Môđun con môđun đơn, môđun thương

3 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Định nghĩa Cho R vành Một tập M gọi R – mơđun trái, hay cịn gọi mơđun trái vành R, điều kiện sau thỏa mãn: (i) M nhóm Abel cộng R M  M (ii) Tồn ánh xạ : ( x, m)  xm gọi phép nhân vơ hưóng cho tính chất sau thỏa mãn phần tử tùy ý x, y  R m, m1 , m2  M (+)Kết hợp : (xy)m = x(ym) ; (+)Phân phối : x(m + m ) = xm + xm (x +y)m = xm + ym ; (+)Unitar : 1m = m Nếu R trường R – mơđun gọi khơng gian vectơ trường Tương tự, ta có định nghĩa cho R – môđun phải cách xét phép nhân với vô hướng bên phải Tuy nhiên đơn giản ta xét R – mơđun trái suốt khóa luận gọi tắt R – mơđun 1.1.2 Ví dụ a) Một vành R ln xem mơđun với phép nhân với vơ hướng phép nhân vành b) Mọi nhóm Abel G xem mơđun vành số nguyên Z Với a  G n  Z tùy ý, phép nhân với vô hướng xác định là: Z G  G (n, a )  na a  a    a n  lan c)Giả sử R vành giao hoán với đơn vị X  a  aij  nn \ aij  R tập hợp ma trận vuông cấp n với phần tử R Trên X ta xác định hai phép toán: (i) Phép cộng: X X  X  a, b   a  b [cij ] nn , với cij aij  bij (ii)Phép nhân với vô hướng: R X  X , a  a [d ij ] nn , với d ij = aij Khi X trở thành môđun vành R gọi môđun ma trận cỡ n n R n     R  x   f x  x i \  R  4)Giả sử R vành giao hoán với đơn vị Khi   i 0   n i với phép cộng đa thức thông thường phép nhân cho f  x   ai x i 0 môđun gọi môđun đa thức ẩn x với hệ số thực 1.2 Môđun con, môđun đơn, môđun thương 1.2.1 Định nghĩa Cho M R – môđun N tập khác rỗng M Khi N gọi R – môđun (hay gọi tắt môđun con) R – môđun M N R – mơđun với phép tốn M hạn chế N 1.2.2 Tiêu chuẩn môđun Cho M R – môđun N tập khác rỗng M Khi ba điều kiện sau tương đương: (i) N môđun M (ii) x  y  N , x, y  N ax  N , x  N , a  R (iii) ax  by  N , x, y  N , a, b  R 1.2.3 Định nghĩa Môđun N môđun M gọi môđun cực đại N M không tồn môđun P cho P  M P  N 1.2.4 Định nghĩa Cho M R – mơđun Khi M gọi môđun đơn M  M có hai mơđun M 5 1.2.5 Định nghĩa Cho M R – môđun N môđun M Khi N nhóm chuẩu tắc nhóm cộng abel M Do tồn nhóm thương M N   {x  N \ x  M} M , nhóm abel N Xét phép nhân với vô hướng R: R M  r, x   N  M N rx rx  N Khi M N R – mơđun với phép cộng phép nhân với vơ hướng nói Mơđun gọi môđun thương M theo môđun N 1.2.6 Định lý Cho M R – môđun G mơđun M Khi ' (i) Nếu G ' môđun M mà G '  G G G mơđun M G " (ii) Mỗi môđun M G có dạng G G mơđun G " M mà G "  G (iii) Cho G1 ,G2 môđun M mà chứa G Khi G1  G2 G1 G  G2 G 1.3 Đồng cấu môđun 1.3.1 Định nghĩa Cho M N hai R – môđun Một ánh xạ f : M  N gọi đồng cấu mơđun hay cịn gọi R - đồng cấu, thỏa mãn hai điều kiện sau phần tử x, y  M r  R : f(x+y) = f(x)+f(y) rf(x)= f(rx) Đồng cấu f gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu f tương ứng đơn ánh, tồn ánh hay song ánh Hai