luận văn thạc sĩ môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất và tính catenary của giá không trộn lẫn của môđun hữu hạn sinh

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHèN PHAN TH ẫ QUYN MặUN ẩI ầNG IU A PHìèNG CP CAO NHT V TNH CATENARY CếA GI KHặNG TRËN LˆN CÕA MỈUN HÚU H„N SINH LUŠN V‹N TH„C S TON HC Bẳnh nh - Nôm 2019 download by : skknchat@gmail.com BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HC QUY NHèN PHAN TH ẫ QUYN MặUN ẩI ầNG I—U ÀA PH×ÌNG C‡P CAO NH‡T V€ TNH CATENARY CÕA GI KHặNG TRậN LN CếA MặUN HU HN SINH Chuyản ngnh: Ôi số v lẵ thuyát số M số: 8460104 Ngữới hữợng dăn: TS NGUYN THI HA download by : skknchat@gmail.com Möc löc MÐ †U 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 ¦y õ àa ph÷ìng hâa Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ Chi·u Krull Mæun Artin Biu diạn thự cĐp Chi·u Noether Mổun ối ỗng iÃu a phữỡng Tẵnh catenary cừa vnh ỗng cĐu phng 11 14 15 17 19 21 22 MỈUN ÈI ầNG IU A PHìèNG CP CAO NHT 25 2.1 Tẵnh ch§t: Ann(0 :A p) = p, ∀ p ∈ V (AnnR(A)) 26 2.2 Tẵnh chĐt (*) ối vợi mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt 30 2.3 T½nh catenary cõa gi¡ khỉng trën lăn 36 K˜T LUŠN 45 DANH MÖC T€I LI›U THAM KHƒO 46 download by : skknchat@gmail.com QUY˜T ÀNH GIAO — T€I LUŠN V‹N download by : skknchat@gmail.com 49 luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh MÐ †U V o nhúng n«m 1960, A Grothendieck  giợi thiằu lỵ thuyát ối ỗng iÃu a phữỡng Ngy nay, lỵ thuyát ny  tr thnh cổng cử khổng th thiáu nhiÃu lắnh vỹc khĂc cừa ToĂn hồc nhữ Ôi số giao hoĂn, Hẳnh hồc Ôi số, Ôi số tờ hủp Mởt nhỳng kát quÊ quan trồng và mổun ối ỗng iÃu a phữỡng l tẵnh triằt tiảu v tẵnh Artin Cho (R, m) l  mët v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v  M l R-mổun hỳu hÔn sinh thẳ Hmd (M ) 6= v khổng hỳu hÔn sinh, õ d = dimM v  Hmi (M ) l  mỉun Artin vỵi måi i ≥ Theo I G Macdonald [12], tªp c¡c iảan nguyản tố gưn kát cừa R-mổun Artin A, kẵ hiằu l AttR(A) cõ vai trỏ nhữ têp cĂc iảan nguyản tố liản kát ối vợi mổun hỳu hÔn sinh NhiÃu nh ToĂn hồc quan tƠm nghiản cựu têp cĂc iảan nguyản tố gưn kát cừa mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp bĐt kẳ vợi giĂ cỹc Ôi Hmi (M ) v mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt HId(M ) vợi giĂ l mởt iảan I cõa R, º tø â l m rã c§u tróc mỉun M v vnh cỡ s R Trữợc hát, nôm 2007 Nguyạn Tỹ Cữớng, Lả Thanh Nhn v Nguyạn Th Dung [7]  à xuĐt nghiản cựu tẵnh chĐt: luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh Vỵi méi R-mỉun Artin A, AnnR (0 :A p) = p vợi mồi iảan nguyản tố p chựa AnnR(A) Vợi mửc ẵch  tẳm hiu sƠu hỡn và Ôi số giao hoĂn, chúng tổi  chồn à