Tính catenary trong các đại số hữu hạn sinh như môđun

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN CHUYỀN TÍNH CATENARY TRONG CÁC ĐẠI SỐ HỮU HẠN SINH NHƯ MƠĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN CHUYỀN TÍNH CATENARY TRONG CÁC ĐẠI SỐ HỮU HẠN SINH NHƯ MÔĐUN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG THI NGUYấN - 2015 Lời cam đoan i Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn không bị trùng lặp với luận văn trước Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn đà ghi rõ nguồn gốc Học viên Phạm Văn Chuyền Lời cảm ơn ii Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Thị Dung, người đà tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy, cô Viện Toán học Việt Nam, khoa Toán phận đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, đà tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Xin cảm ơn người thân gia đình, bạn lớp Cao học Toán K21, đà động viên giúp đỡ suốt trình học tập Bản luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả luận văn Phạm Văn Chuyền iii Mục lục Mở đầu Chương Đại số hữu hạn sinh R-môđun 1.1 Phụ thuộc nguyên vµnh 1.2 Đại số hữu hạn sinh Chương R-môđun 13 Tính catenary R-môđun hữu hạn sinh 21 2.1 TÝnh catenary vµ catenary phỉ dơng 21 2.2 Tính catenary R-môđun hữu hạn sinh 29 KÕt luËn 36 Tµi liƯu tham kh¶o 37 Mở đầu Cho R vành giao hoán Noether p q iđêan nguyên tố R Một dÃy tăng chặt iđêan nguyên tố p = p0 p1 pn = q gọi xích iđêan nguyên tố bÃo hòa tồn iđêan nguyên tố p q với i, kh«ng p0 cho pi ⊂ p0 ⊂ pi+1 Khi n gọi độ dài xích iđêan nguyên tố bÃo hòa Vành R gọi vành catenary với cặp iđêan nguyên tố p R tồn xích iđêan nguyên tố b·o hßa ⊂ q cđa p = p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn = q n»m gi÷a p q xích nguyên tố bÃo hoà gọi catenary phổ dụng p q có chung độ dài Vành R R-đại số hữu hạn sinh catenary Tính catenary vành nghiên cứu W Krull [Kr] năm 1937 Sau hàng loạt công trình nhà toán học M Nagata [N1], [N2], I S Cohen [C1], [C2], L J Ratliff [R1], [R2], cho thấy tính chất đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc vành môđun Nhắc lại W Krull [Kr] (1937) đà chứng tỏ đại số hữu hạn sinh mét tr­êng lµ catenary TiÕp theo, I S Cohen [C1] (1946) chứng minh vành địa phương đầy đủ catenary Kết thuộc M Nagata [N1] (1956) nói miền nguyên địa phương tựa không trộn lẫn catenary Ngoài ra, lập luận đơn giản, ta chứng minh lớp vµnh nÕu vµ chØ nÕu R/I R cho dim R lµ vµnh catenary, lµ catenary víi mäi iđêan I R catenary R, ảnh đồng cấu địa phương hóa vành catenary vành catenary Như hầu hết vành biết đến thực tế ứng dụng Hình học đại số catenary Vì vậy, câu hỏi đặt liệu tính catenary có bảo toàn qua mở rộng vành? Ví dụ cho hữu hạn sinh liệu tính catenary R-môđun R liên hệ với nào? Năm 1999, S Goto K Nishida [GN] báo "CATENARITY IN MODULE-FINITE ALGEBRAS" đăng tạp chí