Môđun nội xạ và môđun fp - Nội xạ - Khái niệm môđun nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Lê Văn Thắng MƠĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN FP-NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Lê Văn Thắng MƠĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN FP-NỘI XẠ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn tốt nghiệp Cao học hoàn thành Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Có luận văn tốt nghiệp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, phịng sau đại học, đặc biệt TS Trần Huyên trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡ tác giả với dẫn khoa học quý giá suốt trình triển khai, nghiên cứu hồn thành đề tài “Mơđun nội xạ mơđun FP-nội xạ” Xin chân thành cảm ơn Thầy Cô giáo – Các nhà khoa học trực tiếp giảng dạy truyền đạt kiến thức khoa học chuyên ngành Đại số Lý thuyết số cho thân tác giả năm tháng qua Xin ghi nhận công sức đóng góp q báu nhiệt tình bạn học viên lớp K23 đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả triển khai, thu thập kiến thức Tốn học Có thể khẳng định thành công luận văn này, trước hết thuộc công lao tập thể, nhà trường, quan xã hội Đặc biệt quan tâm động viên khuyến khích cảm thơng sâu sắc gia đình Nhân tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu đậm Một lần tác giả xin chân thành cảm ơn đơn vị cá nhân hết lòng quan tâm tới nghiệp đào tạo đội ngũ cán ngành Sư phạm Tác giả mong nhận đóng góp, phê bình quý Thầy Cô, nhà khoa học, đọc giả bạn đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng năm 2014 Tác giả Phan Lê Văn Thắng MỤC LỤC CÁC QUI ƯỚC VÀ CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU NỘI DUNG LUẬN VĂN PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun hữu hạn sinh 1.2 Môđun biểu diễn hữu hạn 15 Bổ đề Schanuel 18 1.3 Các vành đặc biệt môđun chia miền nguyên 23 Chương MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN FP-NỘI XẠ 30 2.1 Môđun nội xạ 31 2.2 Môđun FP-nội xạ 40 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 CÁC QUI ƯỚC VÀ CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT Mọi vành R luận văn vành có đơn vị khác (đơn vị R ký hiệu ) Các môđun trái vành R viết gọn R -môđun trái, vành hệ tử xác định, để đơn giản, ta viết gọn môđun Các R -đồng cấu gọi cách đơn giản đồng cấu ∏X i∈I i hay ∏X i : mơđun tích trực tiếp họ không rỗng môđun { X i }i∈I ⊕ X i hay ⊕ X i : môđun tổng trực tiếp họ không rỗng môđun { X i }i∈I i∈I Ext Rn ( A, B ) hay Ext n ( A, B ) : tích mở rộng n-chiều R mơđun A B Ext ( A, B ) : tích mở rộng môđun A B A ⊆ B : A B A ⊂ B : A thực B A  B : A môđun môđun B S : môđun sinh tập S x1 , x2 , , xn := { x1 , x2 , , xn } 1, n := {1, 2, , n} ∅ ký hiệu tập rỗng  ký hiệu tập số tự nhiên * ký hiệu tập số tự nhiên khác  ký hiệu tập số nguyên  ký hiệu tập số hữu tỉ MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khái niệm môđun nội xạ khái niệm quan trọng Đại số, nói riêng Lý thuyết mơđun Đại số đồng điều Vì vậy, việc tìm kiếm mở rộng cho khái niệm vấn đề đáng quan tâm Một điều kiện cần đủ để môđun nội xạ tiêu chuẩn Baer, cho phép nhìn nhận mơđun J nội xạ Ext ( G, J ) = với môđun G hữu hạn sinh Chúng ta biết môđun biểu diễn hữu hạn môđun hữu hạn sinh, nhiên, môđun hữu hạn sinh chưa môđun biểu diễn hữu hạn Khi thu hẹp lớp môđun hữu hạn sinh tới lớp môđun biểu diễn hữu hạn điều kiện tương đương môđun nội xạ phát biểu ngôn ngữ hàm tử Ext nói trên, thu mở rộng khái niệm mơđun nội xạ, môđun FP-nội xạ Như môđun X FP-nội xạ Ext ( G , X ) = với môđun G biểu diễn hữu hạn Vấn đề mơđun FP-nội xạ cịn giữ tính chất mơđun nội xạ Luận văn trả lời cho vấn đề nêu MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Tổng hợp kết môđun, môđun hữu hạn sinh, môđun nội xạ, ta tiến hành nghiên cứu: - Định nghĩa tính chất mơđun biểu diễn hữu hạn dùng để định nghĩa tìm tính chất mơđun FP-nội xạ - Mối tương quan môđun hữu hạn sinh môđun biểu diễn hữu hạn: nét giống khác chúng, đồng chúng vài trường hợp đặc biệt dùng việc đánh giá so sánh khái niệm môđun nội xạ mơđun FP-nội xạ để tìm