ti:"Mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt v tẵnh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn cừa mổun hỳu hÔn sinh" Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo thẳ luên vôn gỗm cõ hai chữỡng Chữỡng 1: Kián thực chuân b Chữỡng ny trẳnh by vưn tưt nhỳng kián thực cỡ bÊn và Ưy ừ; a phữỡng hõa; sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ; chiÃu Krull; mổun Artin; biu diạn thự cĐp; chiÃu Noether; mổun ối ỗng iÃu a phữỡng; tẵnh catenary cừa vnh v ỗng cĐu phng Chữỡng 2: Mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt Ơy l nởi dung chẵnh cừa luên vôn Chúng tổi s tián hnh nghiản cựu và tẵnh chĐt: Ann(0 :A p) = p vợi mồi p V (AnnR(A)); tẵnh chĐt (*) ối vợi mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt v tẵnh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn TĐt cÊ cĂc kát quÊ luên vôn ny ữủc trẵch dăn chừ yáu tø t i li»u [7] Nhi»m vư cõa chóng tỉi l  lm ró lÔi cĂc chựng minh õ v hằ thống lÔi theo mởt bố cửc hủp lỵ Luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn ThĂi Hỏa ThƯy  dnh nhiÃu thới gian v tƠm huyát viằc nh hữợng, gõp ỵ, ởng viản v giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh thỹc hiằn luên vôn ny Tổi xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban giĂm hiằu Trữớng Ôi Hồc Quy Nhỡn cĂc th¦y, cỉ gi¡o v  ngo i Khoa To¡n v  Thèng kả  tên tẳnh giÊng dÔy v giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp Cuối tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc hồc viản lợp cao hồc ToĂn khõa 20, bÔn b v nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh  ởng viản, giúp ù, tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn Mc dũ bÊn thƠn  hát sùc cè g­ng v  nê lüc l m vi»c r§t nhi·u  hon thnh luên vôn ny iÃu kiằn, thới gian, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn s khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Vẳ vêy, tổi rĐt mong ữủc sỹ gõp ỵ cừa thƯy, cổ giĂo v bÔn ồc  luên vôn ữủc hon chnh hỡn Tổi xin chƠn th nh c£m ìn Ng y 29 th¡ng n«m 2019 Sinh vi¶n thüc hi»n · t i Phan Thà é Quy¶n luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh Ch÷ìng KI˜N THÙC CHUN B Trong chữỡng ny, chúng tổi nhưc lÔi mởt số kián thực  biát và Ưy ừ; a phữỡng hõa; sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ; chiÃu Krull; mổun Artin; biu diạn thự cĐp; chiÃu Noether; mổun ối ỗng iÃu a phữỡng; tẵnh catenary cừa vnh v ỗng cĐu phng nhơm thuên tiằn cho viằc theo dói kát quÊ chữỡng sau 1.1 Ưy ừ Nởi dung cừa tiát ny ữủc trẳnh by theo ti liằu [14] Cho R l mët v nh giao ho¡n câ ìn ành ngh¾a 1.1.1 Mët v nh låc l  mët v nh R cịng vỵi mët hå (Rn )n>0 c¡c nhâm cõa R thäa m¢n c¡c i·u ki»n: (i) R0 = R; (ii) Rn+1 ⊂ Rn vỵi måi n > 0; (iii) Rn Rm ⊂ Rn+m vỵi måi n, m > R luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh V½ dư 1.1.2 (i) Gi£ sû R l  mët v nh L§y R0 = R v  Rn = vỵi måi n > Khi â (Rn)n>0 l  mët låc cõa R v  gåi l  mët lồc tƯm thữớng (ii) Cho I l mởt iảan cừa R Khi â (I n )n>0 l  mët låc cõa R, nâ ÷đc gåi l  mët låc I -adic (iii) Cho (Rn )n>0 l  mët låc cõa R v  S l  mët v nh cõa R Khi â (Rn ∩ S)n>0 l  mët låc cõa S , nâ ÷đc gåi l lồc cÊm sinh trản S nh nghắa 1.1.3 Cho R l  mët v nh låc vỵi låc (Rn)n>0 Mët R-mỉun M låc l  mët R-mỉun M cịng vỵi mët hå (Mn)n>0 c¡c R-mỉun cõa M thäa m¢n c¡c i·u ki»n: (i) M0 = M ; (ii) Mn+1 ⊂ Mn vỵi måi n > 0; (iii) Rn Mm ⊂ Mn+m vợi mồi n, m > Vẵ dử 1.1.4 (i) Cho M l  mët R-mæun v  R câ låc tƯm thữớng Khi õ M cụng cõ mởt lồc tƯm thữớng ữủc nh nghắa bi M0 = M v Mn = vỵi måi n > (ii) Cho I l  mët i¶an cõa R v  x²t låc I -adic cừa R nh nghắa lồc I -adic cừa M bơng c¡ch l§y Mn = I n M Khi â M l  mët R-mæun låc Cho M l  mët R-mæun låc Låc (Mn)n>0 tr¶n M x¡c ành mët tỉpỉ tr¶n M tữỡng thẵch vợi cĐu trúc nhõm abel cừa M m (Mn)n>0 l mởt cỡ s lƠn cên cên cõa Tỉpỉ n y ÷đc gåi l  tỉpỉ c£m sinh bði låc (Mn)n>0 Cho M l  mët R-mỉun vỵi låc (Mn)n>0 v tổpổ ữủc nh nghắa bi lồc (Mn)n0 Trữợc hát chúng tổi nhưc lÔi khĂi niằm dÂy Cauchy: Mởt dÂy (xn) cĂc phƯn tỷ M ữủc gồi l mởt dÂy Cauchy náu vợi mội k N, tỗn tÔi n0 cho xm xn Mk , vỵi måi m, n > n0 luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh Gồi T l têp tĐt cÊ cĂc dÂy Cauchy M Trản T quan hằ hai ngổi ữủc nh nghắa bi: Vợi mồi (xn), (yn) T, (xn) ∼ (yn) ⇔ vỵi méi m ∈ N, tỗn tÔi n0 cho xn yn Mm , vỵi måi n ≥ n0 Khi â quan hằ trản l quan hằ tữỡng ữỡng Kẵ hiằu c = T /∼ = {(xn )|(xn ) ∈ T } M Tữỡng tỹ, gồi S l têp cĂc dÂy Cauchy R ựng vợi lồc (Rn)n0 Kẵ b +, ) l  v nh giao ho¡n hi»u Rb = S/∼ = {(an)n≥0 | (an) ∈ S} Khi â (R, câ ìn vỵi hai ph²p to¡n: b Vỵi måi (an)n≥0, (bn)n≥0 ∈ R, (an ) + (bn ) = (an + bn )n≥0 ; (an ).(bn ) = (an bn )n≥0 c ữủc nh Tiáp theo, hai php toĂn cởng v php nhƠn vổ hữợng trản M nghắa bi c, (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) Vỵi måi (xn), (yn) ∈ M n≥0 c, (an ).(xn ) = (an xn ) Vỵi måi (an) ∈ Rb, vỵi måi (xn) ∈ M c l  R b-mỉun Khi â M Cho I l  mët i¶an cõa v nh R, tổpổ ữủc nh nghắa trản M bi lồc c ữủc gồi l bao Ưy ừ I -adic ữủc gồi l tỉpỉ I -adic v  bao ¦y õ M I -adic luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 35 (iii) =⇒ (i) Cho p ∈ V(AnnHmd (M )) Gi£ sû r¬ng N-dim(0 :H (M ) p) = d − r Khi â, theo ([21], Mằnh à 2.10) tỗn tÔi x1 , , xr p lêp thnh mởt phƯn hằ tham số cõa Hmd (M ) p Rã r ng, ph¦n h» tham số ny l cỹc Ôi p t d m :Hmd (M ) (x1 , , xr )R = A1 + + An l  mët biºu