ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN CHUYỀN TÍNH CATENARY TRONG CÁC ĐẠI SỐ HỮU HẠN SINH NHƯ MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN CHUYỀN TÍNH CATENARY TRONG CÁC ĐẠI SỐ HỮU HẠN SINH NHƯ MƠĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN CHUYỀN TÍNH CATENARY TRONG CÁC ĐẠI SỐ HỮU HẠN SINH NHƯ MÔĐUN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - 2015 c i Lêi cam đoan Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn không bị trùng lặp với luận văn trước Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn đà ghi rõ nguồn gốc Học viên Phạm Văn Chuyền c ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Thị Dung, người đà tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy, cô Viện Toán học Việt Nam, khoa Toán phận đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, đà tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Xin cảm ơn người thân gia đình, bạn lớp Cao học Toán K21, đà động viên giúp đỡ suốt trình học tập Bản luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả luận văn Phạm Văn Chuyền c iii Mục lục Mở đầu Chương Đại số hữu hạn sinh R-môđun 1.1 Phụ thuộc nguyên vành 1.2 Đại số hữu hạn sinh Chương R-môđun 13 Tính catenary R-môđun hữu hạn sinh 21 2.1 Tính catenary vµ catenary phỉ dơng 21 2.2 Tính catenary R-môđun hữu hạn sinh 29 KÕt luËn 36 Tài liệu tham khảo 37 c Mở đầu Cho R vành giao hoán Noether p q iđêan nguyên tố R Một dÃy tăng chặt iđêan nguyên tố p = p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn = q gọi xích iđêan nguyên tố bÃo hòa tồn iđêan nguyên tố p q với i, không p0 cho pi ⊂ p0 ⊂ pi+1 Khi ®ã n gọi độ dài xích iđêan nguyên tố bÃo hòa Vành R gọi vành catenary với cặp iđêan nguyên tố p R tồn xích iđêan nguyên tố bÃo hòa q cña p = p0 ⊂ p1 ⊂ pn = q nằm p q xích nguyên tố bÃo hoà gọi catenary phổ dụng p q có chung độ dài Vành R R-đại số hữu hạn sinh catenary Tính catenary vành nghiên cứu W Krull [Kr] năm 1937 Sau hàng loạt công trình nhà toán học nh M Nagata [N1], [N2], I S Cohen [C1], [C2], L J Ratliff [R1], [R2], cho thÊy r»ng tÝnh chất đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc vành môđun Nhắc lại r»ng W Krull [Kr] (1937) ®· chøng tá r»ng mäi đại số hữu hạn sinh trường catenary TiÕp theo, I S Cohen [C1] (1946) chøng minh mäi vành địa phương đầy đủ catenary Kết tiÕp theo thuéc vÒ M Nagata [N1] (1956) nãi r»ng miền nguyên địa phương tựa không trộn lẫn catenary Ngoài ra, lập luận đơn giản, ta chứng minh lớp vành nÕu R/I R cho dim R lµ vành catenary, catenary với iđêan I R catenary R, ảnh đồng cấu địa phương hóa vành catenary vành catenary Như hầu hết vành biết đến thực tế ứng dụng Hình học đại số catenary Vì vậy, câu hỏi đặt liệu tính catenary có bảo toàn qua mở rộng vành? Ví dụ cho hữu hạn sinh liệu tính catenary c R-môđun R liên hệ với nào? Năm 1999, S Goto K Nishida [GN] báo "CATENARITY IN MODULE-FINITE ALGEBRAS" đăng tạp chí Proceedings of the American Mathematical Society đà trả lời cho câu hỏi Kết báo định lý sau Định lý Giả sử R vành giao hoán, Noether, R-đại số hữu hạn sinh R-môđun (không thiết giao hoán) Khi catenary R catenary phổ dụng Theo Ratliff [R2, Định lý 3.6], R miền địa phương tính catenary phổ dụng tương đương với tính tựa không trộn lẫn, chiều ngược lại định lý R miền địa phương (Hệ 2.2.9) Vì vành Cohen-Macaulay catenary phổ dụng nên từ định lý ta có hệ vành R Cohen-Macaulay vành 2.2.7) Hơn nữa, trường hợp catenary (Hệ (R, m) vành địa phương, Noether R-môđun Cohen-Macaulay catenary (Hệ 2.2.8) Mục đích luận văn trình bày lại chứng minh chi tiết số kết R-môđun hữu hạn sinh, tính chất