Proceedings of the American Mathematical Society đà trả lời cho câu hỏi Kết báo định lý sau Định lý Giả sử R vành giao hoán, Noether, R-đại số hữu hạn sinh R-môđun (không thiết giao hoán) Khi catenary R catenary phổ dụng Theo Ratliff [R2, Định lý 3.6], R miền địa phương tính catenary phổ dụng tương đương với tính tựa không trộn lẫn, chiều ngược lại định lý R miền địa phương (Hệ 2.2.9) Vì vành Cohen-Macaulay catenary phổ dụng nên từ định lý ta có hệ vành R Cohen-Macaulay vành 2.2.7) Hơn nữa, trường hợp catenary (Hệ (R, m) vành địa phương, Noether R-môđun Cohen-Macaulay catenary (Hệ 2.2.8) Mục đích luận văn trình bày lại chứng minh chi tiết số kết R-môđun hữu hạn sinh, tính chất catenary, catenary phổ dụng vành kết cđa S Goto vµ K Nishida [GN] vỊ tÝnh catenary R-môđun hữu hạn sinh vành giao hoán Noether Nội dung luận văn bao gồm chương Chương dành để trình bày khái niệm, tính chất liên quan đến mở rộng nguyên vành, định lý không so sánh được, định lý nằm trên, định lý going-up, Các khái niệm, ví dụ số tính chất R-môđun hữu hạn sinh trình bày chương Chương chứng minh số kết tính catenary, catenary phổ dụng hai kết báo S Goto K Nishida [GN] Phần kết luận luận văn tổng kết kết đà đạt Chương Đại số hữu hạn sinh R -môđun Nội dung chương gồm hai phần, phần đưa khái niệm mở rộng nguyên hệ thống lại số kết sở mở rộng nguyên như: Định lý không so sánh (Incomparability), Định lý nằm (Lying- over), Định lý lên (Going-up) Phần hai đưa khái niệm, ví dụ hệ thống lại số kết kí hiệu R, S R-môđun hữu hạn sinh Trong chương vành giao hoán, M R-môđun R-đại số hữu hạn sinh R-môđun Các kết quả, thuật ngữ tham khảo sách R Y Sharp [Sh], M F Atiyah and I G MacDonald [AM] báo S Goto K Nishida [GN] 1.1 Phụ thuộc nguyên vành Định nghĩa 1.1.1 hoán S, phần tử r0 , , rh−1 ∈ R vµ chØ Vµnh S ([Sh, Định nghĩa 13.16]) Cho s S R vành vành giao gọi nguyên cho sh R tồn h ∈ N vµ + rh−1 sh−1 + + r0 = 0, hay nói cách khác s nghiệm đa thức monic vành R[X] gọi nguyên R phần tử s S nguyên R Một đồng cấu f : R R0 vành giao hoán gọi nguyên R0 nguyên vành Nhắc lại R-môđun M Im(f ) gọi faithful (0 :R M ) = Khi ®ã ta cã kÕt sau: Mệnh đề 1.1.2 hoán (i) ([Sh, Mệnh đề 13.20]) Cho R lµ mét vµnh cđa vµnh giao S s S Những khẳng định sau tương đương: s nguyên R; (ii) Vành R[s] S hữu hạn sinh R-môđun; (iii) Tồn vành T S chứa R[s] T hữu hạn sinh R-môđun; (iv) Tồn R[s]-môđun faithful M , mà coi M R-môđun phép thu hẹp vô hướng M hữu hạn sinh Chứng minh Ta chứng minh (i) (ii) R-môđun Thật vậy, s R[s] nguyên R sinh {si : i N0 } nên tồn h N vµ r0 , , rh−1 ∈ R tháa m·n sh + rh−1 sh−1 + + r0 = Do ®ã víi mäi n ∈ N0 ta cã sh+n = −rh−1 sh+n−1 − − r0 sn B»ng quy n¹p theo n ta dễ dàng chứng minh sh+n ∈ R1 + Rs + + Rsh−1 điều có nghĩa phần tử R[s] ®Ịu cã thĨ biĨu diƠn qua 1, s, , sh−1 , chứng tỏ R[s] hữu hạn sinh R-môđun (ii) ⇒ (iii) Ta chØ cÇn chän