di¹n thù c§p tèi thiºu cõa :H (M ) (x1, , xr )R, õ Ai l qi-thự cĐp Vợi mội y m, ỵ rơng y l mởt ph¦n tû tham sè cõa :H (M ) (x1, , xr )R n¸u v  ch¿ n¸u y ∈/ qi vợi mồi i thọa mÂn N-dim Ai = d r (Xem [21], Bê · 2.14) V¼ (x1, , xr ) l mởt phƯn hằ tham số cỹc Ôi cừa Hmd (M ) p n¶n ta câ d m d m p⊆ [ N-dim A =d−r qi i v  â p ⊆ qi vỵi i n o â thäa m¢n i·u ki»n N-dim Ai = d − r Tø giÊ thiát (iii), ta cõ th kim tra rơng (x1, , xr ) l  mët ph¦n h» tham sè cüc Ôi cừa M/UM (0) p Vẳ thá tỗn tÔi mët i¶an nguy¶n tè
q ∈ Ass M/UM (0)/(x1 , , xr )M/UM (0) cho dim R/q = d − r v  p ⊆ q
Hìn núa v¼ p ∈ Supp M/UM (0)/(x1, , xr )M/UM (0) n¶n ta suy p = q Do â, dim R/p = d − r V¼ Ai l  qi -thù cĐp, nản theo Bờ à 2.2.4 (i) ta ữủc N-dim Ai ≤ dim R/qi M°t kh¡c, v¼ p ⊆ qi n¶n ta câ d − r = N-dim Ai ≤ dim R/qi ≤ dim R/p = d − r Do â p = qi n¶n suy p ∈ Att(0 :Hmd (M ) (x1 , , xr )R) luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 36 Khi õ, tỗn tÔi iảan nguy¶n tè bp ∈ AttRb (0 :H b p ∩ R = p i·u n y k²o theo d m (M ) (x1 , , xr )R) cho p ⊆ Ann(0 :Hmd (M ) p) ⊆ AnnRb (0 :Hmd (M ) b p) ∩ R = b p ∩ R = p Do â Ann(0 :H d m (M ) p) = p 2.3 T½nh catenary cõa gi¡ khỉng trën lăn Nhưc lÔi rơng vnh R l catenary náu vợi méi c°p i¶an nguy¶n tè p, q cõa R cho p q, mồi dÂy bÂo hỏa cĂc iảan nguyản tố bưt Ưu tứ p kát thúc tÔi q Ãu cõ ở di (hỳu hÔn) Chú ỵ rơng v nh R l  ¯ng chi·u, ngh¾a l  dimR/q = dimR vợi mồi iảan nguyản tố tối thiu q AssR thẳ R l catenary náu v ch náu dimR/p + htp = dimR vợi mồi iảan nguyản tố cừa R Ta nõi rơng Supp M l catenary náu vợi mội cp iảan nguyản tố p, q Supp M vợi p q, mồi dÂy bÂo hỏa cĂc iảan nguyản tố xuĐt phĂt tứ p v kát thúc tÔi q cõ chung ở di Tứ nh nghắa và tẵnh catenary cừa Supp M ta thĐy rơng Supp M l catenary v  ch¿ v nh R/Ann M l  catenary Do â Supp M l  catenary v  dim R/p = d vợi mồi iảan nguyản tố p Ass M v  ch¿ dim R/p + dim Mp = d vợi mồi p Supp M c biằt, vẳ dim R/p = d vợi mồi p AssM/UM (0) nản giĂ khổng trởn lăn Usupp M = Supp M/UM (0) l  catenary n¸u v  ch¿ n¸u dim R/p + dim Mp = d vỵi måi p ∈ Usupp M ành lỵ sau Ơy l kát quÊ chẵnh cừa tiát ny, nõ ch rơng tẵnh chĐt (*) cho Hmd (M ) thẳ tữỡng ữỡng vợi tẵnh catenary cừa Usupp M Trữợc chựng minh nh lỵ ny ta cƯn chựng minh nhúng bê · sau luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 37 Bờ à sau nõi rơng náu R l vnh a phữỡng Ưy ừ v M l khổng trởn lăn thẳ vợi mội phƯn hằ tham số (x1, , xr ) cõa M, mæun M/(x1, , xr )M l  ng chiÃu Bờ à 2.3.1 GiÊ thiát rơng R l vnh a phữỡng Ưy ừ theo tổpổ v M l mởt R-mổun hỳu hÔn sinh cho dim R/p = d vỵi måi p ∈ AssM Khi â vỵi méi ph¦n h» tham sè (x1, , xr ) cõa M v  méi i¶an nguy¶n tè tèi thiºu p cõa M/(x1, , xr )M, ta câ dimR/p = d − r m-adic Chùng minh Cho (x1, , xr ) l  mët ph¦n h» tham sè cõa M v  p l  mët iảan nguyản tố liản kát tối thiu cừa M/(x1, , xr )M Trữớng hủp r = d l tƯm thữớng Gi£ sû r < d V¼ (x1, , xr ) l mởt phƯn hằ tham số cừa M nản ta câ dim(R/Ann M + (x1, , xr )R) = dim(M/(x1, , xr )M ) = d − r Hìn núa, vẳ p l iảan nguyản tố tối thiu cừa Ann M + (x1, , xr )R n¶n theo ([15], ành lỵ 18) ta cõ dimR/p d r Khi õ tỗn tÔi iảan nguyản tố tối thiu q cừa Ann M cho q ⊆ p V¼ q ∈ AssRM nản theo giÊ thiát ta cõ dim R/q = d Hìn núa, p l  i¶an nguy¶n tè tèi tiºu cõa q + (x1, , xr )R Do â ht(p/q) khổng vữủt quĂ r Vẳ R/q l catenary chiÃu l d n¶n ta câ ht (p/q) + dimR/p = d Suy dim R/p = d − ht(p/q) luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 38 Do ht(p/q) ≤ r n¶n dimR/p = d − ht (p/q) ≥ d − r M°t kh¡c dimR/p ≤ d − r cho n¶n dimR/p = d − r Bê · 2.3.2 Cho p ∈ V(Ann Hmd (M )) cho dim Mp + dimR/p = d Khi â Ann(0 :H d m (M ) p) = p Chùng minh L§y p ⊇ Ann Hmd (M ) l  mët i¶an nguy¶n tè cõa R cho dim Mp + dimR/p = d °t dimR/p = d − r Theo gi£ thi¸t ta suy dim Mp = r Vẳ thá tỗn tÔi mởt iảan nguyản tè cõa q ∈ Ass M cho q ⊆ p v  ht (p/q) = r V¼ dimR/q ≥ dimR/p + ht(p/q) = d, n¶n ta suy dimR/q = d Chú ỵ rơng b pR b = dim R/p = d − r dim R/ b pR b cho dim R/ b b Vẳ thá tỗn tÔi mởt i¶an nguy¶n tè bp ∈ AssRb R/ p = d−r b pR b nản ta cõ b Vẳ bp AssRb R/ p ∩ R ∈ Ass R/p, tùc l  b p R = p Chú ỵ rơng Ănh xÔ tỹ nhiản R Rb l ỗng cĐu hon ton phng, õ ỗng cĐu ny thọa mÂn nh lỵ Going down (Xem [15], nh lỵ 4), nản tỗn tÔi mởt iảan nguyản tố bq Spec Rb cho bq ∩ R = q, bq ⊆ bp v  luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 39 ht (bp/bq) ≥ r V¼ b qR b d = dim R/q = dim R/ b b ≥ dim R/ q b b = dim R/ p + ht (b p/b q) ≥d−r+r = d b b bbq l  ho n Suy dim R/ q = d Hỡn nỳa, vẳ ỗng cĐu cÊm sinh Rq → R to n ph¯ng v  Mq 6= n¶n ta câ bbq ∼ cbq 6= Mq ⊗Rq R =M c V¼ dim R/ b b Do â bq ∈ SuppRb M q = d v  b p ⊇ b q n¶n ta câ AnnRb Hmd (M ) Do õ tứ tẵnh chĐt ối ngău Matlis ta suy AnnRb (0 :H d m (M ) b p ⊇ b p) = b p Cuèi còng ta câ p ⊆ Ann(0 :Hmd (M ) p) ⊆ AnnRb (0 :Hmd (M ) b p) ∩ R = b p ∩ R = p Do â Ann(0 :H d m (M ) p) = p nh lỵ 2.3.3 CĂc mằnh · sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) Usupp M l  catenary (ii) H d (M ) thọa mÂn tẵnh chĐt (*) m Chùng minh (i) =⇒ (ii) Cho p ∈ V (AnnHmd (M )) Vẳ UsuppM l catenary nản dim R/p + dim Mp = d Do â theo Bê · 2.3.2 ta câ: luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 40 Ann(0 :H (M ) p) = p Vªy Hmd (M ) thọa mÂn tẵnh chĐt (*) (ii) = (i) Cho p Usupp M Ta cƯn chựng minh rơng dim R/p + dim Mp = d N¸u p = m th¼ rã r ng d m dim R/m + dim Mm = + dim M = d Gi£ sû p 6= m °t dim R/p = d − r Ta cƯn chựng minh dim Mp = r Vẳ p ⊇ Ann M/UM (0) n¶n ta câ dim
