1 x2 4 x x Câu Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: x [ 1;1] \{0} PT x 4 x x Đặt x cos t , t [0; ] , phương trình trở thành cos t 4 cos t 3cos t sin t cos 3t cos 3t cos 2 k t 8 3t x k 2 t k 3t x k 2 t (k ) 5 3 Do t [0; ] nên t ; ; 8 Vậy phương trình có nghiệm x cos 5 3 , x cos , x cos 8 2 ,x , x 2 Cách 2: Bình phương hai vế (hoặc viết lại x ) x y y 2 x x Câu Giải hệ phương trình: ( x 2) y ( x 1) Lời giải Điều kiện: y 0 , x y x (1) ( x y)(2 x x x y y ) 0 2 x x x y y 0 (3) +) (3) x ( y 2) x y 0 x y 0 (vì y ) không thỏa mãn (2) 2 2 +) Với y x vào (2) ta ( x 2) x x x t x 2 Đặt t x t x ( x 2)t (t x )(t 2) 0 t 2 +) Với t x x x (vô nghiệm) +) Với t 2 x 1 2 x y 3 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) ( 3;3), ( 3;3) Câu Giải phương trình: sin x cos x 2 cos x.cos x 6 Lời giải cos2 x sin x PT sin x 2cos x 2cos x sin x 2cos x cos x cos x cos x sin x (sin x cos x sin x) 2cos x cos x.cos x sin x(1 2cos x) 2cos x cos x.cos x sin x( cos x) 2cos x cos x cos x k cos x 0 x cos x( cos x sin x 2) 0 sin x cos x 2 (1) (1) sin( x ) 1 x k 2 k ; x k 2 , k Vậy phương trình có nghiệm là: x Câu Tính góc A, B, C tam giác ABC biết góc thoả mãn hệ thức cos A 3(cos B cos 2C ) 0 Lời giải cos A 3(cos B cos 2C ) 0 2(2 cos A 1) cos( B C ).cos( B C ) 0 4cos A cos A.cos( B C ) 0 [2 cos A cos( B C )]2 3[1 cos ( B C )] 0 2 cos A cos( B C ) 0 cos A cos( B C ) 2 cos( B C ) 1 1 cos ( B C ) 0 Do A, B, C (0; ) nên B C ( ; ) , suy cos( B C ) cos A Do từ (*) ta cos( B C ) 1 (*) A A 6 B C B C 5 12 5 Vậy A , B C 12 Câu Cho tập hợp A gồm số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để số chọn có tổng chữ số Lời giải Số số tự nhiên có chữ số 9.10 số Do tổng chữ số số chọn nên ta có trường hợp sau +) Trường hợp 1: Số chọn có chữ số chữ số 0, 3 có chữ số đứng đầu nên có C4 cách xếp chữ số cịn lại, suy có C4 4 số +) Trường hợp 2: Số chọn có chữ số 1, chữ số chữ số 1 Khi C4 C4C3 18 số 1 +) Trường hợp 3: Số chọn có chữ số 1, chữ số chữ số 0, có C4 C4 8 số +) Trường hợp 4: Số chọn có chữ số chữ số 0, có C4 4 số +) Trường hợp 5: Số chọn có chữ số chữ số 0, có số Do có tất 18 35 số chọn 35 Xác suất cần tìm P 9.10 18000 (1 2013x) 2014 (1 2014 x) 2013 x x2 Lời giải Câu Tính giới hạn: L lim Để đơn giản mặt kí hiệu, đặt m 2013 , n 2014 Khi L lim x lim x (1 mx ) n (1 nx) m x2 (Cn0 mCn1 x m 2Cn2 x m3Cn3 x m nCnn x n ) (Cm0 nCm1 x n 2Cm2 x n3Cm3 x n mCmm x m ) x2 (m 2Cn2 n 2Cm2 ) x a3 x an x n lim x x2 lim( m2Cn2 n 2Cm2 a3 x an x n ) m2 Cn2 n 2Cm2 x Do L Câu mn(n m) 2013.2014(2014 2013) 2027091 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C1 : ( x 1)2 ( y 2)2 5 C2 : ( x 1)2 ( y 3)2 9 Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (C1) cắt (C2) hai điểm A, B thỏa mãn AB 4 Lời giải (C1 ) có tâm I1 (1; 2) , bán kính R1 5; (C2 ) có tâm I ( 1; 3) , bán kính R2 3 Ta có: d ( I1; ) (1) Gọi h d ( I ; ), ta có: AB 2 R22 h h (2) 5 Từ (1) (2) suy // I1 I qua trung điểm M 0; I1 I 2 Vì M nằm (C1 ) nên khơng xảy khả qua M, / / I1 I , suy phương trình có dạng x y m 0 Khi đó: d ( I1 ; ) 5m m 0, m 10 Suy có phương trình: x y 0 x y 10 0 Câu Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P trung điểm đoạn thẳng AD, BB’, C’D’ Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, tính theo a diện tích thiết diện Lời giải M A D S C B N R D' A' P B' C' Q Gọi S trung điểm AB, MS / / BD MS / /( BDC ') NS / / C ' D NS / /( BDC ') suy MNS / /( BDC ') Do MNS / / BC ' nên (MNS) cắt (BCC’B’) theo giao tuyến qua N song song với BC’ cắt B’C’ Q Do MNS / / BD / / B ' D ' nên (MNS) cắt (A’B’C’D’) theo giao tuyến qua Q song song với B’D’ cắt D’C’ P’, P’ trung điểm C’D’ nên P’ trùng với P Do MNS / / C ' D ' nên (MNS) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến qua P song song với C’D cắt DD’ R Do thiết diện cắt (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lục giác MSNQPR cạnh a có tâm O Suy ra: MR 3a 3a Vậy S MSNQPR S MSNQPR 6 SOMS 6 OM OS sin 600 4 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AB = BC = a, AD = 2a Các mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng CD SB Lời giải S A O K D I E B H C Gọi H AC BD SH ( SAC ) ( SBD) SH ABCD BH BD Kẻ HE AB AB SHE góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) SHE nên SHE 600 2a 2a Mà HE AD SH 3 Gọi O trung điểm AD ABCO hình vng cạnh a BO AC , mà BO SH BO SAC Gọi I AC BO , kẻ CK SI mà CK BO (do BO SAC ) CK SBD Có CD //BO d CD, SB d CD,( SBD) d C ,(SBD ) CK a Nhận thấy H trọng tâm tam giác BCO IH IC 2a IS IH HS 1 SH IC 3a Trong tam giác SIC có : S SIC SH IC SI CK CK 2 SI 3a Vậy d CD, SB Câu 10 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh a b c 1 2 2 2 7a b c a 7b c a b 7c Lời giải Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có (7a b c) (7 1)(7a b c ) 2 2 2 7a b c (7 a b c) 7a b c 7a b c a 3a 7a b c 7a b c 1 9 3a 3a a b c 3a 3a a b c 7a b c 3a 1 a a 1 a 7a b c a b c 7a b c a b c Ta lại có: 1 b (2) 2 3 a b c a 7b c c 1 c (3) a 7b c a b c Cộng vế theo vế ba BĐT (1), (2), (3) ta có a b c 1 2 2 2 7a b c a 7b c a b 7c Đẳng thức xảy a b c Tương tự ta có: b (1)