tính chất tương ứng với hai môđun - Định nghĩa tính chất mơđun FP-nội xạ - Mối tương quan môđun nội xạ môđun FP-nội xạ: nét giống khác chúng, đồng chúng vài trường hợp đặc biệt ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: Môđun nội xạ môđun FP-nội xạ Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm tính chất đặc trưng môđun nội xạ, môđun FP-nội xạ mối tương quan chúng NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày khái niệm tính chất môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn mối tương quan chúng để thuận tiện cho việc triển khai chương Chương 2: Môđun nội xạ mơđun FP-nội xạ Trình bày khái niệm tính chất mơđun nội xạ, môđun FP-nội xạ mối tương quan chúng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu lý thuyết cách phân tích, tổng hợp từ nhiều tài liệu khác môđun nội xạ môđun FP-nội xạ kết hợp với phương pháp sử dụng công cụ, kĩ thuật mơđun học từ trước Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại số kiến thức kết cần thiết cho việc nghiên cứu vấn đề chương sau Trước hết xem khái niệm mơđun, đồng cấu, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, dãy khớp, môđun tự do, hàm tử Hom , môđun xạ ảnh khái niệm xem biết Độc giả muốn hiểu rõ truy cập tài liệu tham khảo (quyển [1]) Những kiến thức Đại số đồng điều phức, đồng điều, dãy đồng điều khớp, phép giải, hàm tử mở rộng xem biết (cũng tham khảo [1] danh sách tài liệu tham khảo) Ở đưa khái niệm sâu môđun hữu hạn sinh môđun biểu diễn hữu hạn khái niệm chủ yếu liên quan đến nội dung chương 1.1 Môđun hữu hạn sinh Khái niệm môđun hữu hạn sinh xem trường hợp đặc biệt khái niệm môđun sinh tập Chúng ta nhắc lại rằng, môđun X sinh tập S ⊆ X môđun gồm tất tổ hợp tuyến tính S Khi tập S tập hữu hạn nhận khái niệm sau đây: Định nghĩa 1.1.1 Môđun X gọi môđun hữu hạn sinh, X có hệ sinh hữu hạn Một số ví dụ môđun hữu hạn sinh môđun không hữu hạn sinh: a) Cho R vành n ∈ * Ta có R -mơđun R n môđun hữu hạn { } sinh với hệ sinh R n ei : i ∈1, n ei phần tử có thành phần thứ i thành phần khác Đặc biệt, vành hệ tử R xem R -môđun mơđun hữu hạn sinh b) Nhóm cộng  khơng phải  -môđun hữu hạn sinh Thật vậy, ta chứng minh phản chứng Giả sử  sinh tập hữu a a  a hạn S  , , , n | ∈ , bi ∈ * , ∀i ∈1, n  ⊆  Xét phần tử = bn  b1 b2  n ∏b +1 i =1 ∈  ,  sinh S nên có c1 , c2 , , cn ∈  cho i = n ∏ bi + n a = ci i ∑ bi i =1 n ∏b =i =i = d n  n  hay = bi d  ∏ bi + 1 ∏ =i = i1  n d j ≠i i ∑ ci ∏ b j ∈  ) Suy i =1 (trong  n  chia hết cho b ∏ i  ∏ bi + 1 (vô lý) i =1  i =1  n Vậy   -môđun hữu hạn sinh Sau vài tính chất mơđun hữu hạn sinh liên quan tới môđun môđun hữu hạn sinh, môđun thương môđun hữu hạn sinh tổng trực tiếp môđun hữu hạn sinh Câu hỏi đặt có phải mơđun môđun hữu hạn sinh hay không? Đầu tiên ta tìm hiểu mơđun thương mơđun hữu hạn sinh, trước hết, ta chứng minh định lý sau: χ σ Định lý 1.1.2 Cho dãy khớp ngắn → A  → B  → C → gồm R - môđun đồng cấu Khi đó: a) Nếu B mơđun hữu hạn sinh C mơđun hữu hạn sinh b) Nếu A C mơđun hữu hạn sinh B môđun hữu hạn sinh Chứng minh a) Giả sử B mơđun hữu hạn sinh Khi tồn b1 , b2 , , bn ∈ B cho B = b1 , b2 , , bn Do σ toàn cấu nên với c ∈ C , tồn b ∈ B cho c = σ ( b ) n Khi tồn r1 , r2 , , rn ∈ R cho b = ∑ rb i i i =1 Suy = c σ= (b) n ∑ rσ ( b ) i =1 i i Suy C sinh hệ: {σ ( b ) ,σ ( b ) , ,σ ( b )} n Vậy C môđun hữu hạn sinh b) Giả sử A C môđun hữu hạn sinh Khi tồn a1 , a2 , , am ∈ A , C = c1 , c2 , , cn c1 , c2 , , cn ∈ C cho A = a1 , a2 , , am ... vài trường hợp đặc biệt dùng việc đánh giá so sánh khái niệm môđun nội xạ mơđun FP -nội xạ để tìm tính chất tương ứng với hai môđun 6 - Định nghĩa tính chất mơđun FP -nội xạ - Mối tương quan môđun. .. môđun nội xạ môđun FP -nội xạ: nét giống khác chúng, đồng chúng vài trường hợp đặc biệt ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: Môđun nội xạ môđun FP -nội xạ Phạm vi nghiên cứu: Các khái. .. sinh, môđun biểu diễn hữu hạn mối tương quan chúng để thuận tiện cho việc triển khai chương Chương 2: Môđun nội xạ mơđun FP -nội xạ Trình bày khái niệm tính chất mơđun nội xạ, môđun FP -nội xạ mối