M/UM (0)/p(M/UM (0)) = dim R/p = d − r V¼ thá tỗn tÔi mởt phƯn hằ tham số cỹc Ôi (x1, , xr ) cõa M/UM (0) p V¼ p UsuppM nản theo nh lẵ 2.2.5 tỗn tÔi i¶an nguy¶n tè c cho b b p ∈ UsuppRb M p ∩ R = p °t c1 = M c/U c(0) M M V¼ (x1, , xr ) l mởt phƯn hằ tham số cừa M/UM (0) nản nâ cơng l  mët c1 ph¦n tham sè cõa mỉun Ưy ừ m-adic M/\ UM (0) cừa M/UM (0) Vẳ M \ c1 = dim M/ l  mỉun th÷ìng cõa mỉun M/\ UM (0) v  dim M UM (0) n¶n c1 Chú ỵ rơng: (x1 , , xr ) l  mët ph¦n h» tham sè cõa M c1 /(x1 , , xr−1 )M c1 b p ∈ SuppRb M c1 /(x1 , , xr−1 )M c1 n¶n bp bp1 vợi iảan nguyản tố tối tiu pb1 SuppRb M c1 /(x1 , , xr−1 )M c1 n¶n theo Bờ à 2.3.1 Vẳ xr l mởt phƯn tỷ tham sè cõa M ta suy xr ∈/ pb1 °t p1 = pb1 ∩ R Khi â xr ∈/ p1 Vẳ xr p nản ta cõ p p1 v p 6= p1 Lêp luên tữỡng tỹ nhữ trản, tỗn tÔi iảan nguyản tố tối tiu c1 /(x1 , , xr−2 )M c1 b p2 ∈ SuppRb M luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 41 b Khi â p1 ⊃ p2 v  p1 6= p2 v¼ xr−1 ∈ p1 \p2 cho bp1 ⊇ bp2 t p2 = bp2 R Tiáp tửc quĂ trẳnh trản, sau r bữợc ta nhên ữủc mởt dÂy cĂc iảan nguy¶n tè chùa Ann M p ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ pr cho pi 6= pi+1 vỵi måi i = 1, 2, , r − Do â dim Mp = r Khi â dimR/p + dim Mp = d − r + r = d vỵi måi p ∈ Usupp M Vªy Usupp M l  catenary Hằ quÊ sau Ơy, ữủc suy tứ nh lỵ 2.3.3, cho mởt c trững và tẵnh catenary cừa cĂc miÃn nguyản Noether qua tẵnh chĐt (*) Hằ quÊ 2.3.4 GiÊ sỷ (R, m) l mởt miÃn nguyản a phữỡng Noether chi·u d Khi â R l  catenary n¸u v  ch náu Hmd (R) thọa mÂn tẵnh chĐt (*) nh lỵ 2.3.5 CĂc mằnh à sau l tữỡng ữỡng (i) Ann(0 :H (M ) p) = p vỵi måi p ∈ V(Ann Hmd (M )) (ii) Usupp M l  catenary c} (iii) Usupp M = {bp ∩ R : bp UsuppRb M (iv) Vợi mội dÂy x1, , xd c¡c ph¦n tû m, x = (x1, , xd) l  mët h» tham sè cõa Hmd (M ) n¸u v  ch¿ n¸u nâ l  mët h» tham sè cõa M/UM (0) d m Chựng minh Tứ nh lỵ 2.2.5 ta suy (i) ⇔ (iii) ⇔ (iv) Hìn núa tứ nh lỵ 2.3.3 ta ữủc (i) (ii) Vêy ta ữủc iÃu cƯn chựng minh Cho = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M l  mët låc c¡c mæun cõa M, â Mi−1 l  mổun lợn nhĐt cừa Mi vợi dim Mi1 < dim Mi vỵi luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 42 måi i = 1, , t Låc n y luæn luæn tỗn tÔi v nhĐt Ta gồi lồc ny l låc chi·u cõa M (Xem [6]) Cho dim Mi = di vợi i = 1, , t Khi õ d ng ta câ thº kiºm tra r¬ng Supp M = [ i=1, ,t Supp Mi/Mi−1 Vỵi méi i = 1, , t ta kẵ hiằu dim R/p = di vợi måi p ∈ Ass Mi/Mi−1 H» qu£ 2.3.6 Supp M l  catenary n¸u v  ch¿ n¸u Hdm (Mi/Mi−1) thäa i mÂn tẵnh chĐt (*) vợi mồi i = 1, , t BƠy giớ ta nghiản cựu mởt vi miÃn nguyản Noether a phữỡng