T = R[s] (iii) ⇒ (iv) LÊy M = T Khi T giả thiết theo (iii) Mặt khác, lấy phần tử a1R = suy a = V× thÕ, M = T (iv) (i) Cho M môđun sinh tồn R-môđun hữu hạn sinh theo a (0 :R[s] T ), từ aT = kéo R[s]-faithful R[s]-môđun faithful M hữu hạn sinh R- u1 , u2 , , un Khi ®ã sui M nên với i = 1, , n, aij ∈ R tháa m·n suj = n X (1) aij ui Đặt ma trËn cña A, A = (aij ), ta sÏ chứng minh s nghiệm đa thức đặc trưng tøc lµ s lµ nghiƯm cđa f (t) = det(tIn A) Thật vậy, từ đẳng thức (1) ta có thĨ viÕt d­íi d¹ng (u1 , , un )sIn = (u1 , , un )A hay (2) (u1 , , un )(sIn − A) = (0, , 0) Kí hiệu (sIn A)ad ma trận liên hợp cđa ma trËn (sIn − A) Theo [Sh, HƯ qu¶ 13.12], ta cã tÝnh chÊt (sIn − A)(sIn − A)ad = det(sIn A)In Nhân hai vế (2) víi (sIn − A)ad råi ¸p dơng tÝnh chÊt ta (u1 , , un )(sIn − A)(sIn − A)ad = (0, , 0)(sIn − A)ad Suy (u1 , , un ) det(sIn − A)In = (0, , 0) hay (u1 , , un )f (s)In = (f (s)u1 , , f (s)un )In = (0, , 0) 24 víi mäi 0≤i ht p + Thật vậy, đặt ht m/P = d XÐt vµnh R/p, ta cã thĨ tồn vô số P Spec R tháa m·n: p ⊂ Pλ , ht(Pλ /p) = ht(m/P ) = d Hơn 25 theo gi¶ thiÕt, ht(m/Pλ ) + ht Pλ = n, ®ã ht Pλ = n − d = ht P > ht p + Mặt khác theo [Ma1, Định lý 31.1] có hữu hạn iđêan ta cã m©u thuÉn VËy Pλ nh­ thÕ Do R catenary Hơn nữa, vào năm 1977 kết đà McAdam R J Ratliff [McR] mở rộng cho tất vành địa phương đẳng chiều Nhắc lại vành R gọi đẳng chiều dim R/p = dim R víi mäi p ∈ Min Ass R Định lý 2.1.6 [McR] Giả sử R vành địa phương Noether đẳng chiều Khi R catenary với iđêan nguyên tố p cña R ta cã ht p + dim R/p = dim R TiÕp theo chóng ta t×m hiĨu vỊ loại đặc biệt lớp vành catenary lớp vành catenary phổ dụng định nghĩa sau Định nghĩa 2.1.7 R gọi catenary phổ dụng R-đại số Vành hữu hạn sinh catenary Mệnh đề 2.1.8 (i) Vành R catenary phổ dụng vành đa thức hữu hạn biến với hệ số R catenary (ii) Vành R lµ catenary phỉ dơng nÕu vµ chØ nÕu R/p lµ catenary phỉ dơng víi mäi p ∈ Spec R (iii) ảnh đồng cấu địa phương hóa vành catenary phỉ dơng cịng lµ vµnh catenary phỉ dơng Chøng minh (i) Gi¶ sư a1 , , an ∈ S vành cho S R-đại số hữu hạn sinh, tức tồn S = R[a1 , , an ] f : R[X1 , , Xn ] → R[a1 , , an ] với Khi tồn toµn cÊu f (Xi ) = , i = n, 26 S đẳng cấu với vành thương vành đa thức R[X1 , , Xn ] thương vành catenary catenary nên ta suy vành R Vì vành catenary phổ dụng vành đa thức hữu hạn biến với hệ số R catenary (ii) vµ (iii) dƠ dµng suy tõ (i) tính chất vành catenary Sau số đặc trưng vành catenary phổ dụng Trước hết, nhắc lại khái niệm vành tựa không trộn lẫn vành không trộn lẫn theo thuật ngữ M Nagata [N2] (R, m) gọi tựa không trộn lẫn b đẳng chiều, tức dim R/ b b b vành đầy đủ theo m-adic R p = dim R b víi mäi b p Min Ass R Định nghĩa 2.1.9 i) Vành địa phương ii) Vành R gọi không trộn lẫn nÕu b b b dim R/ p = dim R víi mäi b b p ∈ Ass R MƯnh ®Ị 2.1.10 [Ma1, Định lí 31.6] Giả sử vành (R, m) tựa