mơđun M N đẳng cấu với tồn ánh xạ đẳng cấu f: M  N Kí hiệu M N 1.3.2 Định lý Giả sử f : M  N đồng cấu từ môđun M đến môđun N , p : M  M Kerf tồn cấu tắc từ mơđun M đến mơđun thương M Kerf Khi có đồng cấu cho tam giác: M f N p f M Kerf giao hoán 1.3.3 Hệ Giả sử f : M  N đồng cấu từ mơđun M đến mơđun N Khi M  Im f Kerf 1.3.4 Định lý Giả sử N P hai môđun R – môđun M Khi  N  P N P N P 1.3.5 Định lý Giả sử N P hai mơđun R – mơđun M Khi M M P  N P N 1.3.6 Định lý Cho R – môđun M Ký hiệu S M tập hợp tất môđun M Cho f : M  M ' tồn cấu R – mơđun Khi ánh xạ  :  G  S M : G  Kerf   S M G  ' f (G ) 1 ' 1 ' ' song ánh  (G )  f (G ), G  S M ' 1.4 Dãy khớp, môđun Noether, môđun Artin 1.4.1 Định nghĩa Cho f f        M i    Mi i i f i 1 f i  M i 1    dãy R – môđun R – đồng cấu (i) Dãy   gọi phức R – môđun Imf i  Kerf i 1 , i (ii) Dãy   gọi dãy khớp Imf i = Kerf i 1 , i (iii) Một dãy khớp có dạng :  M’ f  M g  M”  gọi dãy khớp ngắn 1.4.2 Định nghĩa Cho M R – mơđun Khi M gọi mơđun Noether, cách xác thỏa mãn điều kiện sau (i) Khi ( Gi ) iN họ môđun M G1  G2   Gi  Gi 1  tồn k  N để Gk Gk 1 , i  N (ii) Mọi tập khác rỗng môđun M chứa phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) 1.4.3 Định nghĩa Cho M R – mơđun Khi M gọi mơđun Artin cách xác thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) Khi ( Gi ) iN họ môđun M G1  G2   Gi  Gi 1  tồn k  N để Gk Gk 1 , i  N (ii) Mọi tập khác rỗng mơđun M ln chứa phần tử cực tiểu (theo quan hệ bao hàm) 1.4.4 Định lý Cho  L f  M g  N  dãy khớp ngắn R – môđun R – đồng cấu (i) R – môđun M Noether L N Noether (ii) R – môđun M Artin L N Artin 1.4.5 Định lý Cho M M đẳng cấu R – mơđun Khi (i) M Noether M môđun Noether (ii) M Artin M môđun Artin 8 CHƯƠNG II DÃY HỢP THÀNH CỦA MƠĐUN Ta ln xét R vành giao hốn có đơn vị 2.1 Định nghĩa ví dụ 2.1.1 Định nghĩa Cho M R – mơđun Xét hai xích hữu hạn môđun M  :  M  M   M k   M k M  :  M 0'  M 1'   M l'  M l' M Kí hiệu I = {0,1,……k}, J = {0,1,…….l} gọi tập hợp I tập số xích  , J tập số xích  Khi (i) Số tự nhiên k gọi độ dài xích  , ký hiệu l(  ) = k (ii) Môđun thương { M1 M0 , , Mk Mi M i  gọi thương thứ i tập R – môđun M k  } gọi tập thương xích  (iii) Ta nói hai xích   đẳng cấu với nhau, ký hiệu    , tồn song ánh hai tập số  : I  J cho Mi M i  M ' (i ) M ' (i )  , i 1, .k (iv) Xích  gọi dãy hợp thành môđun M, M i  môđun M cực đại M i , i 1,……,k Điều tương đương với điều kiện i M , i = i 1,… ,k môđun đơn 2.1.2 Chú ý (i) Giả sử    đẳng cấu hai xích mơđun M với số i ta có M i   M i Vì Mi M i  = nên M ' ( i ) M ' ( i )  = 0, tức M ' ( i )   M ' ( i ) Vậy bỏ M i M ' (i ) thương Mi M i 0  M ' ( i ) M ' (i )  bị bỏ đi, thương khác hai xích giữ nguyên Từ ' suy xích sau bỏ M i M  (i ) đẳng cấu với Hơn nữa, ta thấy định nghĩa (iii) đẳng cấu quan hệ tương tập hợp xích mơđun M Điều cho phép giả thiết mà khơng tính tổng quát xích  M thỏa mãn M i   M i , i (ii) Trong trường hợp khơng thể mở rộng xích (tăng ngặt) đưa vào số hạng đặc biệt làm cho xích có độ dài n + Khi xích (tăng ngặt) mơđun M dãy hợp thành M xích (tăng ngặt) cực đại 2.1.3 Ví dụ (a) Cho V K – khơng gian vectơ n chiều với { x1 , x , ., x n } sở Khi xích : n  x1 K  x1 K  x2 K    xi K V i 1 dãy hợp thành V có độ dài n Thật ; Xét mơđun thương x1 K Ta có x1 K khơng gian vectơ V có số chiều Do x1 K có hai mơđun x1 K Suy x1 K môđun đơn hay x1 K môđun đơn Xét môđun thương ( x1 K  x K ) x1 K Theo định lý 1.3.4 ta có: ( x1 K  x K ) x1 K  x2 K ( x1 K  x K ) Mặt khác x1 K  x K 0 (Vì x1 , x sở V) Khi x2 K ( x1 K  x K )  x K , mà x K mơđơn (giống x1 K ) 10 Do ( x1 K  x K ) x1 K môđun đơn Bằng cách chứng minh tương tự quy nạp ta có n x K i i 1 n x K môđun đơn i i 1 Theo định nghĩa 2.1(iv) suy V có dãy hợp thành n  x1 K  x1 K  x K    x1 K V i 1 độ dài n (b) Xét Z Z – mơđun Khi Z khơng có dãy hợp thành Thật ; giả sử  A0  A1   Z dãy mơđun Z Ta có Ai mơđun Z Ai iđêan Z Giả sử A1 nZ (Vì A1 iđêan Z nên n  N cho A1 nZ ) Khi ln tồn mơđun nằm A1 Chẳng hạn A1' n Z thỏa mãn  A1' n Z  A1 Điều suy = A0 khơng phải môđun cực đại A1 Theo định nghĩa 2.1(iv) suy Z khơng có dãy hợp thành (c)Xét Q Q – mơđun Khi Q có chuỗi hợp thành với độ dài Thật ; Ta có mơđun Q iđêan Q Mặt khác Q trường nên Q có hai iđêan Q Do Q có dãy hợp thành  Q có độ dài Sau số kết dãy hợp thành 2.2 Độ dài dãy hợp thành 2.2.1 Định nghĩa Cho M R – mơđun có dãy hợp thành : = M  M  …  M n   M n = M Ta gọi độ dài dãy hợp thành số mắt xích nó, có nghĩa độ dài bé thua số số hạng dãy đơn vị 2.2.2 Định lý Cho M R – mơđun giả sử M có dãy hợp thành có độ dài n Khi 11 (i) Khơng có xích (tăng ngặt) mơđun M có độ dài lớn n (ii) Mọi dãy hợp thành M có độ dài n (iii) Mỗi xích (tăng ngặt) mơđun M có độ dài n’  n mở rộng thành dãy hợp thành M cách đưa thêm vào xích n-n’ số hạng (iv) Mọi xích (tăng ngặt) mơđun M có độ dài n dãy hợp thành M Chứng minh: Chúng ta giả thiết n > Cho R – mơđun M, kí hiệu l(M) độ dài nhỏ dãy hợp thành M M có dãy hợp thành l(M) =  M khơng có dãy hợp thành Bước chứng minh, chứng minh rằng: A môđun thực M l(A) < l(M) Cho l(M) = t = M  M  … M t   M t = M dãy hợp thành cho M với độ dài t Với i = 0,….,t , cho Ai  A  M i Theo hệ 1.3.3 : Với i = 1, …,t, hợp thành R – đồng M A i = A  M i f  M i g  i M i (mà ánh xạ f đồng cấu bao hàm g toàn cấu tắc) có hạt nhân A  M i  M i  = A  M i  = A i  cảm sinh R- đơn cấu  Khi Ai i : Ai   Mi M i a  Ai   a  M i  Ai  đẳng cấu tới mơđun Mi Mặt khác Do Ai Ai Mi M i  môđun đơn Ai  đơn Thật ; Ai  Ai  đơn i đẳng cấu M i 12 Khi bỏ vài số hạng lặp lại = A  A  …  A i  A t = A  M t = A thu dãy hợp thành A Khi l(A)  l(M) Hơn phải có l(A) < l(M), mặt khác trình phải dẫn tới A  A  …  A t  A t dãy hợp thành A, với Ai Ai  M i   Ai Ai  0 i =1……t., Từ A i = = M i , kéo theo trình tự A = M , A = M ,……….,A t = M t , mâu thuẫn với thực tế có A  M Khi chứng tỏ l(A) < l(M) Chú ý chứng tỏ môđun M có dãy hợp thành (i) Bây cho = M '0  M 1'  M '2   M 'r   M 'r = M xích (tăng ngặt) mơđun M Ta có l(0) = áp dụng kết chứng minh ta có = l(M '0 ) < l(M 1' ) < …… < l(M 'r  ) < l(M 'r ) = l(M) Từ r  l(M)  n (Vi M có dãy hợp thành với độ dài n mà phần đầu chứng minh ta kí hiệu l(M) độ dài nhỏ dãy hợp thành) Vậy khơng có xích mơđun M có độ dài lớn n (ii) Giả sử M có dãy hợp thành với độ dài n Theo cách kí hiệu phần đầu chứng minh ta có l ( M ) n1 Mặt khác theo cách chứng minh phần (i) ta có l ( M ) n1 (vì dãy hợp thành trường hợp đặc biệt xích ngặt) Do l (M ) n1 Theo giả thiết M có dãy hợp thành với độ dài n Lí luận tương tự ta có l ( M ) n Từ ta có l ( M ) n n1 Như dãy hợp thành M có độ dài n 13 (iii), (iv) Được suy từ phần (i) (ii) ý 2.1.2(ii): xích ngặt môđun M với độ dài n ' < n = l(M) dãy hợp thành M, từ phần (ii): tất dãy hợp thành M có độ dài n mở rộng xích ngặt có độ dài n ' +1 đưa vào số hạng hai số hạng mà thương chúng chưa phải môđun đơn Chẳng hạn Mi ' M i  khơng phải mơđun đơn tồn môđun M cho M i  M '  M i  M i  M '  M i  Khi ta đưa vào môđun M ' vào M i  M i Mở rộng dãy có độ dài n ta thu dãy hợp thành Thật giả sử chưa dãy hợp thành ta lại chèn tiếp số hạng vào hai môđun mà thương chúng chưa phải môđun đơn Suy độ dài lớn n Mâu thuẫn với phần (i) Ngược lại xích ngặt mơđun M có độ dài n phải dãy hợp thành M mở rộng xích ngặt mơđun M có độ dài n + Mâu thuẫn với phần (i) Chú ý chứng minh l(M) chưa phải kí hiệu độ dài dãy hợp thành Sau ta đưa kí hiệu độ dài dãy hợp thành định nghĩa 2.3 2.2.3 Định nghĩa Giả sử M R – mơđun Ta nói M có độ dài hữu hạn M có dãy hợp thành Khi độ dài M kí hiệu l(M) hay l R (M) (nếu muốn nhấn mạnh R vành sở) độ dài dãy hợp thành M Chúng ta biết Định lý 2.2 tất dãy hợp thành M có độ dài Khi M khơng có độ dài hữu hạn có nghĩa M khơng có dãy hợp thành ta kí hiệu l(M) =  2.2.4 Ví dụ (1) l Q (Q) = (Ở ví dụ 2.1.3 nêu) (2) l Z (Z) =  (Ở ví dụ 2.1.3 nêu) 14 (3) l Z ( Z 6Z ) = Thật ; Mỗi môđun Z 6Z có dạng X 6Z X mơđun Z chứa 6Z Khi X có dạng nZ với n ước Suy n = 1, 2, 3, Ta có mơđun Z 6Z 0, Z 6Z , 2Z 6Z , 3Z 6Z Vậy Z 6Z có hai dãy hợp thành  2Z 6Z  Z 6Z  3Z 6Z  Z 6Z có độ dài Do l Z ( Z 6Z ) = 2.2.5 Mệnh đề Cho M R – mơđun Khi M có độ dài hữu hạn M vừa Noether vừa Artin nghĩa M thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng giảm cho môđun Chứng minh  Giả sử M có độ dài hữu hạn l(M) Khi kéo theo từ định lý 2.2.2 có vài xích tăng mơđun M khơng thể có