khổng catenary Chú ỵ rơng bĐt kẳ miÃn nguyản chiÃu Ãu l catenary, văn tỗn tÔi miÃn nguyản Noether a phữỡng khổng catenary chiÃu d vỵi d ≥ (Xem [1, (8)]) M»nh · 2.3.7 Cho R l mởt miÃn nguyản Noether a phữỡng chiÃu khæng catenary °t U = {p ∈ Spec R : dim R/p + htp = 2}; V = {p ∈ Spec R : dim R/p + htp = 3} Khi â c¡c m»nh · sau l  óng: (i) Usupp R = Spec R = U ∪ V v  U, V 6= ∅ (ii) Ann(0 :H (R) p) = p vợi mồi p V Những Ann(0 :H (R) p) 6= p vỵi måi p ∈ U b U b (0) cho b (iii) Náu p V thẳ tỗn tÔi bp Supp R/ p R = p Nh÷ng R b U b (0) cho b náu p U thẳ khổng tỗn tÔi bp Supp R/ p ∩ R = p R (iv) N-dim H2m(R) = v  dim R/Ann H2m(R) = 3 m m luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 43 Chựng minh (i) Vẳ R khổng catenary nản U 6= ∅ Do dim R V 6= ∅ Rã r ng Spec R = U V (ii) Theo nh lỵ 2.3.3, ta câ Ann(0 :H Ann(0 :H (M ) p) = p vỵi måi p ∈ V m (M ) p) = p, = nản vợi mồi p U v  m (iii) Suy tø (ii) v  nh lỵ 2.2.5 (iv) LĐy p U Khi õ dim R/p = Do ỗng cĐu phng R Rb l hon ton phng nản tỗn tÔi bp Spec Rb cho bp ∩ R = p V¼ p 6= m n¶n b Suy b p 6= mR b b < dim (R/ p) ≤ dim R/p = b b b U b (0)) Do â dim (R/ p) = M°t kh¡c theo (iii) ta câ b p∈ / Supp(R/ R Tø â suy bp + AnnRb H3m(R) Hỡn nỳa, vẳ ỗng cĐu tỹ nhiản R Rb l phng nản thọa mÂn nh lỵ Going down, õ htbp htp = Vẳ thá tỗn tÔi bq Ass Rb b b cho bq ⊂ bp v  bq 6= bp Do â dim R/ q ≥ V¼ b p + AnnRb H3m (R) n¶n b b dim R/ q = Khi â, theo ([2], H» qu£ 11.3.3) ta ÷đc b q ∈ AttRb H2m (R) v  â bq ⊇ AnnRb H2m(R) Tø â suy b Ann b H2 (R) ≥ N-dim H2m(R) = dim R/ R m Chú ỵ rơng bi ([5], nh lỵ 2.3.1) ta cõ N-dimH2m(R) Vẳ thá N-dim H2m(R) = M°t kh¡c v¼ bq ∈ AttRb H2m(R) ∩ Ass Rb, n¶n ta câ b q ∩ R ∈ Att H2m (R) ∩ Ass R luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 44 Do R l  mët mi·n nguy¶n n¶n bq R = Vẳ thá = AnnH2m(R) Vêy dim R/Ann H2m(R) = luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 45 KT LUN Trong luên vôn ny, chúng tổi  trẳnh by v chựng minh chi tiát mởt số kát quÊ [7] Chữỡng 1, chúng tổi trẳnh by cĂc kián thực cỡ bÊn vÃ: Ưy ừ; a phữỡng hõa; sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ; chiÃu Krull; mổun Artin; biu diạn thự cĐp; chiÃu Noether; mổun ối ỗng iÃu a phữỡng; tẵnh catenary cừa vnh v ỗng cĐu phng Chữỡng 2, chúng tổi trẳnh by mởt số vĐn à và mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt theo [7], cử th l: tẵnh chĐt: Ann(0 :A p) = p vợi mồi p V (AnnR (A)); tẵnh chĐt (*) ối vợi mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt v tẵnh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 46 DANH MệC T€I LI›U THAM KHƒO [1] Brodmann, M., A particular class of regular domains, J Algebra, 54, (1978), 366-373 [2] Brodmann, M