không trộn lẫn Khi (i) Rp tùa kh«ng trén lÉn víi mäi p ∈ Spec(R); (ii) Nếu I iđêan R R/I đẳng chiều R/I tựa không trộn lÉn; (iii) R lµ catenary phỉ dơng Chøng minh (i) Cho b cho P ∩ R = p vµ đặt S = (R) b P Vì P Spec R cp , S vành thương S phẳng Rp nên Sb phẳng R vành quy địa phương S đẳng chiều theo [Ma1, Định lý 15.5] Mặt khác ta đà biết vành thương vành quy địa phương đẳng chiều vành đầy đủ theo m-adic đẳng chiều ([Ma1, Hệ tr.251]), b ®¼ng chiỊu kÐo theo R cp cịng ®¼ng chiỊu VËy Rp tựa không S trộn lẫn 27 (ii) Cho I iđêan R R/I đẳng chiều Xét ánh xạ chiếu tắc từ R/I [ R/I đồng cấu địa phương Vì [ R/I phẳng R/I nên [ R/I đẳng chiều R/I đẳng chiều theo ([Ma1, Định lý 31.5]) Mặt khác R/I đẳng chiều dim R/I = dim [ R/I p iđêan tối thiểu R/I b p iđêan tối thiểu [ R/I dim(R/I)/p = dim [ R/I/b p, [ R/I đẳng chiều hay R/I tựa không trộn lẫn Vậy R/I đẳng chiều (iii) Giả sử vành R/I tựa không trộn lẫn R tựa không trộn lẫn Theo [Ma1, Định lí 31.6, (iii)], miền nguyên địa phương cốt yếu kiểu hữu hạn R tựa không trộn lẫn, catenary Vì miền nguyên hữu hạn sinh R catenary, hay R catenary phổ dụng Kết sau cho điều kiện để vành catenary phổ dụng Mệnh đề 2.1.11 (i) [Ma1, Định lí 31.7] Các điều kiện sau tương đương: R catenary phổ dụng; (ii) Vành đa thức biến (iii) R[x] catenary; R/p tựa không trộn lÉn víi mäi p ∈ Spec(R) Chøng minh (i) ⇒ (ii) hiển nhiên theo định nghĩa vành catenry phổ dụng (ii) (iii) Theo Bổ đề Bổ đề [Ma1, trang 252-254] (iii) (i) Giả sử R/p tựa không trộn lẫn với p iđêan ta R tựa không trộn lẫn p Spec R, chọn áp dụng Mệnh đề 2.1.10 ta có R catenary phổ dụng Hệ 2.1.12 Nếu dim R R vành catenary phỉ dơng Chøng minh Theo MƯnh ®Ị 2.1.4 ta có vành có chiều nhỏ catenary, nên dim R dim R[x] 2, R[x] catenary 28 theo Mệnh đề 2.1.11 thì R catenary phổ dụng Vì vậy, dim R R catenary phổ dụng Cho (R, m) vành Noether địa phương giao hoán, R-môđun M hạn sinh gọi môđun Cohen-Macaulay hữu M = depth M = dim M Nếu R R-môđun Cohen-Macaulay R gọi vành CohenMacaulay địa phương Ta có kết sau Bổ đề 2.1.13 (i) Cho R vành Cohen-Macaulay, Rp vành Cohen-Macaulay (ii) R[X1 , , Xn ] cịng lµ vµnh Cohen-Macaulay Mệnh đề 2.1.14 Cho iđêan thực (i) (R, m) vành Cohen-Macaulay địa phương, I R Khi ht I = depth(I, R) ®ã ht I + dim R/I = dim R (ii) R lµ vµnh catenary phỉ dơng Chøng minh (i) Ta cã Macaulay nªn Rp ht I = inf{dim Rp |p V (I)} Vì vành Cohen-Macaulay, R lµ vµnh Cohen- dim Rp = depth Rp hay ht I = inf {depth Rp |p ∈ V (I)} = depth(I, R) = dim R − dim R/I hay ht I + dim R/I = dim R (ii) Ta đà biết vành đa thức vành Cohen-Macaulay vành CohenMacaulay, ta cần cho R lµ catenary ThËt vËy lÊy p, q ∈ Spec R p q Khi Rq vµnh Cohen-Macaulay theo mơc (i) ta cã ht q = dim Rq = ht pRq + dim(Rq /pRq ) = ht p + ht q/p Do R catenary 29 Mệnh đề 2.1.15 [R2, Định lí 3.6] Giả sử R miền địa phương Khi hai khẳng định sau