catenary, catenary phổ dụng vành kết S Goto K Nishida [GN] tính catenary R-môđun hữu hạn sinh vành giao hoán Noether Nội dung luận văn bao gồm chương Chương dành để trình bày khái niệm, tính chất liên quan đến mở rộng nguyên vành, định lý không so sánh được, định lý nằm trên, định lý going-up, Các khái niệm, ví dụ số tính chất R-môđun hữu hạn sinh trình bày chương Chương chứng minh số kết tính catenary, catenary phổ dụng hai kết báo S Goto K Nishida [GN] Phần kết luận luận văn tổng kết kết đà đạt c Chương Đại số hữu hạn sinh R -môđun Nội dung chương gồm hai phần, phần đưa khái niệm mở rộng nguyên hệ thống lại số kết sở mở rộng nguyên như: Định lý không so sánh (Incomparability), Định lý nằm (Lying- over), Định lý lên (Going-up) Phần hai đưa khái niệm, ví dụ hệ thống lại số kết kí hiệu R, S R-môđun hữu hạn sinh Trong chương vành giao hoán, M R-môđun R-đại số hữu hạn sinh R-môđun Các kết quả, thuật ngữ tham khảo sách R Y Sharp [Sh], M F Atiyah and I G MacDonald [AM] vµ báo S Goto K Nishida [GN] 1.1 Phụ thuộc nguyên vành Định nghĩa 1.1.1 hoán S, phÇn tư r0 , , rh−1 R Vành S ([Sh, Định nghĩa 13.16]) Cho s S R vành vành giao gọi nguyên cho sh R tồn h N + rh−1 sh−1 + + r0 = 0, hay nói cách khác s nghiệm đa thức monic vành R[X] gọi nguyên R phần tử s S nguyên R Một đồng cấu f : R R0 vành giao hoán gọi nguyên c R0 nguyên vành Nhắc lại R-môđun M Im(f ) gọi faithful (0 :R M ) = Khi ta có kết sau: Mệnh đề 1.1.2 hoán (i) ([Sh, Mệnh đề 13.20]) Cho R lµ mét vµnh cđa vµnh giao S vµ s S Những khẳng định sau tương đương: s nguyên R; (ii) Vành R[s] S hữu hạn sinh R-môđun; (iii) Tồn vành T S chứa R[s] T hữu hạn sinh R-môđun; (iv) Tồn R[s]-môđun faithful M , mà coi M R-môđun phép thu hẹp vô hướng M hữu hạn sinh Chứng minh Ta chứng minh (i) (ii) R-môđun Thật vậy, s R[s] nguyên R sinh {si : i N0 } nên tồn h N r0 , , rh−1 ∈ R tháa m·n sh + rh−1 sh−1 + + r0 = Do ®ã víi mäi n ∈ N0 ta cã sh+n = −rh−1 sh+n−1 − − r0 sn B»ng quy n¹p theo n ta dễ dàng chứng minh sh+n R1 + Rs + + Rsh1 điều có nghĩa phần tử R[s] có thĨ biĨu diƠn qua 1, s, , sh−1 , chøng tỏ R[s] hữu hạn sinh R-môđun (ii) (iii) Ta chØ cÇn chän T = R[s] c (iii) ⇒ (iv) LÊy M = T Khi ®ã T giả thiết theo (iii) Mặt khác, lấy phần tử a1R = suy a = V× thÕ, M = T (iv) ⇒ (i) Cho M môđun sinh tồn R-môđun hữu hạn sinh theo a ∈ (0 :R[s] T ), lµ tõ aT = kéo R[s]-faithful R[s]-môđun faithful M hữu hạn sinh R- u1 , u2 , , un Khi sui M nên với i = 1, , n, aij ∈ R tháa m·n suj = n X (1) aij ui Đặt ma trận cña A, A = (aij ), ta sÏ chøng minh s nghiệm đa thức đặc trưng tức s lµ nghiƯm cđa f (t) = det(tIn − A) Thật vậy, từ đẳng thức (1) ta viết díi d¹ng (u1 , , un )sIn = (u1 , , un )A hay (2) (u1 , , un )(sIn − A) = (0, , 0) KÝ hiÖu (sIn A)ad ma trận liên hợp ma trËn (sIn − A) Theo [Sh, HƯ qu¶ 13.12], ta cã tÝnh chÊt (sIn − A)(sIn − A)ad = det(sIn A)In Nhân hai vế (2) với (sIn A)ad áp dụng tính chất ta ®ỵc (u1 , , un )(sIn − A)(sIn − A)ad = (0, , 0)(sIn − A)ad Suy (u1 , , un ) det(sIn − A)In = (0, , 0) hay (u1 , , un )f (s)In = (f (s)u1 , , f (s)un )In = (0, , 0) c ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN CHUYỀN TÍNH CATENARY TRONG CÁC ĐẠI SỐ HỮU HẠN SINH NHƯ MÔĐUN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... 1.2 Đại số hữu hạn sinh Chương R -môđun 13 Tính catenary R -môđun hữu hạn sinh 21 2.1 Tính catenary catenary phổ dụng 21 2.2 Tính catenary R -môđun hữu hạn sinh. .. phép nhân gọi R -đại số Như với ®ång cÊu vµnh f : R → Λ [AM] Mét đồng cấu vành f : R gọi hữu hạn gọi đại số hữu hạn sinh R -môđun (sau gọi tắt R -môđun hữu hạn sinh) hữu hạn sinh R -môđun Đồng cấu