ĐỀ TOÁN 10 1 2 2 y2 x 4x y 2 x y x y x y 1 x y y x Bài Giải hệ phương trình: Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa abc 1 Chứng minh rằng: 1 1 2 2 (a 1) b (b 1) c (c 1) a Bài Cho tam giác ABC nhọn với đường cao AD, BE, CF H trực tâm tam giác Gọi M, N giao điểm cặp đường thẳng DE, CF DF, BE Gọi O’, T tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn Euler tam giác ABC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Chứng minh hai đường thẳng OA MN vng góc với Bài a) Cho số nguyên tố p, chứng minh với số nguyên dương n p , ta có ( n 1)!( p n)! ( 1) n (mod p) C pk ( 1) k (mod p ) b) Cho số nguyên tố p, chứng minh với k 0,1, 2, , p Bài Có đứa trẻ a, b, c, d , e & f tham gia chơi trò chơi tàu điện gồm chỗ ngồi Ban đầu a ngồi liền trước d , b ngồi liền trước e c ngồi liền trước f Người ta muốn đổi chỗ đứa trẻ cho khơng có đứa trẻ x lúc đầu ngồi liền trước y ngồi liền trước y Hỏi họ có cách để làm ? Bài Tìm tất hàm số f : Q Q thỏa mãn f (1) 2 f xy f x f y f x y 1, x, y Q HẾT - Bài Điểm Điều kiện: x 1; y 1 Khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 1 4x2 y y2 x 4x2 y y x Suy 2 2 x y x y 2 4x 2 4x y y2 x y y x 2 x y x y x y y x x y x y 16 x y x3 y xy x y x y x y 21 x y x y xy x y 0 4 1 2 x y x y x y xy 0 4 x y (Vì x 1; y 1 nên 1 x y x y 4 ) x y Thay vào phương trình (2) ta x x 1 2x x 2 x x x x 1 0 x y x y xy x x 0 x 2 x x 2 Vậy hệ có nghiệm x 2; y 2 Bà i Điể m 1 2 (a 1) b 1 a b 2a 2ab 2a x y z a ,b ,c y z x Ta được: Đặt 1 yz 2ab 2a 2 x y x 2 x x 2 xy yz zx y z y z y Suy ra: yz (a 1) b xy yz zx (1) 1 2 2 Tương tự: (b 1) c b c 2b 2bc 2b 2 1 2 (c 1) a c a 2c 2ca 2c x y z a ,b ,c y z x Ta được: Đặt 1 xz 2 (b 1) c 2bc 2b 2 y z y 2 yz yx xz z x z (2) 1 yx 2 z x z (c 1) a 2ca 2c 2 2 zx zy xy x y x (3) Từ (1), (2), (3) suy điều phải chứng minh Bà i Điể m Gọi P, Q trung điểm AH BC Dễ dàng nhận thấy O ' Q AH AP HP T trung điểm PQ Mặt khác BOC 2 1800 BHC 2 BAC ' C 2 BAC BO nên BOC BO ' C Do BOC BO ' C OQ O ' Q Mà O ' Q AP OQ AP A E F H P N M T O' B D Q O C Vậy tứ giác APOQ hình bình hành, lại có T trung điểm PQ nên T trung điểm OA hay điểm O, T, A thẳng hàng (1) Ta có N /( O ) NH NB N /( BFHD ) NH NB NF ND; N /(T ) NF ND N /(O ) N /(T ) Do N thuộc trục đẳng phương đường tròn (T) (O) Tương tự M thuộc trục đẳng phương đường tròn (T) (O) Vậy MN vng góc với OT (2) Từ (1) (2) suy MN OA Bài Điểm a) Khi p 2 hiển nhiên đúng, ta chứng minh p Theo định lý Wilson, ( p 1)! (mod p) ( p 1)! ( p 1).( p 2).( p 3) ( p ( p n 1))( p ( p n)) 2.1 ( p 1).( p 2).( p 3) ( p ( p n)).(n 1)! (mod p ) Ta có: ( p 1) (mod p), ( p 2) (mod p), ,( p ( p n)) ( p n) (mod p) Suy ( p 1).( p 2).( p 3) ( p ( p n)) ( 1) n p ( p 1).( p 2).( p 3) ( p n) ( 1) n p ( p n)!(mod p ) ( p 1)!( 1) n p ( p n)! ( 1) (mod p) ( p 1)!( p n)! ( 1) n (mod p) ( p 1)! C pk k !( p k 1)! b) k !( p k 1)!C kp ( p 1)! (mod p) k 1 Áp dụng kết câu a) cho n k ta : k !( p k 1)! ( 1) (mod p) Suy ra: C pk ( 1) k (mod p ) với k 0,1, 2, , p Bài Điểm Đầu tiên ta đếm tổng số cách xếp đứa trẻ vào vị trí, có tất 6! cách xếp Gọi A tập cách xếp để a ngồi liền trước d Gọi B tập cách xếp để b ngồi liền trước e Gọi C tập cách xếp để c ngồi liền trước f Ta đếm số phần tử tập A Ta xem a d phần tử, a d có cách xếp (do a luồn ngồi liền trước d) Mỗi cách xếp đứa trẻ lại hoán vị tập gồm phần tử Do đó: A 4!5 120 B C 4!5 120 Tương tự, ta có: Tiếp theo ta tính số phần tử tập A B Ban đầu a ln ngồi trước d nên a có vị trí Tiếp theo b ln ngồi trước e nên b có vị trí Do đứa trẻ a d, b e ngồi cạnh nên ta cần chọn vị trí cho hai đứa trẻ cịn A B 5 3 2! 30 lại số cách chọn 2! Vậy tổng số cách chọn B C A C 5 3 2! 30 Tương tự ta tính được: Cuối ta tính số phần tử tập A B C Do đứa trẻ a d, b e, c f ngồi cạnh (a trước d, b trước e c trước f) nên ta có A B C 3! 6 Áp dụng nguyên lý bù trừ: A B C 120 3 30 3 276 Vậy tổng số cách xếp 276 cách Bài Điểm f x 1 f x 1, x Q Trong (1) lấy y 1 ta Bằng quy nạp ta chứng minh f x n f x n, x Q, n N f n f n 1 f 1 n n 1, n Z x ; y n n Trong (1) thay ta 1 1 1 f n f f n f n n 1 n n n 1 1 f f n n n 1 f 1 n n m x Q, x , m Z , n N * n Với ta có 1 1 1 f x f m f m f f m n n n m 1 1 m 1 1 1 m x n n n Thử lại thấy thỏa mãn Vậy có hàm số thỏa mãn đề f x x 1, x Q