nhiều l(M) bao hàm ngặt cuối phải dừng Đồng thời vài xích giảm mơđun M cuối phải dừng Theo định nghĩa suy M vừa môđun Noether vừa môđun Artin  Giả sử M môđun Noether Artin Từ định nghĩa môđun Noether Artin M thỏa mãn điều kiện môđun cực đại cực tiểu Chúng ta giả sử M khơng có dãy hợp thành tìm mâu thuẫn Khi  ={A : A môđun M l(A) =  } Tập  khơng rỗng M   , theo điều kiện cực tiểu,  có phần tử tiểu gọi H Vì mơđun M có dãy hợp thành Theo định nghĩa  suy   Mặt khác H   15 Do H 0 Khi theo điều kiện cực đại tập môđun thực H có thành viên cực đại gọi H ' Bằng lựa chọn H thực tế H '  H, H phần tử cực tiểu nên H '   H ' có dãy hợp thành Cho = H '0  H 1'  …  H t'   H t' = H ' dãy hợp thành H ' l( H ') = t Từ H ' môđun cực đại thực H, kéo theo H H ' có hai mơđun đơn Từ H '0  H 1'  …  H t'   H t'  H dãy hợp thành cho H Đây mâu thuẫn (vì H khơng có dãy hợp thành) Từ M phải có dãy hợp thành Chúng ta có định lý 2.2.2 hai chuỗi hợp thành cho môđun hữu hạn chiều vành giao hốn có độ dài Thực tế hai dãy hợp thành có điểm tương đồng mạnh mẽ liên quan tới mà người ta gọi họ thương hợp thành Những điểm tương đồng cụ thể hóa giả thuyết tiếng Jordan-Holder mà đưa mục 2.3.3 2.3 Đẳng cấu dãy hợp thành 2.3.1 Định nghĩa Cho M R – môđun giả sử M có độ dài hữu hạn.Gọi = M  M   M n  M n = M dãy hợp thành M Khi ta gọi họ R – mơđun đơn ( Mi M i  ) i 1, n họ thương hợp thành dãy hợp thành (Tất nhiên họ rỗng M = 0) Bây giả sử M 0 có = M '0  M 1'   M n'   M n' = M dãy hợp thành thứ hai M (ở sử dụng điều chứng minh Định lý 2.2.2 hai dãy hợp thành tuỳ ý mơđun M có độ dài nhau) Ta nói hai dãy hợp thành M đẳng cấu nều tồn hoán vị  tập 16 {1,…n} n số nguyên dương cho với i =1,…,n ta có Mi M i  M ' (i ) M ' (i )  2.3.2 Bổ đề Cho M R – môđun A, A ' môđun M, A  A ' M A M A' đơn Từ : M A  A' M A A  A' A' A  A' Chứng minh: Đầu tiên A  A  A' Nếu khơng phải trường hợp, giả sử A  A  A ' Mặt khác A  A' , ta có A '  A  M Từ suy A A ' môđun M A ' Mâu thuẫn với thực tế M A' đơn (Vì mơđun đơn có hai mơđun nó) Do A  A+A '  M (vì A, A ' mơđun M) Mà M A đơn hay A mơđun cực đại M Khi A+A ' = M Vì theo định lý 1.3.4 ta có M A ( A  A' ) A  A' ( A  A' ) Những đẳng cấu khác tuân theo đảo ngược vai trò A A ' Bổ đề chứng minh 2.3.3 Định lý Jordan-Holder Cho M R – môđun khác khơng có độ dài hữu hạn Khi cặp dãy hợp thành cho M đẳng cấu với Chứng minh: Từ M 0, có n : = l(M) 1 Chúng ta sử dụng phương pháp quy nạp n Xác nhận n = Chúng ta giả thiết n > có kết chứng minh cho giá trị nhỏ n.Cho  M  M   M n   M n M  M 0'  M 1'   M n'   M n' M 17 hai dãy hợp thành M Biện chứng cho bước quy nạp chia thành hai trường hợp Trường hợp M n = M 'n Khi có Mn M n M n' = M n'   M  M   M n   M n M  M 0'  M 1'   M n'   M n' M hai dãy hợp thành M n = M 'n Bởi l(M n ) = n - nên áp dụng giả thiết quy nạp cho hai dãy hợp thành M n  kết mong muốn trường hợp dễ dàng suy Trường hợp thứ hai M n   M n'  Khi có tập H = M n  M n'  bổ đề 2.7 ta có Mn M n  M n'  H M n' M ' n  M n H Để cho bốn môđun số môđun đơn Thật vậy: Nếu H = (cả M n M n'  đơn n = 2), đạt kết luận mong muốn Giả sử H 0 Trong trường hợp  H  M n   M n dãy ngặt môđun M = Mn , Mn M n  M n H đơn Theo định lý 2.2.2(iii), dãy ngặt mở rộng đưa vào số hạng tới dãy hợp thành M Như dãy hợp thành M phải có độ dài n Nó kéo theo l(H) = n - Đặc biệt có dãy hợp thành H là:  H  H   H n   H n   H Ý kiến đoạn trước chứng tỏ có hai dãy hợp thành 18 H  H   H n   H n   M n   M n H  H   H n   H n   M n'   M n' M đẳng cấu Nhưng áp dụng lý thuyết quy nạp (trên hai dãy hợp thành M n ) nhìn thấy có hai dãy hợp thành M  M   M n  M n H  H   H n  H n  M n  M n M đẳng cấu Tương tự hai dãy hợp thành H  H   H n   H n   M n'   M n' M 0'  M 1'   M n'   M n' đẳng cấu hồn thành bước quy nạp Định lý chứng minh phương pháp quy nạp 2.3.4 Ví dụ Xét Z – mơđun M = Z 6Z Theo ví dụ 2.4 : M có hai dãy hợp thành (1)  2Z 6Z  Z 6Z M , (2)  3Z 6Z  Z 6Z M Khi dãy (1) (2) đẳng cấu với Thật ; 2.10 Định lý Cho R vành giao hoán  L f  M g  N  dãy khớp ngắn R – môđun R – đồng cấu (i) R – mơđun M có độ dài hữu hạn L N có độ dài hữu hạn (ii) Khi L, N, M tất có độ dài hữu hạn l(M) = l(L) + l(N) Chứng minh: (i) Điều dễ dàng từ 1.4.4 2.2.5 Bởi định lý 2.2.5 : R – môđun M có độ dài hữu hạn vừa Noether vừa Artin 19 Bởi định lý 1.4.4 : M Noether L N Noether M Artin L N Artin Bởi 2.2.5 : L vừa Noether vừa Artin L có độ dài hữu hạn, N vừa Noether vừa Arrtin N có độ dài hữu hạn Do M có độ dài hữu hạn L N có độ dài hữu hạn ii) Chú ý L  Imf = Kerg hệ 1.3.3 có M Kerg N Thật ; Bởi 7.40, Kerg M Kerg có độ dài hữu hạn l(L) = l(Kerg) l(N) = l( M Kerg ) Điều đủ cho chúng tơi chứng tỏ A môđun R – mơđun M (và M có độ dài hữu hạn) l(M) = l(A)+l( M A ) Các kết mong muốn rõ ràng hai A = A = M, giả sử  A  M Bởi định lý 2.2 dãy ngặt mơđun M bổ sung đưa vào số hạng đến dãy hợp thành M  M  M   M n   M n M n = l(M) Giả sử M t G Khi  M  M   M t  M dãy hợp thành A từ 6.24 có Mt A  M t 1 A   Mn A dãy hợp thành cho M A Từ l(A) + l( M A ) = t +(n-t) = l(M), yêu cầu 2.11 Ví dụ     (a) Tìm l Z Z 20Z  Z 27 Z dãy hợp thành Z – môđun Z 20Z   Z 27Z  Trước hết xác định dãy hợp thành độ dài Z – môđun Z 20Z 20 Ta có mơđun Z 20Z có dạng X 20Z , X môđun Z chứa 20Z Mặt khác X có dạng nZ với n ước 20 Do mơđun Z 20Z là: 0, Z 20 Z , 2Z 20Z , 4Z 20Z , 5Z 20Z ,10 Z 20Z Vậy Z 20Z có ba dãy hợp thành là:  4Z 20Z  10Z  10Z  2Z 20 Z 20 Z Z 20Z  2Z  5Z 20 Z 20 Z 20Z , Z 20 Z , Z 20 Z , có độ dài   Khi l Z Z 20Z 3 Tiếp theo xác định dãy hợp thành độ dài Z – môđun Z 27 Z Tương tự môđun Z 20Z ta tìm mơđun