and Sharp, R Y., Local Cohomology : An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 [3] Cohen, L S., On the structure and ideal theory of complete local rings, Trans Amer Math Soc 59 (1946), pp 54-106 [4] Cuong, N T and Nhan, L T., Dimension, multiplicity and Hilbert function of Artinian modules, East-West J Math., (2), (1999) pp 179-196 [5] Cuong, N T and Nhan, L T., On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math 30 (2002), pp 121-130 [6] Cuong, N T and Nhan, L T., On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generaliized Cohen-Macaulay modules, J Algebra 267 (1) (2003), pp 156-177 luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 47 [7] Cuong, N T and Dung, N T and Nhan, L T., Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module, Comm Algebra, 35 (2007), pp 1691-1701 [8] Ferrand, D and Raynaud, M.,Fibres formelles d'un anneau local Noetherian, Ann Sci.E'cole Norm Sup (4) (1970), pp 295-311 [9] Kirby, D., Artinian modules and Hilbert polynomials, Quart Math Oxford (2) 24 (1975), pp 47-57 [10] Kirby, D., Coprimary decomposition of Artinian modules, J London Math Soc (2) (1973), pp 571-576 [11] Kirby, D., Dimension and length for Artinian modules, Quart J Math Oxford (Ser.2) 41 (1990), pp 419-429 [12] Macdonald, I G., Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11 (1973), pp 23-43 [13] Matlis, E., The Kozul complex and duality, Comm Algebra (1) (1960), pp 87-149 [14] Matsumura, H., Commutative ring theory, Cambridge University Press, Cambridge, (1986) [15] Matsumura, H., Commutative Algebra , Benjamin, W A., New York, (1970) [16] Matlis, E., Injective modules over Noetherian rings, Pacific J Math (1968), pp 511-528 luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh 48 [17] Nagata, M., On the chain problem of prime ideal, Nagaya Math J 80 (1980), pp 107-116 [18] Ratliff, L, J., Characterizations of catenary rings, Amer J Math., 93 (1971), pp 1070-1108 [19] Roberts, R N., Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings, Quart J Math Oxford (Ser.2) 26 (1975), pp 269273 [20] Sharp, R Y., A method for the study of Artinian modules, with an application to asymptotic behavior, in: Commutative Algebra, Math Sci Res Inst Publ., No 15, Springer-Verlag, New York, 1989, pp 443-465 [21] Tang, Z M and Zakeri, H.,Co-Cohen-Macaulay modules and modules of generalized frac-tions, Comm Algebra 22 (6) (1994), pp 2173-2204 luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh luan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinhluan.van.thac.si.modun.doi.dong.dieu.dia.phuong.cap.cao.nhat.va.tinh.catenary.cua.gia.khong.tron.lan.cua.modun.huu.han.sinh