tương đương: (i) R catenary phổ dụng; (ii) R tựa không trộn lẫn Trong trường hợp này, vành R/p tựa không trộn lẫn ta có đẳng thức dim R/p + dim Rp = dim R víi mäi p ∈ Spec(R) Chøng minh Việc chứng minh mệnh đề kết Mệnh đề 2.1.10 Mệnh đề 2.1.11 2.2 Tính catenary R-môđun hữu hạn sinh Mục dành để trình bày lại kết S Goto K Nishida [GN] đưa năm 1999 nói R vành Noether giao hoán catenary phổ dụng đại số hữu hạn sinh R-môđun, không thiết giao hoán, catenary chiều ngược lại R miền Noether địa phương Trong khuôn khổ luận văn ta giả thiết R-đại số giao hoán, có đơn vị Trước hết ta hệ thống lại số kết môđun tắc Cho (R, m) vành địa phương, bao nội xạ giá M M R-môđun, kí hiƯu ER (M ) lµ vµ Him (M ) lµ môđun đối đồng điều địa phương cấp i với Một R- với môđun tắc K, m M Khi môđun tắc định nghĩa sau Định nghĩa 2.2.1 môđun K Cho (R, m) vành địa phương có chiều gọi môđun chÝnh t¾c cđa d R nÕu b∼ K ⊗R R = Hom(Hdm (R), ER (R/m)) Cho (R, m) lµ mét vành địa phương có chiều d sau số kết môđun tắc trích [A, Mệnh đề 1.5, 1.6, Định lý 4.2, Hệ 4.3] 30 Bổ đề 2.2.2 [A] (i) K sai khác đẳng cấu R-môđun hữu hạn sinh có chiều d (ii) Nếu R ảnh đồng cấu vành địa phương Gorenstein S th× ta cã K = ExtrS (R, S), ®ã r = dim S − dim R lµ sè nguyªn nhá nhÊt tháa m·n ExtrS (R, S) 6= V× thÕ, víi mäi p ∈ SuppR K ta cã Kp môđun tắc (iii) Cho Rp R vành địa phương T R-môđun S R-đại số hoàn toàn phẳng, có môđun tắc Khi đó, tắc T R S môđun S T môđun tắc R (iv) Giả sử R ảnh đồng cấu vành địa phương Gorenstein S Đặt KR = ExtnS (R, S); (n = dim S − dim R) Khi ®ã K(Rp ) ∼ = (KR )p víi mäi p ∈ SuppR KR (v) Gi¶ sư r»ng dim R ≥ vµ cho a1 , a2 lµ mét hƯ tham sè cđa R Khi ®ã d·y a1 , a2 KR -chính quy Bổ đề 2.2.3 [GN] Giả sử (R, m) vành địa phương R ảnh đồng cấu vành địa phương Gorenstein, Cho R-môđun hữu hạn sinh P Spec() đặt p = P R, Γ = Λ/P Khi ®ã nÕu dim Γ ≥ 2, tồn dÃy khớp ngắn −→ Γ −→ X −→ Y −→ c¸c -môđun hữu hạn sinh phần tử t m\p thỏa mÃn điều kiện sau (i) (ii) depthR (X) ≥ 2; t lµ X -chÝnh quy vµ tY = (0) Chứng minh Cho K = KR/p môđun tắc X = HomR/p R/p Ta đặt
HomR/p (Γ, K) , K 31 vµ kÝ hiƯu α:Γ→X đồng cấu tắc hạn sinh, theo Mệnh ®Ò 1.1.9 cã 2.2.2, (v) ta cã dim R/p = dim hữu theo Bổ ®Ị depthR X ≥ V× theo Bỉ ®Ị 2.2.2, (iv) ta xem đồng cấu R/p-môđun -môđun Khi ®ã X Rp ⊗R α Kp ∼ = K(Rp /pRp ) = Rp /pRp đẳng cấu Do xoắn tự Khi đặt Y = Coker nên ta có đơn cấu ta có dÃy khớp ngắn X Y Mặt khác ta cã ®Ị 2.2.2, (v) ta cã Yp = (0), tån t¹i t ∈ m\p cho tY = (0) theo Bổ t R/p-chính quy kéo theo phần tử t X -chính quy Nhắc lại vành R (không thiết phải giao hoán) gọi vành nguyên tố iđêan iđêan nguyên tố Trong khuôn khổ luận văn giả thiết vành giao hoán, có đơn vị nên vành vành nguyên tố miền nguyên Mệnh đề sau kết mấu chốt để chứng minh định lý [GN] Mệnh đề 2.2.4 giả sử đại [GN] Cho (R, m) vành địa phương catenary phổ dụng vành nguyên tố