Luận văn thạc sĩ môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất và tính catenary của giá không trộn lẫn của môđun hữu hạn sinh

BË GI�O DÖC V� ��O T�O TR×ÍNG ��I HÅC QUY NHÌN PHAN THÀ �É QUY�N MÆ�UN �ÈI �ÇNG �I�U �ÀA PH×ÌNG C�P CAO NH�T V� T�NH CATENARY CÕA GI� KHÆNG TRËN L�N CÕA MÆ�UN HÚU H�N SINH LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC B¼[.]

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHèN PHAN TH ẫ QUYN MặUN ẩI ầNG IU A PHìèNG CP CAO NHT V TNH CATENARY CếA GI KHặNG TRËN LˆN CÕA MỈUN HÚU H„N SINH LUŠN V‹N TH„C S TON HC Bẳnh nh - Nôm 2019 e Bậ GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN PHAN TH ẫ QUYN MặUN ẩI ầNG IU A PHìèNG C‡P CAO NH‡T V€ TNH CATENARY CÕA GI KHỈNG TRËN LN CếA MặUN HU HN SINH Chuyản ngnh: Ôi số v lẵ thuyát số M số: 8460104 Ngữới hữợng dăn: TS NGUY™N THI HÁA e Möc löc MÐ †U 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 ¦y õ àa ph÷ìng hâa Sỹ phƠn tẵch nguyản Chi·u Krull Mæun Artin Biu diạn thự cĐp Chi·u Noether Mổun ối ỗng iÃu a phữỡng Tẵnh catenary cừa vnh ỗng cĐu ph¯ng 11 14 15 17 19 21 22 MặUN ẩI ầNG IU A PHìèNG CP CAO NHT 25 2.1 Tẵnh chĐt: Ann(0 :A p) = p, ∀ p ∈ V (AnnR(A)) 26 2.2 Tẵnh chĐt (*) ối vợi mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt 30 2.3 T½nh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn 36 K˜T LUŠN 45 DANH MÖC T€I LI›U THAM KHƒO 46 e QUY˜T ÀNH GIAO — T€I LUŠN V‹N e 49 MÐ U Vo nhỳng nôm 1960, A Grothendieck  giợi thiằu lỵ thuyát ối ỗng iÃu a phữỡng Ngy nay, lỵ thuyát ny  tr thnh cổng cử khổng th thiáu nhiÃu lắnh vỹc khĂc cừa ToĂn hồc nhữ Ôi số giao hoĂn, Hẳnh hồc Ôi số, Ôi số tê hđp Mët nhúng k¸t qu£ quan trång và mổun ối ỗng iÃu a phữỡng l tẵnh triằt tiảu v tẵnh Artin Cho (R, m) l mởt vnh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v  M l  R-mỉun húu hÔn sinh thẳ Hmd (M ) 6= v khổng hỳu hÔn sinh, õ d = dimM v Hmi (M ) l  mỉun Artin vỵi måi i ≥ Theo I G Macdonald [12], têp cĂc iảan nguyản tố gưn kát cừa R-mổun Artin A, kẵ hiằu l AttR(A) cõ vai trỏ nhữ têp cĂc iảan nguyản tố liản kát ối vợi mổun hỳu hÔn sinh NhiÃu nh ToĂn hồc quan tƠm nghiản cựu têp cĂc iảan nguyản tố gưn kát cừa mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp bĐt kẳ vợi giĂ cỹc Ôi Hmi (M ) v mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt HId(M ) vợi giĂ l mởt iảan I cừa R,  tø â l m rã c§u tróc mỉun M v  v nh cỡ s R Trữợc hát, nôm 2007 Nguyạn Tỹ Cữớng, Lả Thanh Nhn v Nguyạn Th Dung [7]  à xuĐt nghiản cựu tẵnh chĐt: e Vợi mội R-mổun Artin A, AnnR (0 :A p) = p vỵi måi iảan nguyản tố p chựa AnnR(A) Vợi mửc ẵch  tẳm hiu sƠu hỡn và Ôi số giao hoĂn, chúng tổi  chồn à ti:"Mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt v tẵnh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn cừa mổun hỳu hÔn sinh" Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo thẳ luên vôn gỗm cõ hai chữỡng Chữỡng 1: Kián thực chuân b Chữỡng ny trẳnh by vưn tưt nhỳng kián thực cỡ bÊn và Ưy ừ; a phữỡng hõa; sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ; chiÃu Krull; mổun Artin; biu diạn thự cĐp; chiÃu Noether; mổun ối ỗng iÃu a phữỡng; tẵnh catenary cừa vnh v ỗng cĐu phng Chữỡng 2: Mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt Ơy l nởi dung chẵnh cừa luên vôn Chúng tổi s tián hnh nghiản cựu và tẵnh chĐt: Ann(0 :A p) = p vợi mồi p V (AnnR(A)); tẵnh chĐt (*) ối vợi mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt v tẵnh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn TĐt cÊ cĂc kát quÊ luên vôn ny ữủc trẵch dăn chõ y¸u tø t i li»u [7] Nhi»m vư cõa chóng tổi l lm ró lÔi cĂc chựng minh õ v hằ thống lÔi theo mởt bố cửc hủp lỵ Luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn ThĂi Hỏa ThƯy  dnh nhiÃu thới gian v tƠm huyát viằc nh hữợng, gõp ỵ, ởng viản v giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh thỹc hiằn luên vôn ny Tổi xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy e Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u Trữớng Ôi Hồc Quy Nhỡn cĂc thƯy, cổ giĂo v ngoi Khoa ToĂn v Thống kả  tên tẳnh giÊng dÔy v giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp Cuối tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc hồc viản lợp cao hồc ToĂn khõa 20, bÔn b v nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh  ởng viản, giúp ù, tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn Mc dũ bÊn thƠn  hát sực cố gưng v  nê lüc l m vi»c r§t nhi·u º ho n th nh luên vôn ny iÃu kiằn, thới gian, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn s khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Vẳ vêy, tổi rĐt mong ữủc sỹ gõp ỵ cừa thƯy, cổ giĂo v bÔn ồc  luên vôn ữủc hon chnh hỡn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ngy 29 thĂng nôm 2019 Sinh viản thỹc hiằn à ti Phan Th ộ Quyản e Chữỡng KI˜N THÙC CHU‰N BÀ Trong ch÷ìng n y, chóng tỉi nh­c lÔi mởt số kián thực  biát và Ưy ừ; a phữỡng hõa; sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ; chiÃu Krull; mổun Artin; biu diạn thự cĐp; chiÃu Noether; mổun ối ỗng iÃu a phữỡng; tẵnh catenary cừa vnh v ỗng cĐu phng nhơm thuên tiằn cho viằc theo dói kát quÊ chữỡng sau 1.1 Ưy ừ Nởi dung cừa tiát ny ữủc trẳnh by theo ti liằu [14] Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn ành ngh¾a 1.1.1 Mët v nh låc l  mët v nh R cịng vỵi mët hå (Rn )n>0 c¡c nhâm cõa R thäa m¢n c¡c i·u ki»n: (i) R0 = R; (ii) Rn+1 ⊂ Rn vỵi måi n > 0; (iii) Rn Rm ⊂ Rn+m vỵi måi n, m > e R V½ dư 1.1.2 (i) Gi£ sû R l  mët v nh L§y R0 = R