC M trung điểm AB (chứng minh trên) +)Khi N trung điểm BC , mà ON / / DE hay OF / / DE BE ON NF CE F trung điểm Mặt khác, M , N trung điểm AB, BC OMBN hình vng NF MB ON Vậy M , N trung điểm AB, BC tứ giác MBFN hình bình hành c) Chứng minh CF BE NC NE CE / / AB NB NA (định lý Ta-let) +)Xét ANB có Mà NC BM , NB AM MB NE MN / / BF MA NA (định lý Ta-let đảo) BFN MNO (hai góc đồng vị) BFN MNO 45 MON vuông cân O +)Xét NCO NFB có: NCO NFB 45 ; ONC BNF (đối đỉnh) NC NO NCO ∽ NFB ( g g ) NFC ∽ NBO (c.g c ) NF NB NFC NBO , mà NBO 45 NFC 45 +)Ta có : BFC BFN NFC 45 45 90 CF BE d) Tìm giá trị nhỏ chu vi tứ giác OMBN Ta có :chu vi tứ giác OMBN COMBN OM ON BM BN Mà ON OM , BN MA COMBN 2OM AB 2OH AB AB AB 2 AB (không đổi) Dấu " " xảy M trung điểm AB Vậy chu vi tứ giác OMBN nhỏ 2AB M trung điểm AB Câu Ta có : A a b3 Thay 6 3ab a b 3ab a b 3ab 2 a b a b 2ab a b 2 A 8 3ab 2ab ab 1 A 8 3ab 8 * ab ab Do a, b dương, áp dụng BĐT Cơ si ta có : a b 2 ab ab 1 ab 1 a b 1 a b Nên A 8 Vậy Min A 8 a b 1