Khi đó, chứa iđêan cực Q ht Q = dim Λ = Chøng minh Ta cã thĨ gi¶ sử 1.1.9 ta có R miền nguyên địa phương ta xét trường hợp sử R dim f :R đơn cấu Theo Mệnh đề dim R = dim Đầu tiên ảnh đồng cấu vành địa phương Gorenstein Giả Khi theo Bổ đề 2.2.3 ta có phép nhúng X -môđun hữu hạn sinh phần tử 6= t m thỏa mÃn điều kiƯn (1) depthR X ≥ vµ (2) t lµ X -chÝnh quy víi tX ⊆ Λ 32 Ta ®Ỉt cã IX Z = X/tX ∆ = EndΛ Z Cho I = ((0) :Λ Z) Tõ ®iỊu kiƯn (2) tX theo giả thiết có Q ∈ Max Λ nªn I ⊆ I X ⊆ tΛ ⊆ Q tΛ ⊆ I ⊆ Q 1.2.6 vµ t∈ / P ∩R Q/I ∈ Min Λ/I 1.2.7 ta có Vì t -chính với quy nên P Min t không ước Mà theo giả thiết Q/I Min Λ/I ∩ Max Λ/I 0, theo Bỉ ®Ị htΛ Q = nên Vì áp dụng Bổ đề depthR /I = Mặt khác từ đồng cấu tắc : End Z cảm sinh phép nhúng /I EndΛ Z nªn depthR Z = depthR X −1 > depthR /I > 0, mâu thuẫn Bây chứng minh trường hợp tổng quát Cho b R vành đầy đủ theo tô pô m-adic R Vì Q iđêan cực đại nên b=R b R Q iđêan cực đại cđa Λ b=R b ⊗R Λ Theo HƯ qu¶ 1.2.10 ta cã Q b = htΛ Q = Do ®ã víi Pb ∈ Min Λ b th× ht b b Q/ b Pb = Vì R b ¶nh htΛb Q Λ/P b Pb = ®ång cÊu vành Gorenstein, địa phương nên dim / Đặt b ta chứng minh khẳng định sau: (1) Pb ∩ Λ = vµ (2) p = Pb ∩ R b ThËt vËy, ta cã Pb ∩ Λ lµ iđêan nguyên tố Q iđêan p ∈ Min R b ∩ Λ = Q Do ®ã, Pb 6= (0) xích nguyên tố cực đại nên Q b Pb mâu Q ⊇ P ∩ Λ ⊃ (0) mµ htΛ Q = suy Q = Pb ∩ Λ Tõ ®ã Q b b b thuÉn víi htΛ/ b Pb Q/P = Do ®ã P ∩ Λ = (0) Mặt khác f : R đơn cấu nên p R = (0) Kí hiệu Q(R) trường thương R Khi đó, bp b Λ b ∼ bp ⊗Q(R) (Q(R) ⊗R Λ) nªn ta có b p R bp -mô đun tù R =R R b p ∈ Max Λ b p ∩ Min Λ b p (theo MƯnh ®Ị 1.1.5 1.1.9) Do theo Bổ với P đề 1.2.7 có bp = Theo khẳng định (2) theo Mệnh đề 2.1.15, ta có dim R b p = dim Λ/P b dim R = dim R/ = mà dim = dim R nên dim = Định lý 2.2.5 dụng [GN] Giả sử R vành địa phương catenary phổ vành nguyên tố Khi ta có ®¼ng thøc dim Λ = dim Λ/Q + htΛ Q 33 víi mäi Q ∈ Spec Λ Chøng minh Cã thể giả sử Q Max Đặt f : R đơn cấu Trước hết xét trường hợp h = ht Q khẳng định đến h Theo Mệnh đề 2.2.4 ta giả sö Cho (0) = P0 ⊂ P1 ⊂ P2 ⊂ ⊂ Ph = Q lµ mét xÝch bÃo hoà iđêan nguyên tố theo Mệnh đề 2.2.4 đại p h dim /Ph1 = Đặt Mặt khác htp (Ph−1 Λp ) = htΛ Ph−1 = h − p = Ph1 R Khi Ph1 p iđêan cực (theo Mệnh đề 1.1.10 ) nên theo giả thiết quy nạp, vành p có chiều Krull h Từ Mệnh đề 1.1.9 Mệnh đề 2.1.15 ta cã dim Λ = dim R = dim R/p + dim Rp = dim Λ/Ph−1 + dim Λp = + (h 1) = h Bây Q Spec đặt dim q = htq QΛq = htΛ Q q = Q ∩ R V× QΛq ∈ Max Λq Do ®ã dim Rq = htΛ Q Mặt khác dim /Q = dim R/q theo MƯnh ®Ị 2.1.15 ta cã dim Λ = dim R = dim R/q + dim Rq nªn dim Λ = dim /Q + ht Q Sau kết báo cho ta mối liên hệ tính catenary R-đại số hữu hạn sinh môđun vành R Định lý 2.2.6 [GN, Định lý 1.1] Giả sử R vành giao hoán, Noether, R-đại số hữu hạn sinh R-môđun (không thiết giao hoán) Khi catenary R lµ catenary phỉ dơng Chøng minh Cho P ⊂Q