v  Rn = vỵi måi n > Khi â (Rn)n>0 l  mët lồc cừa R v gồi l mởt lồc tƯm thữớng (ii) Cho I l  mët i¶an cõa R Khi â (I n )n>0 l  mët låc cõa R, nâ ÷đc gåi l  mët låc I -adic (iii) Cho (Rn )n>0 l  mët låc cõa R v  S l  mët v nh cõa R Khi â (Rn ∩ S)n>0 l  mët låc cõa S , nâ ÷đc gåi l  låc c£m sinh trản S nh nghắa 1.1.3 Cho R l mët v nh låc vỵi låc (Rn)n>0 Mët R-mỉun M låc l  mët R-mỉun M cịng vỵi mët hå (Mn)n>0 c¡c R-mỉun cõa M thäa m¢n c¡c i·u ki»n: (i) M0 = M ; (ii) Mn+1 ⊂ Mn vỵi måi n > 0; (iii) Rn Mm ⊂ Mn+m vỵi måi n, m > V½ dư 1.1.4 (i) Cho M l mởt R-mổun v R cõ lồc tƯm thữớng Khi õ M cụng cõ mởt lồc tƯm thữớng ữủc nh nghắa bi M0 = M v Mn = vợi måi n > (ii) Cho I l  mët i¶an cõa R v  x²t låc I -adic cõa R ành nghắa lồc I -adic cừa M bơng cĂch lĐy Mn = I n M Khi â M l  mët R-mæun låc Cho M l  mët R-mæun låc Låc (Mn)n>0 trản M xĂc nh mởt tổpổ trản M tữỡng thẵch vợi cĐu trúc nhõm abel cừa M m (Mn)n>0 l mởt cỡ s lƠn cên cên cừa Tổpổ n y ÷đc gåi l  tỉpỉ c£m sinh bði låc (Mn)n>0 Cho M l  mët R-mỉun vỵi låc (Mn)n>0 v  tỉpỉ ữủc nh nghắa bi lồc (Mn)n0 Trữợc hát chúng tổi nhưc lÔi khĂi niằm dÂy Cauchy: Mởt dÂy (xn) cĂc phƯn tỷ M ữủc gồi l mởt dÂy Cauchy náu vợi mội k N, tỗn tÔi n0 cho xm − xn ∈ Mk , vỵi måi m, n > n0 e Gồi T l têp tĐt cÊ cĂc dÂy Cauchy M Trản T quan hằ hai ngổi ữủc nh nghắa bi: Vợi mồi (xn), (yn) ∈ T, (xn) ∼ (yn) ⇔ vỵi méi m N, tỗn tÔi n0 cho xn yn ∈ Mm , vỵi måi n ≥ n0 Khi õ quan hằ trản l quan hằ tữỡng ữỡng Kẵ hi»u c = T /∼ = {(xn )|(xn ) ∈ T } M Tữỡng tỹ, gồi S l têp cĂc dÂy Cauchy R ựng vợi lồc (Rn)n0 Kẵ b +, ) l  v nh giao ho¡n hi»u Rb = S/∼ = {(an)n≥0 | (an) ∈ S} Khi â (R, câ ìn vỵi hai ph²p to¡n: b Vỵi måi (an)n≥0, (bn)n≥0 ∈ R, (an ) + (bn ) = (an + bn )n≥0 ; (an ).(bn ) = (an bn )n0 c ữủc nh Tiáp theo, hai php toĂn cởng v php nhƠn vổ hữợng trản M nghắa bi c, (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) Vỵi måi (xn), (yn) ∈ M n≥0 c, (an ).(xn ) = (an xn ) Vỵi måi (an) ∈ Rb, vỵi måi (xn) ∈ M c l  R b-mỉun Khi â M Cho I l  mët i¶an cõa vnh R, tổpổ ữủc nh nghắa trản M bi lồc c ữủc gồi l bao Ưy ừ I -adic ữủc gåi l  tỉpỉ I -adic v  bao ¦y õ M I -adic e ... „I HÅC QUY NHèN PHAN TH ẫ QUYN MặUN ẩI ầNG IU A PHìèNG CP CAO NHT V TNH CATENARY CếA GI KHặNG TRậN LN CếA MặUN HU HN SINH Chuyản ngnh: Ôi số v lẵ thuyát số M số: 8460104 Ngữới hữợng... PHìèNG CP CAO NHT 25 2.1 Tẵnh chĐt: Ann(0 :A p) = p, ∀ p ∈ V (AnnR(A)) 26 2.2 Tẵnh chĐt (*) ối vợi mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt 30 2.3 T½nh catenary. .. hoĂn, chúng tổi  chồn à ti:"Mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt v tẵnh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn cừa mổun hỳu hÔn sinh" Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo thẳ luên vôn