Z 27 Z 0, Z 27 Z , 3Z 27 Z , 9Z 27 Khi Z 27 Z có dãy hợp thành :  9Z 27 Z  3Z 27 Z Z 27 Z có độ dài   Vậy l Z Z 27 Z 3     Xét dãy khớp  Z 20 Z  Z 20 Z  Z 27 Z  Z 27 Z  Theo chứng minh Z 20Z , Z 27 Z có độ dài hữu hạn nên theo định lý 1.10     ta có Z 20Z  Z 27 Z có độ dài hữu hạn    Z 27Z  l Z 20Z   l Z 27 Z  3  6 Z 20Z   Z 27Z  6 Z – môđun Z 20Z   Z 27Z  có dãy hợp thành là: lZ Z Vậy l Z 20 Z Z Z 21  9Z  4Z  3Z 20 Z 27 Z 20 Z 27 Z  2Z  3Z Z  3Z Z Z 20 Z 27 Z 20 Z 27 Z 20 Z 27 Z  4Z 20 Z   4Z *Cho K trường.Trong 7.12 nhận thấy khái niệm K – môđun Noether K – môđun Artin đồng thật vậy, có V khơng gian vectơ trường K Khi V khơng gian hữu hạn chiều vừa K – môđun Noether vừa K – môđun Artin Thật theo mục 7.36 có V K – khơng gian hữu hạn chiều K – mơđun có độ dài hữu hạn Bây kiểm trường hợp vdim K v =l(V) 1.12 Mệnh đề Cho V khơng gian vectơ trường K Khi V K – không gian véctơ hữu hạn chiều K – mơđun có độ dài hữu hạn, trường hợp vdim K V = l(V) Chứng minh Sự khẳng định giải thích trước tường thuật mệnh đề, giả định thứ bàn luận quy nạp n=vdim K V Khi n = 0, có V = kết rõ ràng Khi n = 1, tập không gian V V Vì  V chuỗi hợp thành cho K – mơđun V l(V) = Do giả thiết n >1 kết chứng minh nhỏ giá trị n Cho v V với v 0; tập U = Kv không gian chiều V Khi có dãy khớp i f  U   V   V U  K – không gian K – ánh xạ tuyến tính, i ánh xạ nhúng f tồn cấu tắc Bây (U V U hữu hạn chiều) 22 vdim K V = vdim K (Kerf) + vdim K (Imf) = vdim K U + vdim K ( V U ) vdim K ( V U ) = n – Khi vdim K ( V U ) = l( V U ) lý thuyết quy nạp, vdim K U = l(U) đoạn đầu chứng minh Từ vdim K V = vdim K U + vdim K ( V U ) =l(U) +l( V U ) = l(V) 7.41 bước quy nạp hồn thành Vì kết chứng minh phương pháp quy nạp 23 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc hướng dẫn tận tình giáo T.S Đào Thanh Hà khóa luận thu số kết quả: Hệ thống số khái niệm tính chất lý thuyết mơđun Trình bày khái niệm, cung cấp ví dụ dãy hợp thành môđun Đồng thời chứng minh chi tiết tính chất dãy hợp thành Đưa mối quan độ dài dãy hợp thành số chiều không gian hữu hạn 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình đại số đại, NXB Đại học quốc gia Hà Nội ,2003 Tiếng anh ... i 0 môđun gọi môđun đa thức ẩn x với hệ số thực 1.2 Môđun con, môđun đơn, môđun thương 1.2.1 Định nghĩa Cho M R – môđun N tập khác rỗng M Khi N gọi R – mơđun (hay gọi tắt môđun con) R – môđun. .. ánh Hai môđun M N đẳng cấu với tồn ánh xạ đẳng cấu f: M  N Kí hiệu M N 1.3.2 Định lý Giả sử f : M  N đồng cấu từ môđun M đến môđun N , p : M  M Kerf tồn cấu tắc từ môđun M đến môđun thương. .. Mơđun gọi môđun thương M theo môđun N 1.2.6 Định lý Cho M R – môđun G môđun M Khi ' (i) Nếu G ' môđun M mà G '  G G G mơđun M G " (ii) Mỗi mơđun M G có dạng G G môđun G " M mà G "  G (iii)