cặp iđêan nguyên tố xích nguyên tố bÃo hoà qua xét vành /P phương hoá Cho P ta giả sử Ta chứng minh Q có độ dài Bằng cách chuyển P = (0) Đặt q = Q R, cách địa q ta giả sử thêm R địa phương Q Max (0) = P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pn = Q nguyªn tè cđa Λ Λ Ta sÏ chØ xích bÃo hoà iđêan n = dim quy nạp theo n Theo 34 giả thiÕt R ®óng víi n = Khi ®ã tõ catenary phổ dụng nên theo Mệnh đề 2.2.4 ta có khẳng định Ta giả sử dim /P1 = n n2 khẳng định đến ht P1 = 1, áp dụng Định lý 2.2.5 ta cã n = dim Λ/P1 + = dim Λ/P1 + htΛ P1 = dim Λ víi n Vậy khẳng định n, hay catenary Hệ 2.2.7 Giả sử hữu hạn sinh R vành Cohen-Macaulay, R-đại số R-mô đun Khi catenary Chứng minh Đây hệ trực tiếp định lý vành CohenMacaulay catenary phổ dụng Hệ 2.2.8 [GN] Giả sử (R, m) vành địa phương Noether, R-môđun Cohen-Macaulay Khi catenary ta có công thức dim = dim /Q + ht Q với iđêan Q Spec() đẳng thức n = ht Q ht P với cặp P Q xích bÃo hoà iđêan nguyên tố P = P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pn = Q P Q Chứng minh Ta giả sử f : R đơn cấu §Ỉt d = dim R Ta b → Λ b R b-môđun Vì R-mô đun Cohencó đồng cấu nhúng R b R b-mô đun Cohen-Macaulay víi dim b Λ b = d Do ®ã Macaulay nªn Λ R b ⊆ Ass b Λ b vµ dim R/ b b b [Ma2, trang 107], AssRb R p = d víi mäi b p ∈ AssRb R R b b hay R/ p vành địa phương tựa không trộn lẫn, R/p tựa không trộn lẫn Khi theo Mệnh đề 2.1.15 ta cã R/p lµ catenary phỉ dơng, kÐo theo R lµ catenary phổ dụng Theo Định lý 2.2.6 ta có lµ catenary LÊy q = Q ∩ R Ta sÏ chØ dim Λ/Q = d Theo S MƯnh ®Ị 1.2.6, q bao gåm c¸c ­íc cđa Λ Do ®ã q ⊆ p∈AssR Λ p Q ∈ Min đặt [Ma2, trang 50] Theo Định lý tránh nguyên tố, tồn iđêan nguyên tố p AssR Λ cho q ⊆ p V× dim R/p = d vµ Λ lµ Cohen-Macaulay, 35 dimR Λ = d nên q = p p Min R Do dim R/q = d mà /Q R/q môđun theo Mệnh đề 1.1.9 ta có dim Λ/Q = d víi mäi Q ∈ Min Λ Nhê tính catenary phổ dụng R, áp dụng Định lý 2.2.6 Định lý 2.2.5 ta dễ dàng thấy cặp iđêan nguyên tố Λ víi n»m gi÷a thøc P P ∈ Min Λ vµ vµ Q ∈ Max Λ, xÝch b·o hoµ iđêan nguyên tố có độ dài Q dim Λ = dim Λ/Q + htΛ Q n = htΛ Q − htΛ P d = dim Λ ®óng víi mäi ®óng víi mäi cỈp P ⊆ Q Do ta có công Q Spec Ta cịng cã P ⊆ Q vµ mäi xÝch b·o hoµ iđêan nguyên tố P = P0 P1 Pn = Q P Q Do bổ đề chứng minh Kết sau hệ trực tiếp Định lý 2.2.6 Định lý 2.2.5 Mệnh đề 2.1.15 Hệ 2.2.9 Cho R miền nguyên địa phương giao hoán, Noether Khi điều kiện sau tương đương: (i) R catenary phổ dụng (ii) R tựa không trộn lẫn (iii) Mọi R-đại số nguyên tố, hữu hạn sinh mô đun lµ catenary vµ víi Q ∈ Spec Λ ta cã ®¼ng thøc dim Λ = dim Λ/Q + htΛ Q 36 Kết luận Tóm lại, luận văn trình bày kết sau Nhắc lại khái niệm, đồng thời chứng minh chi tiết tính chất liên quan đến mở rộng nguyên vành, định lý không so sánh được, định lý nằm trên, định lý going-up, Trình bày khái niệm, ví dụ số tính chất R-môđun hữu hạn sinh