Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ THÚY HẰNG VỀ MỘT LỚP MÔĐUN TỔNG QUÁT HÓA CỦA MÔĐUN MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ THÚY HẰNG VỀ MỘT LỚP MÔĐUN TỔNG QT HĨA CỦA MƠĐUN MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ THÚY HẰNG VỀ MỘT LỚP MƠĐUN TỔNG QT HĨA CỦA MÔĐUN MỞ RỘNG Chuyên ngành : Đại số Lý thuyết số Mã số 46 01 04 : Người hướng dẫn: TS Lê Đức Thoang e i Lời Cam Đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu khoa học tơi hướng dẫn TS Lê Đức Thoang, nội dung không chép chưa cơng bố hình thức nào, tài liệu tham khảo nêu rõ ràng Quy Nhơn, ngày tháng năm 2019 Học viên Phạm Thị Thúy Hằng e ii Mục lục Lời Cam Đoan i Bảng ký hiệu iii MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Một số lớp môđun vành 1.1.1 Một số lớp môđun 1.1.2 Một số lớp vành 12 1.1.3 Môđun vành mở rộng 15 Một số kết liên quan 17 MÔĐUN NCS 20 2.1 Định nghĩa ví dụ 20 2.2 Một số tính chất 22 TÍNH NCS CỦA MƠĐUN 32 KẾT LUẬN 43 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 e iii Bảng ký hiệu MR (R M ) : Môđun phải (trái) vành R A⊆B : A môđun B A⊂B : A môđun thực B A ⊆ess M : A môđun cốt yếu môđun M A ⊆sm M : A môđun đối cốt yếu môđun M n L Mi : Tổng trực tiếp họ môđun Mi Ri : Tích trực tiếp vành Ri i=1 Q Soc(MR ) : Đế môđun MR , Sr = Soc(RR ) J = J(R) : Căn Jacobson mơđun R ann(m) : Linh hóa tử phần tử m r(X), (l(X)) : Linh hóa tử phải, (trái) X End(MR ) : Vành tự đồng cấu môđun MR N ⊆⊕ M : N hạng tử trực tiếp M N∼ =M : N đẳng cấu với M Mod-R (R-Mod) : Phạm trù R-môđun phải (trái) e MỞ ĐẦU • Lí chọn đề tài: Cùng với phát triển toán học đại, lý thuyết mơđun nhà tốn học quan tâm sâu sắc đạt nhiều kết Những kết điều kiện CS tác động nhiều để người nghiên cứu thêm môđun CS vành nên chọn nghiên cứu đề tài “Về lớp mơđun tổng qt hóa mơđun mở rộng” • Lịch sử vấn đề: Mơđun nội xạ lớp môđun quan trọng lý thuyết môđun Trong lớp môđun mở rộng mơđun nội xạ có lớp mơđun quan trọng môđun CS (mở rộng hay C1) Các định nghĩa CS khởi nguồn từ cơng trình nghiên cứu John von Neumann liên quan đến cố gắng ông để mô hình lượng tử học thơng qua hình học liên tục Điều kiện CS trình bày [2] Tính chất mơđun thu hút nhiều nhà lý thuyết vành hai mươi năm sau [5] [13] sách chuyên khảo mơđun CS tính chất liên quan mơđun Trong [7] [8], hai giả thiết tiếng đặc trưng vành QF giả thiết CF giả thiết e F GF , chứng minh R vành CS phải Những kết khuyến khích nhiều quan tâm người để nghiên cứu thêm môđun CS vành Cho C (M ), D(M ) S (M ) tập tất môđun đóng, tập tất hạng tử trực tiếp tập tất môđun đối cốt yếu R-mơđun M Khi M mơđun CS nghĩa C (M ) = D(M ) Tính chất cho ta thấy C (M ) ∩ S (M ) = {0} tức mơđun đóng không tầm thường M không môđun đối cốt yếu Các mơđun cịn gọi môđun N CS Khái niệm lần trình bày [15] cho thấy giả thuyết Faith-Menal R môđun N CS Và tên "N CS " GS.D.V.Huynh đưa tác giả đến thăm ông ta trung tâm lý thuyết vành năm 2009 2010 Trong Mathematical Review (MR2282113) [15], Faith khuyến khích số công việc thực dựa theo điều kiện N CS Môđun N CS vành N CS vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nên đọc hiểu tiếp cận nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu: Khảo sát mơđun vành N CS mối liên quan với lớp môđun CS • Đối tượng nghiên cứu: Mơđun N CS vành N CS • Phương pháp nghiên cứu: Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu, đọc sách, báo có nội dung liên e quan đến đề tài nghiên cứu Sau tổng hợp, trao đổi, thảo luận với thầy hướng dẫn • Đóng góp luận văn: Luận văn góp phần làm phong phú tài liệu tham khảo cho lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết môđun nói chung mơđun N CS nói riêng Ngồi ra, luận văn khảo sát số đặc trưng vành N CS qua khái niệm • Kết cấu luận văn: Luận văn bao gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Môđun N CS Chương 3: Tính N CS mơđun Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy giáo hướng dẫn TS Lê Đức Thoang, Trường Đại học Phú Yên Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng sau đại học, Khoa Toán - Thống kê học quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Đại số Lý thuyết số khóa 20 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để chúng tơi hồn thành tốt khóa học luận văn e Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy giáo đọc giả để luận văn hoàn thiện e Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, vành R giả thiết vành có đơn vị 6= tất R-môđun môđun unita Để thuận tiện, chúng tơi nói mơđun thay cho môđun phải ký hiệu M thay cho ký hiệu MR Khi cần thiết, rõ M môđun phải hay trái Những khái niệm mơđun luận văn trình bày cho R-mơđun phải (hoặc trái), khái niệm cho phía cịn lại hồn tồn tương tự Trong chương này, chúng tơi hệ thống lại kiến thức cần thiết cho việc chứng minh chương sau Trước hết, chúng tơi trình bày khái niệm số kết quen thuộc lý thuyết vành môđun 1.1 1.1.1 Một số lớp môđun vành Một số lớp môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho môđun M N ⊆ M Môđun N gọi cốt yếu M N ∩ K 6= với môđun khác không K M , ký hiệu N ⊆ess M Môđun N M gọi hạng tử trực e ... nghiên cứu thêm môđun CS vành nên chọn nghiên cứu đề tài ? ?Về lớp môđun tổng quát hóa mơđun mở rộng? ?? • Lịch sử vấn đề: Môđun nội xạ lớp môđun quan trọng lý thuyết môđun Trong lớp môđun mở rộng mơđun... nghĩa 1.1.55 (i) Một môđun M gọi môđun C1 (môđun mở rộng hay môđun CS ) M thỏa điều kiện (C1) (ii) Một môđun M gọi môđun (C2) M thỏa mãn điều kiện (C2) (iii) Một môđun M gọi môđun (C3) M thỏa... iii MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Một số lớp môđun vành 1.1.1 Một số lớp môđun 1.1.2 Một số lớp vành 12 1.1.3 Môđun vành mở rộng