De so 51 de so 17 de thi hsg 11 tinh ha nam 2014 đã sửa

Câu Tính tổng nghiệm phương trình sau  0;1007  : 8sin x.cos x  sin x  cos x 0 7  3    sin  x    cos  x       Lời giải 7  3     Điều kiện xác định sin  x    3cos  x   0  x   k , k       pt  4sin x.sin x  sin x  cos x 0  2(cos x  cos x)  sin x  cos x 0    cos 3x  cos x  sin x  cos x cos  x   2 3       x  x   m2  x   m   , m       x   x     m2 x m     3 12  Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm phương trình cho x     m (m  ) 12    m 1007  m 2014, m   12 Suy nghiệm phương trình cho đoạn  0;1007  gồm 2014 nghiệm lập thành cấp số Vì x   0;1007     5 cộng có cơng sai d  , x1  12 2014  5  3043154  (2014  1)   Tổng nghiệm S   2  12 2 Câu Tìm hệ số x khai triển (1  x  x ) n biết n số tự nhiên thỏa mãn C21n 1  C22n 1   C2nn 1 22014  Lời giải C n 1 C n 1 n 1 C21n 1 C22nn1 C2nn 1 C2nn11  C20n 1  C21n 1   C2nn 1  (C20n 1   C22nn11 ) 22 n Từ giả thiết suy n 1007 Xét khai triển 2014   x  3x  2014 k   C2014 (1  x) k ( x ) 2014 k k 0 2014 k k   C2014  Cki ( x)i ( 3x )2014 k k 0 2014  k 0 i 0 k C k 2014 Cki ( 1)i ( 3) 2014 k x 4028 k i i 0 Ta tìm i, k số tự nhiên thỏa mãn  k 2014   i 4  4028  2k  i 4  k 2013    k  2014    i 2 0 i k    k 2012  i 0 2013 2012 Vậy hệ số x khai triển C2014  3C2013C2014  9C2014 Câu Từ chữ số 1, 3, 4, lập số tự nhiên có sáu chữ số, chữ số có mặt ba lần, chữ số cịn lại có mặt lần Trong số tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên số Tính xác suất để số chọn chia hết cho 4? Lời giải +) Gọi số cần tìm abcdef với a, b, c, d , e, f   1,3, 4,8 Sắp xếp chữ số vào vị trí, có C6 cách Sắp xếp chữ số 1;4;8 vào vị trí cịn lại có 3! cách Vậy có tất C6 3! 120 số +) Một số chia hết cho hai chữ số tận tạo thành 1số chia hết cho Trong số trên, số lấy chia hết cho có tận 48, 84 Trong trường hợp có C4 4 cách xếp chữ số 3và vào vị trí cịn lại, suy có số chia hết cho Gọi A biến cố: “ Số lấy chia hết cho 4” Vậy số kết thuận lợi cho A A 8 +) Số phần tử không gian mẫu  120 Xác suất biến cố A PA  Câu Cho dãy số  un  A    120 15 n u1 2014 * S  (n   ) Đặt n  Tìm limSn xác định sau:  n  k 1 uk un 1 1  u1u2 un Lời giải ui 1 1  u1u2 ui i 1  ui 1  ui (ui  1)  ui  i 1, ui 1   u1 i 1 1 1 1      ui 1  ui  ui ui ui  ui 1  Sn   1   u1 un 1 1        u1 u2  u3  un  un 1  u1 un 1  un 1  u1u2 un  u1 (1  u1 ) n  2014.2015n  0 un 1   2014.2015n  1 0  lim n  n   2014.2015 n   u n 1  lim lim sn  n    u1 1007 Câu Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R), AD = R Dựng hình bình hành ABMD, ACND Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác DMN Lời giải B A O M D I C N Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  DMN    ABMD, ACND hình bình hành suy AD BM , BM CN  Xét phép tịnh tiến theo vectơ AD T AD : A  D B M C N Suy TAD : O  I , suy OI = AD = R Vậy quĩ tích điểm I đường trịn tâm (O,R) Câu Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi I tâm hình vng CDD’C’, K trung điểm cạnh CB a Dựng thiết diện hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cắt mặt phẳng (AKI) Tính diện tích thiết diện theo a b Tính góc tạo hai đường thẳng A’D’ AQ với Q giao điểm (AKI) CC’ Lời giải C' D' A' B' N Q J I D C K B A a, +) Gọi J giao điểm AK CD, Q giao điểm JI CC’, N giao điểm IJ DD’ Thiết diện tứ giác AKQN Chứng minh AKQN hình thang có đáy KQ, AN +) Chứng minh C trung điểm JD, K trung điểm JA, Q trung điểm JN SJKQ JK JQ 1     S AKQN S JAN  S JKQ 3S JKQ SJAN JA JN 2 CQ 1   CQ  a +) CQ  ND QC '  CC ' 3 a 13 a a 10 +) Tính KQ  ; JK  ; JQ  cos KJQ  JQ  JQ  KQ  JK JQ 50 14a S JKQ  JK JQ.sin KJQ  12 14a S AKQN 3S JKQ  b, Vì A’D’//AD nên góc tạo A’D’, AQ góc tạo AQ, AD Có AC   AB  AD  AA2 a sin KJQ   cos KJQ  a 19 a 10 ; AD a; QD  3 AQ  AD  QD cos QAD   AQ AD 19 Tính AQ 