Nhắc lại khái niệm chứng minh số kết tính catenary, catenary phổ dụng vành Trình bày lại chứng minh chi tiết số kết báo "CATENARITY IN MODULE-FINITE ALGEBRAS" đăng tạp chí Proceedings of the American Mathematical Societycđa S Goto vµ K Nishida [GN] tính catenary R-môđun hữu hạn sinh vành giao hoán Noether 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [A] Y Aoyama (1983), Some basic results on canonical modules, J Math Kyoto Univ 23 , no 1, 85-94 MR 692731 (84i:13015) [AM] M F Atiyah and I G MacDonald (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1969 MR 0242802 (39 - 4129) [BH] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol 39 , Cambridge University Press, Cambridge, 1993 MR 1251956 (95h:13020) [C1] I S Cohen (1946), On the structure and ideal theory of complete local rings,Trans Amer Math Soc 59 , 54-106 MR 0016094 (7,509h) [C2] I S Cohen (1954), Length of prime ideal chains, Amer J Math 76 , 654-668 MR 0062116 (15,929f) [GN] S Goto and K Nishida (1999), Catenarity in module-finite algebras Proceedings of the american mathematical society.127, no 12, pp 34953502 [HK] J Herzog and E Kunz (1971), Der Kanonische Modul eines Cohen- Macaulay-Rings, Lec­ture Notes in Math., 238, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1971 MR 54:304 [K] I Kaplansky (1970), Commutative rings, Allyn and Bacon, Boston MR 40:7234 38 [Kr] W Krull (1937), Zum Dimensionsbegriff der Idealtheorie, Math Z., 42 , pp 745-766 [Ma1] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol 8, Cambridge University Press, Cambridge Translated from the Japanese by M Reid MR 879273 (88h:13001)f [Ma2] H Matsumura (1980), Commutative Algebra (second edition), Mathematics Lecture Note Series, vol 56 , Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass MR 575344 (82i:13003) [McR] S McAdam and L J Ratliff (1977), Semi-local taut rings, Indiana Univ Math J.26, 73-79 [MR] J C McConnell and J C Robson (1987), Noncommutative Noetherian rings, Pure and Applied Mathematics (New York), John Wiley and Sons, Ltd., Chichester, 1987 With the cooperation of L W Small; A WileyInterscience Publication MR 934572 (89j:16023) [N1] M Nagata (1956), On the chain problem of prime ideals, Nagoya Math J 56 (1956), 51-64 MR 18:8e [N2] M Nagata (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No 13 , MR 0155856 (27 - 5790) [R1] L J Ratliff (1965), On quasi-unmixed semi-local rings and the altitude formula, Amer J Math 87 , 278-284 MR 31:3448 [R2] L J Ratliff (1969), On quasi-unmixed local domains, the altitude formula, and the chain condition for prime ideals (I), Amer J Math 91 , 508-528 MR 40:136 [R3] L J Ratliff (1971) , Characterizations of catenary rings, Amer J Math 93, pp 1070-1108 [Sh] R Y Sharp (1990), Step in Commutative algebra, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, Cambridge